Propozycje pytań z ‘Podstaw MES’

1.Wskazać różnice między rzeczywistą konstrukcją, a jej modelem zbudowanym techniką elementów skończonych: geometria, warunki brzegowe, obciążenia (dyskretyzacja).

W metodzie elementów skończonych każda z modelowanych konstrukcji będąca w rzeczywistości układem ciągłym o nieskończonej liczbie stopni swobody jest aproksymowana przez skończona liczbę elementów skończonych.

Poszczególne elementy są połączone węzłach z elementami sąsiednimi, a cały model ma skończoną liczbę swobody, odpowiadającą liczbie możliwych przemieszczeń węzłów. Podział elementów na skończone-> dyskretyzacja lub idealizacja geometrii konstrukcji. Procesowi idealizacji podlegają warunki podparcia i sposób obciążenia.

Do każdego elementu zostaje dobrane funkcje jednoznacznie określające stan przemieszczeń wewnątrz elementu w zależności od przemieszczeń węzłów. Funkcje noszą nazwę funkcji kształtu.

Stosując MES operujemy na modelach, a nie na obiektach rzeczywistych.

Wybieramy sposób opisu obiektu ( jednowymiarowy, np. belki, kratownice lub dwuwymiarowy, np. tarcze, płyty, powłoki, lub trójwymiarowy). Wybór determinuje szereg założeń i hipotez znanych z wytrzymałości materiałów oraz zestaw parametrów opisujących dany typ obiektu.

Stosujemy teorie małych odkształceń i przemieszeń lub dużych odkształceń i przemieszczeń,

Określamy własności materiału jako : liniowe lub nieliniowe.

Wszystkie decyzje wpływają na postać modelu matematycznego który w sposób większy lub mniejszy idealizuje model rzeczywisty. Parametry odbiegające modelu od rzeczywistego to: błędy dyskretyzacji, błędy modelowania, błędy obarczone błędem numerycznym.

2.Omówić zagadnienie agregacji elementów skończonych w strukturę na przykładzie konstrukcji kratownicowej.

Agregacja – złożenie pojedynczych elementów w całą strukturę.

Omówienie procesu na przykładzie konstrukcji kratownicowej przyjmując następujące reguły:

-Przyjmujemy warunek nierozdzielności – te same przemieszczenia wspólnych węzłów elementów.

-W każdym węźle spełnione są warunki statycznej równowagi sił.

-Globalna numeracja stopni swobody i sił węzłowych.

Tworzymy n-wymiarowy wektor siły węzłowych całej struktury i zapisujemy iż jest sumą wektorów sił węzłowych poszczególnych elementów:

P=$\sum_{e}^{}P^{e}$, P^e= [P₁^e P₂^e P₃^e P₄^e P₅^e P₆^e P₇^e P₈^e]

Podobnie rozszerzmy liczbę stopni swobody każdego elementu: u^e= [u₁^e u₂^e u₃^e u₄^e u₅^e u₆^e u₇^e u₈^e] = u

Macierz sztywności całej struktury : k=$\sum_{e}^{}k^{e}$, proces dodawania rozszerzonych elementów macierzy sztywności nazywa się agregacją:

P=K*U – związek miedzy wszystkimi siłami węzłowymi w układzie globalnym. Zagregowana macierz sztywności jest symetryczna i osobliwa. Uwzględniając w macierzy układ warunków brzegowych eliminujący ruch sztywny zapewni to nam jednoznaczne rozwiązanie.

3.Omówić (zinterpretować) budowę podstawowego układu równań metody elementów skończonych (macierz współczynników, wektor niewiadomych, wektor ‘prawych stron’).

K∙U=P

Układ równań MES

K=$\sum_{e}^{}K^{e}$ - macierz współczynników (macierz sztywności całej struktury)

U – wektor niewiadomych (wektor parametrów węzłowych, wszystkie stopnie swobody w układzie globalnym)

P – wektor „prawych stron” (wektor obciążeń zewnętrznych, wszystkie siły węzłowe w układzie globalnym)

4.Omówić ‘rozdział zadań’ między projektanta, a komputerowy system analizy metodą elementów skończonych.

Projektant	System MES
PREPROSESSING
Definicja geometrii Wybór typu elementu Dane materiałowe Dane sztywnościowe Obciążenia Warunki brzegowe	Dyskretyzacja Budowa macierzy Transformacja elementowych macierzy sztywności do układu globalnego Agregacja do globalnej macierzy sztywności Dyskretyzacja obciążenia Dyskretyzacja warunków brzegowych
SOLUTION
	Rozwiązanie układu równań Wyznaczenie wszystkich stopni swobody i reakcji Transformacja do układów lokalnych elementów Wyliczenie rezultatów w elementach: odkształcenia, naprężenia, siły elementowe
POSTPROCESSING
Analiza otrzymanych wyników Krytyczna ocena rezultatów Opracowanie dokumentacji Wnioski	Wydruk i rysunek wyników: deformacje, mapy naprężeń, odkształceń Animacja obrazu Analiza błędu energii i naprężeń

5.Wyjaśnić pojęcia: element skończony, elementowe stopnie swobody, macierz sztywności elementu, funkcje kształtu elementu.

Element skończony – jest płaską figurą geometryczną ( liniową, płaską lub przestrzenną) dla której określone zostały wyróżnione punkty zwane węzłami, oraz pewne funkcje interpolacji służące do opisu rozkładu analizowanej wielkości, w jego wnętrzu i na jego bokach. Funkcje te nazywamy funkcjami węzłowymi bądź funkcjami kształtu.

Elementowe stopnie swobody – w skutek działania obciążeń węzły elementów doznają przemieszczeń przy czym wobec braku zginania element pozostaje prosty. Przemieszczenia poszczególnych węzłów ( u₁^e, u₂^e), (u₃^e, u₄^e), zapisane jako jednowymiarowy wektor U^e = [u₁^eu₂^e u₃^eu₄^e]^T nazywamy stopniami swobody tego elementu. Pojedynczy element i jego stopnie swobody – przemieszczenia węzłowe

Funkcje kształtu elementu– służą do wyznaczania wartości funkcji wewnętrznej elementu skończonego na podstawie znanych stopni swobody, czyli ich wartości w węzłach. Rząd elementów jest zawsze równy rzędowi funkcji interpolacyjnej.

6.Uzasadnić nazwę ‘element o stałym odkształceniu’ dla płaskiego elementu trójkątnego z liniowymi funkcjami kształtu.

W celu dokonania aproksymacji funkcji składowych wektora przemieszeń stosujemy wielomiany 1 stopnia co jest typowe dla elementów z węzłami jedynie w wierzchołkach. Mając do dyspozycji po trzy znane wartości z każdej funkcji jaki odpowiednie stopnie swobody, możemy jednoznacznie wyznaczyć współczynnik tych wielomianów.

Zwróćmy uwagę, że dla przyjętych funkcji kształtu jako wielomianów 1 stopnia wszystkie pochodne występujące w macierzy geometrycznej B są stałymi niezależnymi od zmiennych (x,y) co za tym idzie składowe wektora odkaszlenia są stałe na obszarze całego elementu. Dlatego plaski liniowy element trójkątny nazywany jest elementem stałego odkształcenia.

7.Podać fizykalną interpretację osobliwości macierzy sztywności pojedynczego elementu i całej struktury.

Łatwo zauważyć, że elementowa macierz sztywności jest symetryczna i osobliwa. Interpretacja mechaniczna (fizykalna) tego faktu oznacza, że o ile dla zadanych przemieszczeń węzłów można wprost doliczyć siły węzłowe konieczne do ich zaistnienia, wykonując mnożenie

to dla zadanych sił jednoznaczne wyliczenie przemieszczeń nie jest możliwe, gdyż macierzy K^e nie da się odwrócić. Łatwo to zrozumieć, wiedząc, że ruch sztywny ciała może się odbywać bez zmiany sił, a położeń węzłów może być w nim nieskończenie wiele. I odwrotnie, jeśli przyjmiemy stopnie swobody elementu odpowiadające przemieszczeniu jak ciało sztywne, to nie wygenerujemy ani odkształceń, ani sił węzłowych.

8.Omówić w jaki sposób wprowadza się warunki brzegowe do podstawowego układu równań MES.

Podstawowy układ równań MES określa związek między wszystkimi siłami węzłowymi wyrażonymi w globalnym układzie odniesienia i wszystkimi stopniami swobody struktury zapisanymi w tym samym układzie poprzez globalną macierz sztywności P=K*U. Wartości warunków brzegowych wpisuje się w odpowiednia miejsca wektora sił węzłowych. W konsekwencji pozwala to zmodyfikować wartości macierzy sztywności. Dzięki temu macierz K staje się macierzą nieosobliwą i możliwe jest rozwiązanie układu równań.

9.Podać w jaki sposób wyznaczane są reakcje (nieznane obciążenia) przy zastosowaniu MES.

Reakcje (nieznane obciążenia) wyznaczane są w następujący sposób:

- pozbycie się osobliwości macierzy K

- przekształcając równanie K∙U=P, do postaci U=K^-1∙P wyznaczyć możemy nieznane przemieszczenia węzłów rozpatrywanego

układu. Dalej, znając przemieszczenia U, określić możemy siły wewnętrzne każdego z elementów.

10.Uzasadnić konieczność transformacji wektorów i macierzy pomiędzy układem globalnym i układami lokalnymi elementów.

Otrzymując globalną macierz sztywności K całego układu musimy wiedzieć, że jest to macierz osobliwa czyli detK =0, nie jest możliwe zatem wyznaczenie macierzy odwrotnej K^-1. Należy macierz K tak zmodyfikować (narzucić ograniczenia kinematyczne – warunki brzegowe), aby ta macierz stała się macierzą nieosobliwą czyli detK≠0, dzięki temu możemy wyznaczyć macierz odwrotną K^-1.

11.Wskazać metody szacowania dokładności rozwiązania uzyskanego MES.

Średnie naprężenie w węźle

j – kolejnego elementu które w tym węźle się stykają

Dotyczy to sytuacji kiedy w jednym węźle o nr n łączy się N_e^N elementów i z każdego z nich otrzymujemy różną wartość naprężenia ( np. elementy o stałym naprężeniu)

Wektor błędu naprężenia w węźle n elementu j

Różnica wektora średniego naprężenia i wektora naprężenia jakie w danym węźle uzyskamy od tego elementu

Błąd energii elementu j

Wyznaczamy tą wielkość dla wszystkich elementów struktury. Stosujemy m.in. do oceny jakości dokonanej dyskretyzacji :

Błąd energii w całym modelu

Sumowanie błędów energii po wszystkich elementach, w wyniku czego otrzymujemy błąd energii.

Bład % w normie energetycznej

Lz- praca sił zewnętrznych. Dla E<5% przyjmujemy że rozwiązanie jest wystarczająco dokładne.

Górne i dolne oszacowanie naprężenia

Różnica pomiędzy górnym i dolnym oszacowaniem poszczególnych składowych naprężenia, przy czym „składową” może być też naprężenie zastępcze.

12.Wyjaśnić pojęcia: element skończony liniowy oraz element skończony wyższego rzędu.

Element skończony - jest prostą figurą geometryczną (płaską lub przestrzenną), dla której określone zostały wyróżnione punkty zwane węzłami, oraz pewne funkcje interpolacyjne służące do opisu rozkładu analizowanej wielkości w jego wnętrzu i na jego bokach. Funkcje te nazywa się funkcjami węzłowymi, bądź funkcjami kształtu. Jeżeli węzły znajdują się tylko w wierzchołkach, to element skończony jest nazywany elementem liniowym.

Gdy węzły znajdują się w wierzchołkach elementu skończonego, ale mogą być również umieszczone na jego bokach i w jego wnętrzu mamy do czynienia z elementami wyższych rzędów. Rząd elementu jest zawsze równy rzędowi funkcji interpolacyjnych (funkcji kształtu).Liczba funkcji kształtu w pojedynczym elemencie skończonym jest równa liczbie jego węzłów. Funkcje kształtu są zawsze tak zbudowane, aby w węzłach których dotyczą ich wartości wynosiły jeden, a pozostałych węzłach przyjmowały wartość zero.

13.Co oznacza pojęcie elementy dostosowane? Uzasadnić dlaczego płaski liniowy element trójkątny nie ma tej własności.

Elementy dostosowane – są to takie elementy, w których daje się zapewnić zarówno ciągłość przemieszczeń na granicach między elementami, jak również ciągłość ich pochodnych.

W liniach elementów trójkątnych (stałego odkształcenia) daje się zapewnić ciągłość przemieszczeń na granicach miedzy elementami lecz nie zachodzi ciągłość ich pochodnych. Brak ciągłości pochodnych na granicy miedzy elementami powoduje iż plaski element trójkątny nie ma własności jakie maja elementy dostosowane.

14.Co oznacza sformułowanie przemieszczeniowa MES? Podać przykłady zastosowań różnych typów elementów.

Przemieszczeniowe sformułowanie MES:

1. Kształt elementu i stopnie swobody q

2. Funkcje kształtu N (aproksymacja przemieszczeń przy pomocy q)

3. Macierz operatorów D i macierz odkształceń

4. Macierz naprężeń

5. Macierz sztywności

6. Transformacja do układu globalnego

7. Agregacja macierzy sztywności całego układu

8. Zadanie warunków brzegowych i obciążeń

9. Rozwiązanie układu równań MES

10. Powrót do elementu (transformacja do układów lokalnych)

Przykłady: kratownica płaska(dwa przemieszczenia), kratownica przestrzenna(trzy przemieszczenia), rama płaska zginanie( dwa przemieszczenia i kąt obrotu), rama przestrzenna( trzy przemieszczenia i trzy kąty obrotu), płaska tarcza(dwa przemieszczenia), płyta zginanie (jedno przemieszczenie i dwa obroty normalnej), powłoka(trzy przemieszczenia i dwa obroty), trójwymiarowy (trzy przemieszczenia)

15.Podać reguły obowiązujące przy agregacji równań dla pojedynczych elementów do układu równań całej struktury.

Agregacja – złożenie pojedynczych elementów w całą strukturę.

Reguły obowiązujące przy agregacji równań:

-Przyjmujemy warunek nierozdzielności – te same przemieszczenia wspólnych węzłów elementów.

-W każdym węźle spełnione są warunki statycznej równowagi sił.

-Globalna numeracja stopni swobody i sił węzłowych.

16.Podać metody testowania i poprawiania zbieżności rozwiązania MES.

• Porównanie wyników przy różnych gęstościach siatki ( typu k)

• Porównanie wyników dla elementów różnych rzędów ( typu p)

• Oszacowanie błędu procentowego energii

• Oszacowanie błędów naprężenia