Wydział Mechaniczno- Energetyczny
LABORATORIUM PT. PODSTAWY METROLOGII I TECHNIK EKSPERYMENTU

SPRAWOZDANIE
Ćwiczenie nr 2 – Błędy w pomiarach bezpośrednich

1. Cel ćwiczenia – wyznaczenie niepewności rozszerzonej pomiaru grubości ścianki przewodu.

2. Schemat stanowiska – zmierzono 11-krotnie za pomocą grubościomierza ultradźwiękowego grubości ścianek przewodów wykonanych z materiałów: stali, pleksi oraz aluminium.

3. Dane pomiarowe:

Tabela 1. Wyniki pomiarów wykonanych grubościomierzem ultradźwiękowym

	Materiał
L.p.	Stal [mm]
1.	3,6
2.	3,3
3.	3,4
4.	3,1
5.	3,0
6.	3,1
7.	3,3
8.	3,0
9.	3,0
10.	3,2
11.	5,0

1. Sprawdzenie wyników które różnią się w sposób znaczący od pzostałych – możliwych błędów nadmiernych (omyłek):

   1. Zgodnie z procedurą sprawdzania omyłki należy:

- odrzucić niepokojący nas wynik (wtedy liczba pomiarów będzie równa N^*=N-1)

- obliczyć średnią dla N^* pomiarów

-obliczyć odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru

- przyjąć przedział ufności

-na podstawie przyjętego przedziału sprawdzić czy wynik jest omyłką

Przydatne wzory:

• wartość średnia : $\overset{\overline{}}{\mathbf{g}}\mathbf{=}\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{N}}\mathbf{g}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{N}}$

• odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru $\mathbf{\sigma}_{\overset{\overline{}}{\mathbf{g}}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{N}}\left( \mathbf{g}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{g}} \right)^{\mathbf{2}}}{\left( \mathbf{N}^{\mathbf{*}}\mathbf{- 1} \right)}}$

• przedział ufności P($\overset{\overline{}}{\mathbf{g}}\mathbf{-}\mathbf{t}_{\mathbf{\text{qm}}}\mathbf{\sigma < g <}\overset{\overline{}}{\mathbf{g}}\mathbf{+}\mathbf{t}_{\mathbf{\text{qm}}}\mathbf{\sigma) = \alpha}$ (dla α = 0, 95 ;z Rozkładu studenta t_qm=2, 228)

1. Przykładowe obliczenia:

$${\overset{\overline{}}{\mathbf{g}_{\mathbf{s}}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{\mathbf{i}\mathbf{= 1}}^{\mathbf{N}}\mathbf{\text{gi}}}{\mathbf{N}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{3,6 + 3,3 + 3,4 + 3,1 + 3,0 + \ldots + 3,2}}{\mathbf{10}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{10}}\mathbf{= 3,2\ }\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack\mathbf{\backslash n}}\mathbf{\backslash n}{\mathbf{\sigma}_{\overset{\overline{}}{\mathbf{g}_{\mathbf{s}}}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\sum_{\mathbf{i}\mathbf{= 1}}^{\mathbf{N}}\left( \mathbf{g}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{g}} \right)^{\mathbf{2}}}{\left( \mathbf{N}\mathbf{- 1} \right)}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\left( \mathbf{3,6 - 3,2} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ }\left( \mathbf{3,3 - 3,2} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ldots +}\left( \mathbf{3,2 - 3,2} \right)^{\mathbf{2}}}{\mathbf{10 - 1}}\mathbf{=}}\mathbf{0,2\ }\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack\mathbf{\backslash n}}\mathbf{\backslash n}$$

P$\mathbf{(}\overset{\overline{}}{\mathbf{g}}\mathbf{-}\mathbf{t}_{\mathbf{\text{qm}}}\mathbf{\sigma < g <}\overset{\overline{}}{\mathbf{g}}\mathbf{+}\mathbf{t}_{\mathbf{\text{qm}}}\mathbf{\sigma) = \alpha}$
P(3,2-2,228∙0,2 < g < 3,2+2,228∙0,2)= 0,95
P(2,76[mm]<g<3,45[mm])=0,95

Wynik pomiaru nr 11 – 5,0 [mm] - nie mieści się w przedziale ufności, a więc jest omyłką.

Wykonując analogiczne obliczenia sprawdzamy czy pewne wyniki dla pleksi i aluminium są omyłkami:

• Pleksi :
  
  $\overset{\overline{}}{\mathbf{g}_{\mathbf{p}}}\mathbf{=}$5,12[mm]
  $\mathbf{\sigma}_{\overset{\overline{}}{\mathbf{g}_{\mathbf{p}}}}\mathbf{=}$0,04[mm]
  P(4,03[mm]<g<4,21[mm])=0,95
  
  Wynik pomiaru nr 11 - 4,6 [mm] - nie mieści się w przedziale ufności, a więc jest omyłką.

• Aluminium
  
  $\overset{\overline{}}{\mathbf{g}_{\mathbf{a}}}\mathbf{=}$6,77[mm]
  $\mathbf{\sigma}_{\overset{\overline{}}{\mathbf{g}_{\mathbf{a}}}}\mathbf{=}$0,17[mm]
  P(6,39[mm]<g< 7,15[mm])=0,95

Wynik pomiaru nr 11 – 6,1 [mm] - nie mieści się w przedziale ufności, a więc jest omyłką.

Wszystkie wątpliwe wyniki okazały się omyłkami, więc nie będą uwzględniane przy dalszych obliczeniach.

5. Wyznaczanie niepewności wskazania metodą typu A :

   1. Przy obliczeniach korzystamy ze wzoru: $\mathbf{u(}\overset{\overline{}}{\mathbf{g}}\mathbf{) =}\sqrt{\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{N}}\left( \mathbf{g}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{g}} \right)^{\mathbf{2}}}{\mathbf{N}\left( \mathbf{N - 1} \right)}}$

   2. Przykładowe obliczenia :

Stal : $\mathbf{u}\left( \overset{\overline{}}{\mathbf{g}_{\mathbf{s}}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\frac{\sum_{\mathbf{i}\mathbf{= 1}}^{\mathbf{N}}\left( \mathbf{g}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{g}_{\mathbf{a}}} \right)^{\mathbf{2}}}{\mathbf{N}\left( \mathbf{N}\mathbf{- 1} \right)}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\sigma}_{\mathbf{g}_{\mathbf{s}}}}{\sqrt{\mathbf{N}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,2}}{\sqrt{\mathbf{10}}}\mathbf{=}\mathbf{0,063246}\mathbf{\ }\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack\mathbf{\approx 0,07\ \lbrack mm\rbrack}$

Pleksi : $\mathbf{u(}\overset{\overline{}}{\mathbf{g}}\mathbf{) =}$ 0,013282 [mm] ≈0, 01 [mm]

Aluminium: $\mathbf{u(}\overset{\overline{}}{\mathbf{g}}\mathbf{) =}$0,05375[mm]≈0, 06 [mm]

5. Wyznaczanie niepewności poprawki wskazania metodą typu B:

   1. Błąd graniczny grubościomierza ultradźwiękowego za pomocą którego wykonywano pomiary wynosi: Δg= ±1% wskazania ±0,1 mm

   2. Przy obliczeniach korzystamy ze wzoru : u(P_w)=$\mathbf{\text{\ u}}_{\mathbf{B}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\Delta}\mathbf{g}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$

   3. Przykładowe obliczenia:

• Stal : u(P_w)=$\frac{\mathbf{\Delta}\mathbf{g}}{\sqrt{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,01 \bullet 3,2 - 0,1}}{\sqrt{\mathbf{3}}}$= ) = ± 0,03926 [mm]≈ ± 0, 04 [mm]

  • Pleksi : u(P_w) =± 0,03395 [mm] ≈ ±0,04 [mm]

  • Aluminium : u(P_w) =± 0,01865 [mm] ≈  ± 0, 02 [mm]

5. Wyznaczanie niepewności rozdzielczości :

   1. Przyjmujemy rozdzielczość przyrządu d = 0,1 [mm]

   2. Przy obliczeniach korzystamy ze wzoru: $\mathbf{u}\left( \mathbf{P}_{\mathbf{\text{rw}}} \right)\mathbf{=}\mathbf{u}_{\mathbf{B}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}}{\sqrt{\mathbf{12}}}$

   3. Obliczenia: $\mathbf{u}\left( \mathbf{P}_{\mathbf{\text{rw}}} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}}{\sqrt{\mathbf{12}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{0,1}}{\sqrt{\mathbf{12}}}$ = 0,028868[mm]≈0, 03 [mm]

6. Obliczanie niepewności standardowej złożonej:

   1. Przy obliczeniach korzystamy ze wzoru: $\mathbf{u}\left( \mathbf{g} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \overset{\overline{}}{\mathbf{W}} \right)\mathbf{+ \ }\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{P}_{\mathbf{w}} \right)\mathbf{+}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{P}_{\mathbf{\text{rw}}} \right)\mathbf{+ \ }\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{P}_{\mathbf{\text{ws}}} \right)}$

   2. Przyjmujemy niepewność związaną z warunkami środowiskowymi u(P_ws)=0

   3. Przykładowe obliczenia:

$$\mathbf{\ }\mathbf{u}\left( \mathbf{g} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \overset{\overline{}}{\mathbf{W}} \right)\mathbf{+ \ }\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{P}_{\mathbf{w}} \right)\mathbf{+}\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{P}_{\mathbf{\text{rw}}} \right)\mathbf{+ \ }\mathbf{u}^{\mathbf{2}}\left( \mathbf{P}_{\mathbf{\text{ws}}} \right)}\mathbf{=}\sqrt{\left( \mathbf{0,07} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ }\left( \mathbf{0,04} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{0,03} \right)^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 0,086023\ }\left\lbrack \mathbf{\text{mm}} \right\rbrack\mathbf{\approx 0,09\ \lbrack mm\rbrack}\mathbf{\backslash n}$$

• Pleksi : u(g)= 0,05 [mm]

• Aluminium : u(g)= 0,07 [mm]

9. Dobór współczynnika rozszerzenia k:

• Stal

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{N}}\mathbf{=}\sqrt{\left( \mathbf{0,07} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{0,04} \right)^{\mathbf{2}}}\mathbf{\approx 0,08\ \lbrack mm\rbrack}$$

σ_J=0, 03[mm]∖nσ_N>σ_J

Współczynnik rozszerzalności dla stali wynosi k=2

• Pleksi

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{N}}\mathbf{=}\sqrt{\left( \mathbf{0,01} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+ (0,04)\hat{}2}}\mathbf{\approx 0,04\lbrack mm\rbrack}$$

σ_J=0, 03[mm]∖nσ_N>σ_J

Współczynnik rozszerzalności dla pleksi wynosi k=2

• Aluminium

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{N}}\mathbf{=}\sqrt{\left( \mathbf{0,06} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \mathbf{0,02} \right)^{\mathbf{2}}}\mathbf{\approx 0,07\lbrack mm\rbrack}$$

σ_J=0, 03[mm]∖nσ_N>σ_J

Współczynnik rozszerzalności dla aluminium wynosi k=2

9. Wnioski:

Grubościomierz ultradźwiękowy jest to urządzenie służące do pomiaru grubości ścian danych przedmiotów, które swoje zastosowanie świetnie znajdujew energetyce. Można nim bezpiecznie mierzyć grubości przewodów w których płyną ciecze lub spaliny o wysokiej temperaturze, natomiast gdyby pomiar był dokonywany np. suwmiarką mógłby stać się niebezpieczny dla osoby przeprowadzającej pomiar.

Podczas dokonywania pomiarów zdarza się że wynik któregoś pomiaru wydaje nam się znacznie różnić od pozostałych, wtedy aby sprawdzić czy nasz wynik jest realny przeprowadzamy procedurę sprawdzania omyłki. Omyłka może się pojawić jeśli np. przyrząd którym dokonujemy pomiaru jest używany niezgodnie z instrukcją lub gdy pomiar będzie przeprowadzony niedbale. Aby uniknąć omyłek warto przed dokonaniem pomiaru zapoznać się z zasadą działania oraz zastosowaniami przyrządu którym będziemy dokonywać pomiaru.