1. Rózniczka zupełna funkcji, def. i zastosowania

, gdzie - pochodne cząstkowe po odpowiednich zmiennych

Różniczką zupełną dz funkcji w punkcie dla przyrostów dx i dy nazywamy wyrażenie

Powyższy wzór znajduje zastosowanie do obliczania przybliżonych wartości funkcji, mianowicie:

1. Operatory różniczkowe, grad, div, laplasjan, operator nabla

Gradient – pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach. Gradient u definiuje się jako pole wektorowe o składowych będących pochodnymi cząstkowymi u.

Dana jest funkcja u :  R³ ∋ (x,y,z) → u(x, y, z)∈R.

$$\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z} \right)$$

Dywergencja – operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem.

Jeżeli $\overrightarrow{V} = \left( P,Q,R \right)$, to $\text{div}\overrightarrow{V} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$.

Laplasjan – operator różniczkowy drugiego rzędu, stanowi sumę operatorów drugich pochodnych cząstkowych po kartezjańskich współrzędnych przestrzennych.

$$\nabla^{2}\varphi = \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial z^{2}}$$

Operator nabla ∇ - w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R³ z układem współrzędnych kartezjańskich (x, y, z) nablę definiuje się za pomocą pochodnych cząstkowych wzorem:

$$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right) = \overrightarrow{i}\frac{\partial}{\partial x} + \overrightarrow{j}\frac{\partial}{\partial y} + \overrightarrow{k}\frac{\partial}{\partial z}$$

1. Pochodna kierunkowa

Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x₀,y₀) w kierunku wersora określamy wzorem:

.

Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pochodnej cząstkowej i określa szybkość zmiany wartości funkcji f w kierunku wersora .

Jeśli pochodne cząstkowe , istnieją na obszarze D, oraz są ciągłe w punkcie (x₀,y₀) ∈ D.

Wtedy

,

1. Prawo Darcy’ego,

Opisuje zależność między prędkością filtracji płynu przepływającego w ośrodku porowatym a występujacym gradientem ciśnienia (∇p).

$\overrightarrow{u} = - \frac{k}{\mu}\nabla p$ K – współczynnik proporcjonalnościμ − wspolczynnik lepkosci dynamicznej plynu

1. Całka ogólna i szczególna równania różniczkowego zwyczajnego

Całka szczególna rozwiązania różniczkowego to rozwiązanie równania różniczkowego na podstawie postaci całki ogólnej przy przyjętych warunkach początkowych. W sensie stricte matematycznym polega to na wyznaczeniu stałych C₁ i C_2.

Całka ogólna to postać dla której nie okresla się warunków początkowych/brzegowych przez co nie jest możliwe wyznaczenie stałych całkowania!

1. Równania różniczkowe cząstkowe rzędu 2-go, klasyfikacja, warunki graniczne, r. Laplace’a, falowe, przewodnictwa cieplnego

• (F(x,y,u(x,y)), $\frac{\partial u}{\partial x},\ \frac{\partial u}{\partial y},\ \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},\ \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}$)= 0 jest równaniem różniczkowym rzędu drugiego, z niewiadomą funkcją dwóch zmiennych niezależnych

• Warunki brzegowe:

• warunek Dirichleta- wartość funkcji na brzegu jest znana

• warunek Neumanna- określona jest interakcja z brzegiem, np., wpływ do obszaru, wypływ, przyłożona siła. W szczególności warunek Neumanna pozwala zdefiniować brzeg nieprzepuszczalny

• warunek trzeciego rodzaju (Robina, Fouriera)- warunek ten definiuje wzajemną zależność (nieznanej) wartości rozwiązania oraz (nieznanej) pochodnej normalnej na brzegu

• Klasyfikacja warunków granicznych:

• -brzegowe (na powierzchni lub linii granicznej)

• - początkowe (dla czasu t=t₀)

Rozwiązanie problemu polega na znalezieniu nieznanej funkcji φ z równania różniczkowego o pochodnych cząstkowych. φ musi spełniać równanie:

L*φ=g

wewnątrz określonego regionu rozwiązania R, a ponad to spełniać pewne warunki na S, granicy regionu R.

• równanie falowe

$\frac{\partial^{2}T}{\partial t^{2}} = \frac{1}{C}*\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}$

• równanie przewodnictwa cieplenego

$$\frac{\partial T}{\partial k} = k*\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}$$

• równie Laplacea

$\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}} + \frac{\partial T}{\partial y^{2}} = 0$ lub ∇²p = 0

• Klasyfikacja PDA

Równania różniczki cząstkowej rzędu pierwszego są zawsze hiperboliczne!

Wyznacznik B^2-4AC	RRC	Przykład
<0 równanie opisuje stan ustalony, brak zmiennej czasowej	Eliptyczne	Równanie Laplace’a $$\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}} + \frac{\partial T}{\partial y^{2}} = 0$$
=0 rozkład równanie przewodnictwa cieplnego	Paraboliczne	Zagadnienie propagacji, funkcji w czasie i przestrzeni $$\frac{\partial T}{\partial k} = k*\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}$$
>0 rozwiązanie oscylacyjne, np., drgania struny	Hiperboliczne	Równani falowe, rozkład funkcji w czasie i przestrzeni $$\frac{\partial^{2}T}{\partial t^{2}} = \frac{1}{C}*\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}$$

1. Funkcje Ei, erf, erfc

• Funkcja erf (error function) to funkcja, która występuje w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce oraz w teorii równań różniczkowych cząstkowych. W statystyce jest ona używana do przewidzenia zachowania każdej próbki, w stosunku do średniej wartości pomiarów.

Zdefiniowana jest wzorem:

$$\operatorname{erf}\left( x \right) = 2/\sqrt{\pi}\int_{0}^{x}e^{{- t}^{2}}dt$$

• Funkcja ERFC- complementary error function, czyli dopełnienie funkcji błędu Gaussa. Definiuje się ją wzorem:

• Funkcja Ei (exponential- integral function) jest to funkcja całkowo- wykładnicza.

Można ją wyrazić wzorem:

$$\text{Ei}\left( - x \right) = \int_{- \infty}^{- x}{\frac{e^{t}}{t}dt,\ dla\ x > 0}$$

Lub

$$\text{Ei}\left( x \right) = \int_{- \infty}^{x}{\frac{e^{t}}{t}dt,\ dla\ x < 0}$$

$\frac{e^{- t}}{t} = \sum_{n = 0}^{\infty}{\frac{\left( - 1 \right)^{n}t^{n}}{tn!} = \frac{1}{t} + \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\left( - 1 \right)^{n}t^{n - 1}}{n!}}$

C ≅ 0, 577   stala Eulera (1)

1. Współrzędne walcowe i sferyczne, operatory różniczkowe w różnych układach współrzędnych

• Walcowy układ współrzędnych (cylindryczny) to układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Każdy punkt P przestrzeni zapisuje się w postaci trójki współrzędnych ,

 — odległość od osi OZ rzutu punktu  na płaszczyznę OXY,

 — kąt pomiędzy osią dodatnią OX a odcinkiem łączącym rzut punktu P na płaszczyznę OXY z początkiem układu współrzędnych,

 — odległość rzutu punktu P na oś OZ od początku układu współrzędnych.

Związki pomiędzy współrzędnymi cylindrycznymi oraz kartezjańskimi:

x = ρcosφ $\mathbf{\rho =}\sqrt{\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{y}^{\mathbf{2}}}$

y = ρsinφ φ = arctg(y, x)

z = z z = z

ρ = const.

x²+y²=constans

• Współrzędnymi sferycznymi są: długość wektora a, kąt biegunowy ϑ jaki tworzy wektor a z dodatnią półosią Oz oraz kąt azymutalny ν.

Związek ze współrzędnymi kartezjańskimi jest następujący:

a_x=asinϑcosφ

a_y=asinϑsinφ

a_z=acosϑ

• RÓŻNICZKA dr w kartezjańskim układzie współrzędnych:

$\overrightarrow{r}(i,j,\overrightarrow{k})$

$d\overrightarrow{r} = dx\overrightarrow{i} + dy\overrightarrow{j} + dz\overrightarrow{k}$

• RÓŻNICZKA dr w cylindrycznym układzie współrzędnych:

$\overrightarrow{r}(\rho,\varphi,z)$

$r = \rho\hat{\rho} + z\hat{z}$

$\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{=}\hat{\mathbf{\rho}}\mathbf{d\rho +}\hat{\mathbf{\varphi}}\mathbf{\rho d\varphi +}\hat{\mathbf{z}}\mathbf{\text{dz}}$

1. Strumień wektora przez powierzchnię, tw. Gaussa

• Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego .

Z: - obszar normalny względem płaszczyzn układu współrzędnych

- powierzchnia regularna zamknięta zorientowana na zewnątrz V

są określone i ciągłe na

T:

• Strumień wektora — skalarny iloczyn wektora i wektora reprezentującego powierzchnię — prostopadłego do powierzchni. Zazwyczaj oznaczany dużą literą Φ, czasem z indeksem oznaczającym rodzaj pola

Niech zatem  będzie dowolnym polem wektorowym, dla którego istnieje dywergencja na całym zamkniętym obszarze o objętości V = [x,y,z]:

gdzie  jest wektorem powierzchni. Można to zapisać prościej:

1. Równanie ciągłości w ośrodku porowatym

ρφxyz

$\text{ρφ}xyt + \text{tφ}v\left( \rho \right) = \varphi y\frac{\partial\rho}{\partial t}t$

$$\overrightarrow{v} = v_{x}\overrightarrow{i} + v_{y}\overrightarrow{j} + v_{z}\overrightarrow{k}$$

W odniesieniu do przepływów jednofazowych równanie ciągłości dla ośrodka porowatego przyjmuje następującą postać ogólną:

lub w równoważnym zapisie (we współrzędnych prostokątnych):

gdzie: – wektor prędkości filtracji o współrzędnych , – gęstość płynu, – porowatość ośrodka porowatego, q – intensywność źródeł, h – parametr geometryczny, x, y, z – współrzędne prostokątne, t – czas.

1. Równanie filtracji płynu w ośrodku porowatym, przepływ stacjonarny i niestacjonarny

• Równanie filtracji płynu w ośrodku porowatym:

$\text{φcρ}\frac{\partial p}{\partial t} - div\left( \frac{\text{ρk}}{\mu}\text{gradp} \right) = 0$

• Przepływ stacjonarny (ang. steady flow) – ruch płynu, w którym składowe wektora prędkości nie są funkcjami czasu. Inaczej mówiąc, przepływ stacjonarny to ruch płynu nie zmieniający się w czasie

• Przepływ niestacjonarny (ang. unsteady flow) - ruch płynu, w którym co najmniej jedna składowa wektora prędkości płynu jest funkcją czasu. Inaczej mówiąc jest to ruch płynu zmieniający się w czasie.

1. Pola skalarne i wektorowe

• Pole wektorowe - funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową.

$\overrightarrow{V}:\ R^{n} \rightarrow R^{n}$

Czyli:

$\text{w\ }R^{2}:\ \ \overrightarrow{V}\left( x,y \right) = (P\left( x,y \right),\ Q\left( x,y \right))$

$\text{w\ }R^{3}:\ \overrightarrow{V}\left( x,y,z \right) = (P\left( x,y,z \right),\ Q\left( x,y,z \right),R(x,y,z))$

• Pole skalarne – w matematyce i fizyce przypisanie każdemu punktowi pewnego obszaru pewnej wielkości skalarnej (w matematyce – liczby, w fizyce zazwyczaj wielkości mianowanej). Jest jednym z rodzajów pola fizycznego.

lub

W równania pola bardzo często używa się trzech operacji różniczkowych: gradientu, dywergencji i rotacji.

1. Pole potencjalne

$\overrightarrow{V} = \left( P,Q,R \right)nazwiemy\ potencjalnym < = > \ \bigvee_{uR^{3} \rightarrow R}^{}{du = Pdx + Qdy + Rdz = \frac{\partial u}{\partial x}dx +}\frac{\partial u}{\partial y}dy + \frac{\partial u}{\partial z}\text{dz}$

Przy czym funkcje u : R³ ∋ (x, y, z)→u(x,y,z) nazywamy potencjałem pola wektorowego $\overrightarrow{V}$

Warunek aby pole $\overrightarrow{w} = P\overrightarrow{i} + Q\overrightarrow{j}$ było potencjalne:

φ − potencjal

$\frac{\partial\varphi}{\partial x} = P\ \ \ i\ \ \ \frac{\partial\varphi}{\partial y} = Q\ \ \ $

$\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x\partial y} = \frac{\partial P}{\partial y}\text{\ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ }\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\ \ \ \ = > \ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\ $

1. Przybliżone metody rozwiązywania równań algebraicznych
   

Do przybliżonego rozwiązania równań stosuje się 3 metody :

- metoda iteracji

- metoda stycznych

-metoda cięciw