1. Aproksymacja wielomianowa

Jeżeli za funkcje bazowe przyjmiemy ciąg jednomianów (xⁱ), i = 0, 1, ..., n to układ normalny przyjmuje postać

, k = 0, 1, ..., n

co po zmianie kolejności sumowania daje

przykład: Odnaleźć zależność między x i y w postaci ax+by=1

x	1	3	4	6	8	9	11	14
y	1	2	4	4	5	7	8	9

przy czym

, gdzie: ,

2. Metoda iteracji

Dany jest układ równań nieliniowych z n niewiadomymi

który możemy zapisać w postaci wektorowej x=g(x)

Zakładamy, że funkcja g₁, g₂, ..., g_n są rzeczywiste i ciągłe w pewnym otoczeniu odosobnionego pierwiastka a = {a₁, ..., a_n} układu równań.

Metoda iteracji polega na stosowaniu następującego wzoru

x^k+1 = g(x^(k))

Po przyjęciu przybliżenia , w rezultacie otrzymujemy ciąg kolejnych przybliżeń pierwiastka a równania.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. złożony wzór prostokątów:

(28)

gdzie błąd przybliżenia (29)

oraz

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Równania paraboliczne - Dyfuzja

dla oraz (13)

z warunkami brzegowymi dla

i początkowymi dla

W tym celu weźmiemy liczbę całkowitą m i zdefiniujemy krok całkowania h = (b-a)/m. Dodatkowo ustalimy wartość kroku czasowego k. Dzięki temu możemy wyznaczyć węzły siatki (xi , tj ), gdzie:

dla i = 0,1, .. m oraz dla j = 0,1, ..

Dla zmiennej x

gdzie:

Dla zmiennej t (15)

gdzie:

6.B Metoda Eulera

Rozpatrzmy zadanie znalezienia funkcji y=y(t), które dla spełnia równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu:

(7)

oraz warunek początkowy

y(a)=y₀ (8),

, gdzie oraz y(a)=a (10)

Na rozwiązanie powyższego zagadnienia będziemy obliczać przybliżone wartości funkcji yi=y(ti), gdzie ti=a+ih, h=(b-a)/N, dla którego i=(0,1, ..., N), gdzie ti nazywane są punktami węzłowymi, natomiast h odległością między nimi.

(11), gdzie

Oznaczamy h=t_i+1-t_i, wówczas otrzymujemy:

(12)

Użyjemy podstawienia y’(t)=f(t, y), wówczas otrzymujemy:

(13)

Zapisując ω_i≈y(t_i)

(15)

, gdzie (16)

Lokalny błąd dyskretyzacji τ_i+1(h)

(17)

dodatkowo możemy określić krok h, dla którego błąd lokalny jest mniejszy od zadanej dokładności δ

, gdzie

Globalny błąd dyskretyzacji g(x)

g(t)= ω(t)-y(t) (19)

Dla wybranego punktu t_i możemy zapisać:

g_i=ω_i-y(t_i) (20), wówczas

, gdzie L- liczba Lipschnitz`a

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Metoda Eulera – wstecz

Powyższe rozważania dotyczyły metody Eulera w przód, ponieważ krok spełniał warunek h>0. W analogiczny sposób można wyprowadzić metodą Eulera wstecz przyjmując h<0, wówczas otrzymujemy:

w_i+1 = w_i + hf (t_i+1, w_i+1) (22)

w_i+1^(k) = w_i + hf (t_i+1, w_i+1^(k-1)) (23)

Metoda wstecz różni się w stosunku do metody w przód argumentami funkcji f.

Metoda w przód wykorzystuje do obliczenia przybliżenia wartości z poprzedniego kroku, natomiast metoda wstecz jest równaniem uwikłanym, ponieważ aby obliczyć kolejne przybliżenie w_i+1 wykorzystujemy wartości z poprzedniego kroku oraz poszukiwaną wartość w_i+1. Takiego równania nie można rozwiązać w sposób bezpośredni. Aby rozwiązać takie równanie (23) należy zastosować proces iteracyjny, czyli poszukujemy kilkakrotnie w_i+1^(k), stojącej po prawej stronie równania podstawiając jako w_i+1^(k-1) - lewa strona równania, wynik przybliżenia z poprzedniej iteracji (k-1). Proces trwa do momentu, kiedy spełniony zostanie warunek:

|w_i+1^(k) - w_i+1^(k-1)| ≤ ε (24)

gdzie ε - tolerancja obliczeń

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------