ANALIZA DYNAMIKI – INDEKSY PROSTE
Do miar dynamiki szeregu czasowego zalicza się indeksy dynamiki (jednopodstawowe i łańcuchowe).
Indeksy dynamiki określa się następująco:
lub
gdzie : - poziom zjawiska w pewnym okresie,
- poziom zjawiska w okresie odniesienia.
Indeks dynamiki ma następujące właściwości:
♦ jest liczbą niemianowaną (tzn. nie posiada jednostki),
♦ jest liczbą nieujemną ,
♦ równy jest jedności, gdy poziom zjawiska w obu okresach jest jednakowy ,
♦ wartość indeksu w postaci procentowej pomniejszona o 100%, tj.
,
mówi o ile procent poziom zjawiska w okresie n-tym jest wyższy lub niższy niż w okresie 0-owym.
Rozróżniamy dwa rodzaje indeksów dynamiki: indywidualne (proste) i agregatowe.
Indeksy indywidualne
Indeksy indywidualne służą do analizy jednego szeregu czasowego . Przy badaniu zmian wartości cechy w czasie można posłużyć się ciągami indeksów jednopodstawowych lub indeksów łańcuchowych.
Indeksy jednopodstawowe informują, jakie zmiany nastąpiły w poziomie zjawiska w kolejnych okresach w stosunku do okresu przyjętego jako podstawa (bazowego).
Indeksy łańcuchowe (o podstawie zmiennej) informują, jakie zmiany nastąpiły w poziomie zjawiska w kolejnym okresie w stosunku do okresu go poprzedzającego.
Przykład (zad. 1 z listy nr 5):
Dane dotyczące importu ropy naftowej w tys. ton w Polsce w latach 1995 - 1999 zebrano w tabeli:
Lata |
Okres | Import ropy naftowej (tys. ton) |
---|---|---|
1995 1996 1997 1998 1999 |
1 2 3 4 5 |
12 957 13 351 14 713 15 367 15 273 |
Na podstawie tych danych obliczyć i zinterpretować:
indeksy dynamiki jednopodstawowe i łańcuchowe,
średniookresowy indeks łańcuchowy,
średniookresowe tempo zmian w czasie.
Ad. (a) indeksy jednopodstawowe: indeksy łańcuchowe:
Podstawa - rok 1995:
Otrzymane indeksy wstawiamy do tabeli (w postaci procentowej):
Lata |
Okres | Import ropy naftowej (tys. ton) | Indeksy jednopodstawowe (1995=100) |
Indeksy łańcuchowe (rok poprzedni = 100) |
---|---|---|---|---|
1995 1996 1997 1998 1999 |
1 2 3 4 5 |
12 957 13 351 14 713 15 367 15 273 |
100,0 103,0 113,6 118,6 117,9 |
- 103,0 110,2 104,4 99,4 |
Interpretacja indeksów dynamiki dla roku 1999:
jednopodstawowe: 117,9% - 100% = 17,9%, czyli import ropy naftowej w roku 1999 wzrósł o 17,9% w porównaniu z rokiem 1995.
łańcuchowe: 99,4% - 100% = -0,6%, czyli import ropy naftowej w roku 1999 zmalał o 0,6% w porównaniu z 1998 rokiem.
Średniookresowe tempo zmian w czasie określa średniookresowy wzrost lub spadek badanego zjawiska, przypadający na analizowaną jednostkę czasu:
gdzie:
- średniookresowe tempo zmian w czasie,
- średniookresowy indeks łańcuchowy.
Oceny średniego poziomu badanego zjawiska w przeliczeniu na jednostkę czasu w danym szeregu czasowym dokonuje się za pomocą średniookresowego indeksu łańcuchowego. Wartość tego miernika w zależności od posiadanych informacji można obliczyć:
► na podstawie wartości analizowanego zjawiska dla pierwszego i ostatniego okresu:
w naszym przypadku mamy :
► na podstawie indeksów łańcuchowych:
Uwzględniając indeksy łańcuchowe z ostatniej kolumny (po zamianie procentów na liczby) otrzymujemy:
► korzystając z indeksów o podstawie stałej dla pierwszego i ostatniego okresu mamy:
Uwzględniając pierwszy i ostatni indeks o podstawie stałej (po zamianie procentów na liczby) otrzymujemy:
Średniookresowe indeksy łańcuchowe obliczone według powyższych sposobów są jednakowe.
Interpretacja średniookresowego indeksu łańcuchowego:
W latach 1995 – 1999 import ropy naftowej w każdym następnym roku stanowił przeciętnie 104,2% importu z roku poprzedniego.
Podstawiamy wartość do wzoru na :
Interpretacja : w latach 1995-1999 import ropy naftowej wzrastał rocznie przeciętnie o 4,2%.
Zad. 2 lista nr 5:
Dynamikę cen pewnego artykułu w latach podano w tabeli (w tabeli podano indeksy jednopodstawowe):
Lata | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 |
---|---|---|---|---|---|
Rok 1990 = 100% | 100 | 104 | 98 | 103 | 102 |
Porównać cenę artykułu w roku 2003 z ceną w roku 2000.
Musimy obliczyć następujący indeks (podstawa jest stała – jest nią rok 1990):
Cena artykułu spadła o 2%.
Komentarz: jeżeli obliczymy indeks w postaci dziesiętnej i zamienimy go na postać procentową, to jeszcze nie możemy go zinterpretować. Dopiero od postaci procentowej należy zawsze odjąć 100% i dopiero tę wartość interpretujemy.
Zad. 3 lista nr 5:
Dynamika nakładów inwestycyjnych w latach 1999-2003 była następująca:
Lata | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 |
---|---|---|---|---|---|
Indeksy łańcuchowe | 80 | 100 | 90 | 115 | 110 |
Obliczyć indeks i zinterpretować.
Jeśli nakłady w roku 2003 wynosiły 600 mln zł, to jakie były nakłady w roku 1999?
(a) Ponieważ są to indeksy łańcuchowe (o podstawie zmiennej), więc każda wartość w tabeli dotyczy związku roku bieżącego z rokiem poprzednim, dlatego można – dla ułatwienia - rozpisać lata następująco:
Lata | 1999/98 | 2000/99 | 2001/00 | 2002/01 | 2003/02 |
---|---|---|---|---|---|
Indeksy łańcuchowe | 80 | 100 | 90 | 115 | 110 |
Aby obliczyć indeks , należy rozpisać go następująco:
Jak widać, nie bierzemy pod uwagę wszystkich indeksów z tabeli, dlatego ważne jest powyższe rozpisanie.
Podstawiamy do wzoru indeksy w postaci dziesiętnej (dzielimy wartości przez 100):
Obliczony indeks wynosi 1,14. Aby go zinterpretować, musimy wyrazić go w procentach i odjąć 100%:
Interpretacja: nakłady inwestycyjne w roku 2003 wzrosły o 14% w stosunku do roku 1999.
(b) Jeśli nakłady w roku 2003 wynosiły 600 mln zł, to jakie były nakłady w roku 1999?
Możemy skorzystać z wyniku z poprzedniego podpunktu (1,14) oraz ułożyć proporcję:
2003 – 600 mln zł
1999 – x
Wiemy, że indeks , wobec tego:
Interpretacja: jeśli nakłady w roku 2003 wynosiły 600 mln zł, to w roku 1999 były równe 526,3 mln zł.
Zad. 4 lista nr 5:
Dynamikę cen pewnego artykułu podaje tabelka:
Lata | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 |
---|---|---|---|---|---|
Rok poprzedni = 100 % | 90 | 110 | 105 | 107 | 95 |
Obliczyć cenę artykułu w roku 2000 wiedząc, że cena artykułu w roku 1997 wynosiła 200 zł.
Obliczyć średniookresowe tempo zmian ceny w latach 1998-2001.
Ponieważ są to indeksy łańcuchowe, należy najpierw obliczyć indeks - jak w poprzednim zadaniu, a dopiero potem ułożyć odpowiednią proporcję.
Lata | 1997/96 | 1998/97 | 1999/98 | 2000/99 | 2001/00 |
---|---|---|---|---|---|
Rok poprzedni = 100 % | 90 | 110 | 105 | 107 | 95 |
Podstawiamy do wzoru indeksy w postaci dziesiętnej (dzielimy wartości przez 100):
2000 – x
1997 – 200 zł
Interpretacja: jeśli cena artykułu w roku 1997 wynosiła 200 zł, to w roku 2000 była równa 248 zł.
- Obliczyć średniookresowe tempo zmian ceny w latach 1998-2001.
Korzystamy ze wzoru na średniookresowe tempo zmian:
Ponieważ są to indeksy łańcuchowe, więc korzystamy ze sposobu II (patrz zad. 1 z listy):
Pierwiastek jest tutaj stopnia 5-1, gdyż wartość w roku 1998 odnosi się przecież do roku 1997, więc musimy brać pod uwagę też rok wcześniejszy.
Teraz podstawiamy do wzoru na T:
Interpretacja: w latach 1998-2001 cena pewnego artykułu wzrastała rocznie średnio o 4%.
STATYSTYKA – ĆWICZENIA
LISTA ZADAŃ NR 5 – INDEKSY PROSTE
Zadanie 1. Dane dotyczące importu ropy naftowej w tys. ton w Polsce w latach 1995 - 1999 zebrano w tabeli:
Lata |
Okres | Import ropy naftowej (tys. ton) |
---|---|---|
1995 1996 1997 1998 1999 |
1 2 3 4 5 |
12 957 13 351 14 713 15 367 15 273 |
Na podstawie tych danych obliczyć i zinterpretować:
indeksy dynamiki jednopodstawowe i łańcuchowe,
średniookresowy indeks łańcuchowy,
średniookresowe tempo zmian w czasie.
Zadanie 2. Dynamikę cen pewnego artykułu w latach podano w tabeli (w tabeli podano indeksy jednopodstawowe):
Lata |
1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 |
---|---|---|---|---|---|
Rok 1999 = 100% | 100 | 104 | 98 | 103 | 102 |
Porównać cenę artykułu w roku 2003 z ceną w roku 2000.
Zadanie 3. Dynamika nakładów inwestycyjnych w latach 1999-2003 była następująca:
Lata |
1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 |
---|---|---|---|---|---|
Indeksy łańcuchowe | 80 | 100 | 90 | 115 | 110 |
Obliczyć indeks i zinterpretować.
Jeśli nakłady w roku 2003 wynosiły 600 mln zł, to jakie były nakłady w roku 1999?
Zadanie 4. Dynamikę cen pewnego artykułu podaje tabelka:
Lata | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 |
---|---|---|---|---|---|
Rok poprzedni = 100 % | 90 | 110 | 105 | 107 | 95 |
Obliczyć cenę artykułu w roku 2000 wiedząc, że cena artykułu w roku 1997 wynosiła 200 zł.
Obliczyć średniookresowe tempo zmian ceny w latach 1998-2001.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Zad. 1 Dynamikę cen pewnego artykułu podaje tabela:
Lata | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 |
---|---|---|---|---|---|
Rok poprzedni =100% | 107 | 104 | 103 | 100 | 102 |
Oblicz i zinterpretuj indeks i02/99.
Jeżeli cena tego artykułu w roku 2003 wynosiła 67 zł, jaka była cena w roku 2000?
Obliczyć i zinterpretować średnioroczne tempo zmian.
Lata | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 |
---|---|---|---|---|---|
Rok 1998 =100% | 109 | 111 | 116 | 108 | 122 |
Oblicz i zinterpretuj indeks i01/99.
Jeżeli cena benzyny w roku 2003 wynosiła 67 zł, jaka była cena w roku 2000?
Obliczyć i zinterpretować średnioroczne tempo zmian.
Zad. 3 Dynamikę zatrudnienia w firmie X podaje tabela:
Lata | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 |
---|---|---|---|---|---|
Rok poprzedni =100% | 97 | 104 | 102 | 95 | 96 |
Oblicz i zinterpretuj indeks i03/99.
W którym roku było więcej zatrudnionych, w 2003 czy w 2000?
Obliczyć i zinterpretować średnioroczne tempo zmian.
Zad. 4 Dynamikę cen pewnego artykułu podaje tabela:
Lata | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 |
---|---|---|---|---|---|---|
Rok 2002 =100% | 107 | 104 | 103 | 100 | 100 | 102 |
Oblicz i zinterpretuj indeks i02/99.
Jeżeli cena tego artykułu w roku 2004 wynosiła 60 zł, jaka była cena w roku 2000?
Obliczyć i zinterpretować średnioroczne tempo zmian.
Zad. 5 Dynamika dochodu w firmie w latach 1997, 1998, 1999 kształtowała się następująco: 108, 115, 120 (przyjmując, że rok poprzedni=100%).
O ile procent wzrósł dochód w 1999 w porównaniu do roku 1996?
Jeżeli dochód firmy w roku 1999 wynosił 20 000zł, to jaki był w roku 1998?
Oblicz średnioroczne tempo dla dochodów w tej firmie.
Zad. 6 Cenę pszenicy w lipcu obniżono o 15%, w październiku podniesiono o 5%, w grudniu o 7% i w marcu o 3%.
Obliczyć średniookresowe tempo zmian.
Zad. 7 Dynamika produkcji w stosunku do roku poprzedniego w firmie DFB POLSKA w ciągu kolejnych lat była następująca:
Rok | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 |
---|---|---|---|---|---|---|
Dynamika [%] | 140 | 135 | 131 | 120 | 111 | 103 |
Oblicz średnioroczne tempo zmian i zinterpretuj wynik.
Wyznacz prostą trendu.
Oszacuj produkcję w roku 2005 na podstawie prostej trendu.
Oblicz średniookresowe tempo zmian i zinterpretuj wynik.
Jeżeli w roku 2000 produkcja wynosiła 33 tys. ton, to ile wynosiła produkcja w roku 1998 i 2001?