Wytrzymałość Konstrukcji III

LABORATORIUM

MEiL

Lp.	Nazwisko i imię	ob.	wst.	spr.	zej.	∑
1.	Owerczuk Michał
2.	Patejuk Joanna
3.	Piaskowski Maciej
4.	Skorłutowski Adam
5.	Węgrzyn Emilia

ćw. ………………….…..

GRUPA ……. ZESPÓŁ…….

czwartek 10-12

Prowadzący ………………… data……

1. Zginanie czyste

1. Cel

Wyznaczenie doświadczalnych modułu Younga i krzywizny osi belki i porównanie ich z wielkościami teoretycznymi.

1. Stanowisko pracy

Stanowisko pracy stanowiła belka o przekroju prostokątnym umieszczona na dwóch symetrycznie rozstawionych przegubowych podporach. Na dwóch końcach belki znajdowały się obciążniki.

Rys. 1

c – czujnik zegarowy

8, 9 – tensometry

1. Dane geometryczne i materiałowe belki

L	a	E	b	h	A	Iy	EIy
Mm	mm	MPa	mm	mm	mm^2	mm^4	Nmm^2
1000	300	2,06 * 10^5	30	20	600	20000	4 * 10^9

Tabela 1

1. Stan zerowy tensometrów

Przy pomiarze odkształceń za pomocą tensometrów interesujący nas wynik jest różnicą między wskazaniem po przyłożeniu siły a wartością wskazaną przy braku obciążenia (pojedynczy wynik nie ma żadnego sensu fizycznego) . Z tego powodu niezbędne jest opracowanie wartości wskazanych w „stanie zerowym”.

Nr	ktens	kpom	$$\mathbf{k =}\frac{\mathbf{k}_{\mathbf{\text{tens}}}}{\mathbf{k}_{\mathbf{\text{pom}}}}$$	εzm	ε0
				‰	‰
8	2,10	2,10	1	12,538	12,538
9	2,56	2,10	1,219047619	12,721	15,508

Tabela 2

Z powodu różnicy obsługiwanych zakresów wartości współczynnika k dla niektórych tensometrów i aparatury pomiarowej, by otrzymać prawdziwe wartości ε należy skorzystać z zależności:

$$\varepsilon = \varepsilon_{\text{zm}}\frac{k_{\text{tens}}}{k_{\text{pom}}} = \varepsilon_{\text{zm}}*k$$

1. Przebieg i opracowaniewyników pomiarów

Ćwiczenie wykonywano obciążając symetrycznie różnymi masami, kolejno: 5, 10 oraz 15 kg. Wcześniej odczytane wartości odpowiadające zerowemu obciążeniu oraz wyniki obliczeń (obliczenia dalej) niezbędnych danych umieszczono w tabeli 2. Wskazania przy pomiarze tensometrem nr. 9 przemnożono przez odpowiednią stałą k (jak wyjaśniono wyżej).

i	P	ci	fc=ci−c0	εi	$$\mathbf{\varepsilon =}\frac{\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{2}}$$
				‰	‰
	N	mm	mm	8	9
0	0	0	--	12,538	15,508
1	2 x 49,95	0,42	0,42	12,610	15,599
2	2 x 98,1	0,875	0,875	12,688	15,707
3	2 x 147,15	1,289	1,289	12,759	15,809

Tabela 3

• Przykładowe obliczenia

1. Siła

$$P = m*g = 5\ kg*9,81\ \frac{m}{s^{2}} = 49,95\ N$$

1. Odkształcenia

$$\varepsilon = \frac{\varepsilon_{i} - \varepsilon_{0}}{2} = \frac{12,610 - 12,538}{2} = 0,036\ \% 0$$

1. Wartość doświadczalna modułu Youngana podstawie pomiaru tensometrycznego

W celu wyznaczenia doświadczalnej wartości modułu Younga należy posłużyć się wzorem:

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$$

gdzie σ – naprężenia normalne

$$\sigma = \frac{M_{g}}{I_{y}}z_{\max}\ \land \ z_{\max} = \frac{h}{2} = 10\ mm$$

Obliczenia przeprowadzam dla P= 49,95 N (obciążenie 5 kg masy), ε₈₁=0,036‰.

M_g = P * a = 49, 95 N * 0, 3 m = 14, 985 Nm

$$\sigma = \frac{M_{g}}{I_{y}}z_{\max} = \frac{14,985Nm}{20000\text{mm}^{4}}*10mm = \frac{14985Nmm}{2000\text{mm}^{3}} = \mathbf{7,4925}\mathbf{\text{MPa}}$$

$$E_{81} = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{7,4925MPa}{0,036\% 0} = 2,08125*10^{5}\text{MPa}\mathbf{= 2,08*}\mathbf{10}^{\mathbf{5}}\mathbf{\text{MPa}}$$

Z powyższej wartości obliczyć można błąd względny według zależności:

$$\delta_{E} = \left| \frac{\text{ΔE}}{E} \right| = \left| \frac{E_{81} - E}{E} \right| = \left| \frac{\left( 2,08 - 2,06 \right)*10^{6}\text{MPa}}{2,06*10^{6}\text{MPa}} \right| = \left| \frac{0,02}{2,06} \right| = 0,0097 = \mathbf{0,97\%}$$

1. Wartość doświadczalna krzywizny osi belki i strzałki ugięcia na podstawie pomiaru czujnikowego

Teoretyczna strzałka ugięcia osi (obliczenia przeprowadzam dla obciążenia masą 5 kg):

$$f_{t} = \frac{M_{g}l^{2}}{8EI_{y}} = \frac{14,985\ Nm*\ \left( 1m \right)^{2}}{8*2,06*10^{5}MPa*20000\text{mm}^{4}} = \frac{14985mm*10^{6}\text{mm}^{2}}{3,296*10^{10}\frac{1}{\text{mm}^{2}}*\text{mm}^{4}} = \mathbf{0,4546\ mm}$$

f_t = 0, 45 mm

f₁ = 0, 42 mm

Błąd względny:

$$\delta_{f_{c}} = \left| \frac{\Delta f_{c}}{f_{c}} \right| = \left| \frac{f_{1} - f_{t}}{f_{t}} \right| = \left| \frac{0,42 - 0,45}{0,45} \right| = 0,06\left( 6 \right) \cong \mathbf{6,7\%}$$

Na podstawie wyznaczonych powyżej wartości mogę określić wartość promieni krzywizn dla kolejno teoretycznego i doświadczalnego przypadku, korzystając z zależności:

$$\rho = \frac{{f_{c}}^{2} + \left( \frac{l}{2} \right)^{2}}{2*f_{c}}$$

$$\rho_{t} = \frac{{f_{t}}^{2} + \left( \frac{l}{2} \right)^{2}}{2*f_{t}} = \frac{\left( 0,45mm \right)^{2} + \left( 500mm \right)^{2}}{2*0,45mm} \cong \mathbf{277,8}\mathbf{m}$$

$$\rho_{1} = \frac{{f_{1}}^{2} + \left( \frac{l}{2} \right)^{2}}{2*f_{1}} = \frac{\left( 0,42mm \right)^{2} + \left( 500mm \right)^{2}}{2*0,42mm} \cong \mathbf{297,6}\mathbf{m}$$

Błąd względny:

$$\delta_{\rho} = \left| \frac{\text{Δρ}}{\rho} \right| = \left| \frac{\rho_{1} - \rho_{t}}{\rho_{t}} \right| = \left| \frac{297,6 - 277,8}{277,8} \right| = 0,0712 = \mathbf{7,1\%}$$

1. Wnioski

Na podstawie powyższych obliczeń stwierdzić można, że zastosowane metody pomiarowe są dość dokładnie. Błędy względne były stosunkowo niewielkie i nie przekraczały 8%. Nasuwa się także wniosek, iż uproszczony model prętów zginanych i aparat analityczny stosowany na kursie Wytrzymałości Konstrukcji do opisania zależności i praw badanych w powyższym doświadczeniu jest dobrym odwzorowaniem rzeczywistości (oczywiście w zależności jak bardzo dokładnych pomiarów potrzebujemy).

Należy jednak pamiętać iż powyższe wyniki obarczone są wieloma błędami. Oprócz błędów odczytu i niedokładności przyrządów pomiarowych (tensometrów, mostka, czujnika zegarowego), także odważniki używane w doświadczeniu nie były dokładnie ważone. Wszystkie te okoliczności wpływają na niedokładności pomiarowe.