TRÓJKĄT SFERYCZNY: WYRÓWNANIE KĄTÓW, EKSCES, 3 METODY WYRÓWNANIA

TRÓJKĄT SFERYCZNY

• Trójkąt leżący na powierzchni kuli

• Boki są fragmentami kół wielkich

• Boki opisujemy jako kąty z wierzchołkami w środku sfery

Kąty wierzchołkowe oznaczamy A,B,C a ich przeciwległe boki a,b,c

Boki trójkąta sferycznego są również kątami! (wierzchołek w środku sfery)

Suma A+B+C jest większa od 180 stopni i mniejsza od 540 stopni!

Podobnie jak w trójkątach płaskich aby rozwiązać trójkąt potrzeba znać trzy elementy oraz odpowiednie wzory:

- MET. TRYGONOMETRII SFERYCZNEJ

sin a *cos B = cos b* sin c - sin b *cos c *cos A

cos a = cos b* cos c + sin b *sin c* cos A

ROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH

1. Metoda Legendre’a

2. Metoda Soldnera (additamentów)

METODA LEGENDRE’A opiera się na twierdzeniu Legendre’a:

„Mały trójkąt sferyczny można rozwiązać z wielkim przybliżeniem jako trójkąt płaski o tych samych bokach i o kątach zmniejszonych o 1/3 nadmiaru sferycznego ε.”

Przez mały trójkąt rozumiemy boki w stosunku do promienia R (6370km) do 150km.

Eksces sferyczny ε – nadwyżka sferyczna sumy katów trójkąta sferycznego ponad 180°.

Ε = (A+B+C)-180° ε*R² = Pole

B’ B

c a c a

A’ b C’ A b C

Naprawdę powinno być:

Rozszerzone twierdzenie Legendre’a (uwzględnia wyraz czwartego rzędu):

2.Metoda Soldnera (additamentów)

Kąt pozostają sferyczne a operacje wykonywane są na bokach:

Wzór sinusowy dla trójkąta sferycznego:

I jego rozwinięcie w szereg Taylora:

oznaczenie:

Additamenty liniowe

Trójkąt sferyczny

Trójkąt leżący na powierzchni kuli. Boki są fragmentami kół wielkich. Boki opisujemy jako kąty z wierzchołkami w środku sfery.

Kąty wierzchołkowe oznaczamy A,B,C a ich przeciwległe boki a,b,c

Boki trójkąta sferycznego są również kątami! (wierzchołek w środku sfery)

Suma A+B+C jest większa od 180 stopni i mniejsza od 540 stopni!

Podobnie jak w trójkątach płaskich aby rozwiązać trójkąt potrzeba znać trzy elementy oraz odpowiednie wzory:

sin a /sin A = sin b / sin B =sin c / sin C

sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

Zastosowania trójkątów sferycznych do nawigacji:
Ortodroma i Loksodroma czyli szybka lub łatwa podróż po powierzchni sfery

Ortodroma - „prostobieżnia” jest najkrótszą drogą pomiędzy dwoma punktami na powierzchni sfery (np.: dwa miasta na kuli ziemskiej)

Do obliczenia jej długości stosuje się trójkąt sferyczny na powierzchni Ziemi z wierzchołkami: Biegun ziemski, punkt 1, punkt 2

• jest fragmentem koła wielkiego

• przecina kolejne południki pod różnymi kątami (podróżnik musi ciągle zmieniać kurs)

Loksodroma - „skośnobieżnia”

• przecina wszystkie południki pod tym samym kątem, zatem podróżnik może utrzymywać stały kurs aby dotrzeć do celujest dłuższa od ortodromy

Ortodroma - najkrótsza droga (łuk koła wielkiego)

• Kąt przy biegunie jest równy różnicy długości geograficznych obu miejsc (λ_B - λ_A)

Długości geograficzne zachodnie podstawiamy ze znakiem minus!

Boki przy biegunie są związane z szerokością geograficzną punktów A i B (90-ϕ_A) i ( 90-ϕ_B )

Z wzoru kosinusowego można obliczyć cos(a) a następnie bok a

Wyrównać kąty w trójkącie sferycznym (zadanie)

Wzory:

2. Porównać metody rozwiązania trójkąta sferycznego.

Metoda Legendre’a	Metoda additamentów SOLDNERA
Polega ona na twierdzeniu, że Kąty trójkąta sferycznego A, B, C o bokach równych bokom trójkąta płaskiego a,b,c - kąty sferyczne A, B, C są większe o stałą wartość (1/3ε) - eksces sferyczny od kątów płaskich A’, B’, C’ Kąt A’=A-1/3ε Kąt B’=B-1/3ε Kąt C’=C-1/3ε trójkąt sferyczny zastępuje się trójkątem płaskim o takich samych bokach i kątach odpowiednio zmodyfikowanych o 1/3ε ekscesu. Otrzymane w obliczeniach boki trójkąta płaskiego są bokami trójkąta sferycznego.	Stosujemy dla boków małych w porównaniu o promieni R. Polega ona na zastosowaniu wzoru sinusów dla trójkąta płaskiego, po uprzedniej zmianie boków. Dany jest bok i 3 kąty Obliczenia wykonuje się tak, że wychodzi się od znanego boku, odejmując jego additament a’ = a-δa, δa=, δb= podstawia się wartość a’ i dane kąty A, B, C do wzorów: b’= a’ c’= a’ Po obliczeniach otrzymuje się b’ i c’, do których wartości należy odczytać z tablic i dodać ich additamenty δb i δc b= b’+δb c= c’+δc
Kąty pomierzone:	Kąty wyrównane
A’= A+ ⅓ε + ⅓ω B’= B+ ⅓ε + ⅓ω C’= C+ ⅓ε + ⅓ω ∑= (A’B’C’) = ∑(ABC) +ε+ω	A= A’ - ⅓ω B= B’ - ⅓ω C= C’ - ⅓ω ∑(ABC)=∑(A’B’C’)-ω
Kąty płaskie
A^o = A - ⅓ε B^o = B - ⅓ε C^o = C - ⅓ε ∑(A^oB^oC^o)=∑(ABC) –ε = 180^o

1. Oblicz trójkąt sferyczny, różnica pomiędzy metodą Legendre’a i metodą additamentów (Soldenera)

2. Wyrównać kąty w trójkącie sferycznym. Dane: A_p, B_p, C_p, ε (A_p, B_p, C_p – Kąty pomierzone)

a) Przedstawić najistotniejsze różnice między metodami rozwiązania trójkąta sferycznego z następującymi danymi: 1 bok, 3 kąty pomierzone

Kąt sferyczny - jest kątem zawartym miedzy łukami kół wielkich mierzonym miedzy stycznymi do tych łuków punkcie ich przecięcia. Kąty sferyczne są kątami rozwartymi

Trójkąt sferyczny – (kulisty) – jest częścią powierzchni kuli, ograniczoną trzema łukami kół wielkich (boki trójkąta a, b, c) o promieniu R. Boki trójkąta na kuli o promieniu R są określone w jednostkach kątowych g*

g- ro stopniowe

Kąty sferyczne są kątami rozwartymi i dlatego suma kątów w trójkącie sferycznym jest większa od 180^o.

b) Wyrównać kąty w trójkącie sferycznym mając dane: Ap=90^o, Bp=30⁰ 00’01.20” Cp=59^o59’57.80” ε=1.4”

Kąty pomierzone:	Kąty wyrównane	Kąty płaskie
A’= A+ ⅓ε + ⅓ω = 90^o B’= B+ ⅓ε + ⅓ω = 30^o 00’ 01,20” C’= C+ ⅓ε + ⅓ω = 59^o59’ 57,80” ∑(A’B’C’) = ∑(ABC) +ε+ω	A= A’ - ⅓ω B= B’ - ⅓ω C= C’ - ⅓ω ∑(ABC)=∑(A’B’C’)-ω	A^o = A - ⅓ε B^o = B - ⅓ε C^o = C - ⅓ε ∑(A^oB^oC^o)=∑(ABC) –ε = 180^o

⅓ε= 0,466”

∑(ApBpCp)+ω =180^o+ε 90^O-⅓ω=89^o59’59,83333” 89^o59’59,8333”-⅓ε=89^o58’59,3673

179^O59’58,100+ω=180^o + 1,4” 30^O00’01,20”-⅓ω=30^o00’1,0334” 30^o00’1,0334”-⅓ε=30^o00’0,5674”

ω =(-179^O59’58,100)+ 180^o + 1,4” 59^O59’57,80”-⅓ω=59^o59’57,6334” 59^o59’57,6334”-⅓ε=59^o59’1674”

ω = -1,9”+180+1,4”=0,5” suma =

⅓ω = 0,1666”

1. Wyrównać kąty w trójkącie sferycznym dla kuli o R=6000 km mając dane pomierzone kąty:

A α = 60^o 00^’ 00.00^’’

B β = 60^o 00’ 00.00’’

C γ = 59^o 59’ 59.01’’

Oraz bok AC = 20 000 m