Politechnika Śląska
Wydział Inżynierii Środowiska i Energetyki
Energetyka Komunalna

Numer ćwiczenia: 1

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA

Sekcja 1:

Bartosz Pawełkiewicz

Michał Ciemięga

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest sprawdzenie prawa Hooke'a i wyznaczenie modułu Young'a przez pomiar wydłużenia drutu pod wpływem znanego obciążenia.

2. Wstęp Teoretyczny

Prawo Hooke'a określa zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Moduł Younga czyli inaczej moduł odkształcalności liniowej albo moduł sprężystości podłużnej. Wyraża ona, charakterystyczną dla danego materiału, zależność względnego odkształcenia liniowego materiału od naprężenia, jakie w nim występuje w zakresie odkształceń sprężystych. Przekształcając wzór z prawa Hooke’a otrzymujemy wzór z którego możemy łatwo wyliczyć moduł sprężystości Younga:

3. Wykonywanie pomiarów

a) Na początku drut obciążyliśmy stałym ciężarem o masie 1kg w celu naprężenia drutu i usunięciu zgięć, które mogłyby zakłócić poprawność pomiarów. Następnie mierzyliśmy średnicę drutu 2r dziesięciokrotnie w różnych miejscach. Wyniki pomiarów podane zostały poniżej.

l.p.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
średnica[mm]	0,49	0,52	0,51	0,51	0,49	0,51	0,51	0,51	0,50	0,50

b) Długość drutu wyniosła l₀ = 100,6cm

c) Ustawiliśmy czujnik w pozycji zero i wyznaczyliśmy zależność m(l) poprzez obciążanie drutu dodatkowym ciężarem. Wyniki są następujące.

m[kg]	0	0,5	1	1,5	2	2,5	2	1,5	1	0,5	0
∆l[mm]	0	0,23	0,51	0,68	0,88	1,08	0,89	0,78	0,61	0,39

4. Obliczenia

Tworzymy tabelę z wynikami pomiarów, następnie przetwarzając ją odpowiednio by uzyskać siłę działającą na drut, ciśnienie oraz wydłużenie względne.

m[kg]	F=mg[N]	P=F/S[MPa]	∆l[mm]	α=∆l/l[-]
0	0	0	0	0
0,5	4,905	24,403	0,23	0,00229
1	9,81	48,806	0,51	0,00515
1,5	14,715	73,209	0,68	0,00676
2	19,62	97,612	0,88	0,00875
2,5	24,525	122,015	1,08	0,01073
2	19,62	97,612	0,89	0,00885
1,5	14,715	73,209	0,78	0,00775
1	9,81	48,806	0,61	0,00606
0,5	4,905	24,403	0,39	0,00388
0	0	0	0	0

S=πr² jest polem przekroju struny obliczonym dla średniej wartości z 10 pomiarów promienia

r_śr=(0,245+0,245+0,25+0,255+0,255+0,255+0,255+0,255+0,26)/10

r_śr=0,2525mm≈0,253mm=0,000253m Błąd bezwzględny pomiaru= 0,008 mm

S= 3,14*(0,000253)²=0,201*10^-6m

P jest ciśnieniem rozciągającym, równym w stanie ustalonym naprężeniu struny, α to względne wydłużenie struny i jest miarą jej deformacji. Poniżej przedstawiamy wykres zależności tych dwóch stałych.

Przyspieszenie ziemskie (g) przyjęto równe 9,81m/s²

Za pomocą programu komputerowego Microsoft Excel została wykonana powyższa regresja z uwzględnieniem parametrów zawartych w tabeli obliczeniowej. Wartości umieszczone na osi X odzwierciedlają parametr α natomiast na osi Y zostały rozlokowane parametry p.

Za pomocą programu komputerowego wyznaczony został współczynnik kierunkowy prostej regresyjnej który definiowany jest jako moduł Younga (E) oraz błąd popełniony w tym doświadczeniu. Wyniki przedstawiają się następująco:

E=104,22GPa

Błąd pomiarowy w tym doświadczeniu wyniósł:

ΔE=3,97GPa

Obliczmy wartość błędu bezwzględnego:

$\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3,97}\mathbf{\text{GPa}}\mathbf{*}\mathbf{100}\%}{\mathbf{104,22}\mathbf{\text{GPa}}}$=3,81%

Wynik końcowy przedstawia się następująco:

E=(104,22±3,97)GPa

5. Wnioski

Podczas wykonywania doświadczenia nie zauważyliśmy żadnych nieprawidłowości związanych z działaniem przyrządów pomiarowych lub stanowiska pomiarowego.

Błędy pomiarów, wyniknąć mogły z niedokładności podczas mierzenia długości drutu. Używaliśmy do tego linijki z podziałką milimetrową, a przy tym sposób umiejscowienia drutu zarówno w dolnym, jak i w górnym uchwycie w pewnym stopniu utrudniał nam dokładny odczyt jego długości. Pewne niepewności mogły wystąpić podczas odczytu wydłużenia drutu z tarczy czujnika zegarowego, gdyż ze względu na jego czułość, bardzo trudnym zadaniem okazało się jego wyzerowanie.

Z otrzymanych wyników pomiarów wynika iż moduł Younga dla stali wynosi :

E=(104,22±3,97)GPa