WYZNACZANIE KRZYWEJ ε_a−N_f

Badania zmęczeniowe próbek gładkich przy Epsilona=const., Epsilonmin/Epsilonmax = - 1. Rejestruje się pętlę histerezy, której kształt stabilizuje się najpóźniej w połowie trwałości. Z każdego badania otrzymuje się punkt (Epsilona,Nf) lub parę punktów (Sigmaa/E,Nf) i (Epsilonap,Nf). Liczba cykli Nf odpowiada momentowi zniszczenia próbki lub oznacza liczbę cykli

po której amplituda naprężeń Sigmaa spadła do 50% wartości początkowej. $\varepsilon_{a} = \varepsilon_{\text{ae}} + \varepsilon_{\text{ap}} = \frac{\sigma_{a}}{E} + \varepsilon_{\text{ap}}$ (7.1) gdzie ε_ap ε_ae σ_aodczytuje się z ustabilizowanej pętli histerezy.Pkty wykresów (ε_ae,N_f)(ε_ap,N_f)układają się na krzywych, które można opisać równaniem: $\varepsilon_{\text{ae}} = \frac{\sigma_{a}}{E} = \frac{\sigma_{f}^{'}}{E}\left( 2N_{f} \right)^{b}$ (7.2a)  ε_ap = ε_f^′(2N_f)^c(7.2b) to jest równanie krzywej S-N rów. Basquina σ_a = σ_f^′(2N_f)^b(7.3) Z podstawienia (7.2) do (7.1) otrzymujemy

równanie Coffina – Mansona:$\varepsilon_{a} = \frac{\sigma_{f}^{'}}{E}\left( 2N_{f} \right)^{b} + \varepsilon_{f}^{'}\left( 2N_{f} \right)^{c}$ (7.4). Procedurę wyznaczania krzywejε_a − N_f ilustruje rys. 7.2↓

 

znaczenie stałych materiałowych w

równaniu 7.4 objaśnia rys. 7.3.↓

UWAGI O STAŁYCH MATERIAŁOWYCH W RÓWNANIU

COFFINA- MANSONA (7.4) Duże trwałości:ε_ap ≪ ε_ae

krzywa ε_a(N_f) ≅ ε_ae(N_f) Krótkie trwałości:ε_ae ≪ ε_ap

krzywa ε_a(N_f) ≅ ε_ap(N_f) Przecięcie wykresówε_ae(N_f) i ε_ap(N_f)

w pkt (ε_ap=ε_ae,N_tr) Ntr - tzw. trwałość przejściowa.Z (7.4) i z definicji Ntr mamy:$\frac{\sigma_{f}^{'}}{E} = \left( 2N_{\text{tr}} \right)^{b} = \varepsilon_{f}^{'}\left( 2N_{\text{tr}} \right)^{c}$ stąd $N_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\left( \frac{\sigma_{f}^{'}}{\varepsilon_{f}^{'}E} \right)^{\frac{1}{c - b}}$ Zmęczenie niskocyklowe:N_f < N_tr (ε_ap>ε_ae) Zmęczenie wysokocyklowe: N_f > N_tr (ε_ap>ε_ae)

Z równania (7.2b) $2N_{f} = \left( \frac{\varepsilon_{\text{ap}}}{\varepsilon_{f}^{'}} \right)^{\frac{1}{c}}$ i (7.3) wynika $\sigma_{a} = \frac{\sigma_{f}^{'}}{\left( \varepsilon_{f}^{'} \right)^{\frac{b}{c}}}\varepsilon_{\text{ap}}^{\frac{b}{c}}$ (7.6) Z równania Ramberga - Ozgooda (3.5) cyklicznej krzywej σ − ε: σ_a = H^′ε_ap^n′ (7.7) Z porównania (7.6) i (7.7) $n^{'} = \frac{b}{c}$ (7.8a) i $H^{'} = \frac{\sigma_{f}^{'}}{\left( \varepsilon_{f}^{'} \right)^{\frac{b}{c}}}$(7.8b)

Związki (7.8) wskazują, że z sześciu parametrów materiałowych n^′,  b, c,  H^′, ε_f^′, σ_f^′ tylko cztery są niezależne. Jednak zależności (7.8) są spełnione tylko w sposób przybliżony, gdyż H^′ i n^′ są wyznaczane z innych eksperymentów niż pozostałe cztery stałe materiałowe. Materiały ciągliwe: znaczna poprawa korelacji równań (7.2), (7.4), (7.7) z danymi

doświadczalnymi jeżeli użyje się $\tilde{\sigma_{a}}\ ,\ \tilde{\varepsilon_{a}}\ ,\ \tilde{\varepsilon_{\text{ap}}}\text{\ \ }$zamiast σ_a ,   ε_a  ,  ε_ap

Wówczas: $\sigma_{f}^{'} \cong \tilde{\sigma_{f}},\ \ \varepsilon_{f}^{'} \cong \tilde{\varepsilon_{f}}$

PRZYBLIŻONE OSZACOWANIE STAŁYCH MATERIAŁOWYCH

STOSOWANYCH W METODZIE ODKSZTAŁCENIA LOKALNEGO

Jeżeli używa się naprężeń i odkształceń rzeczywistych, to: $\sigma_{f}^{'} \cong \tilde{\sigma_{f}},\ \ \varepsilon_{f}^{'} \cong \tilde{\varepsilon_{f}}$ (7.9) Metale o wysokiej wytrzymałości (względnie kruche): (niska wytrzymałość ale duże odkształcenia plastyczne, duża energia do zniszczenia)

niskie wartości $\tilde{\sigma_{f}},\ \ $ i wysokie $\tilde{\varepsilon_{f}}$, wysoka trwałość Ntr, stroma krzywaε_a − N_f rys. 7.4 linia 3. Metale o dużej udarności: (duże pole pod wykresem rozciągania, stosunkowo duża wytrzymałość i dobre własności plastyczne)

Zachowanie pośrednie - rys. 7.4 linia 2.Rys. 7.4 Tendencje obserwowane w krzywej ε_a − N_f(a) i pętli histerezy (b) dla

metali: (1) o wysokiej wytrzymałości, (2) o wysokiej udarności, (3) ciągliwych

UWZGLĘDNIENIE WPŁYWU NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH

Podejście doświadczalne na podstawie badań zmęczeniowych

próbek gładkich.a) Badania pod kontrolą odkształcenia: ε_a = const i ε_m = const gdzie: ε_m ≠ 0 – odkształcenie średnie.

Cykliczna relaksacja naprężenia średniego: σ_m ≠ const rys. 7.6a. Wysokie

wartości ε_ap − σ_m osiąga wartość zerową po niewielkiej liczbie cykli. Niskie

wartości ε_ap− po pewnej liczbie cykli szybkość relaksacji dσ_m(N)/dN maleje

i σ_m ustala się na poziomie niższym od początkowego. Rys. 7.6

Schemat cyklicznej relaksacji naprężenia średniego (a) i cyklicznego pełzania (b)

b) Badania pod kontrolą naprężenia: σ_a = const i σ_m = const

gdzie:σ_m ≠ 0 – naprężenie średnie.

Przy ε_ap ≠ 0 cykliczne pełzanie, tzn w kolejnych cyklach może rosnąć

odkształcenie średnie ε_m, rys. 7.6b. Jeżeli uplastycznienie występuje tylko

lokalnie (np. w obszarze karbu), to proces pełzania jest ograniczony przez

kontrakcję sprężystego materiału otaczającego strefę plastyczną.

Uwaga: Cykliczne pełzanie i relaksacja mogą występować równocześnie i

towarzyszyć cyklicznemu umocnieniu (osłabieniu) materiału. Zależą od

czasu, a więc i częstotliwości obciążenia.

Wzory empiryczne - gdy brak krzywej ε_a−N_fdla danego poziomu naprężenia średniego.

równania Ramberga - Osgooda (3.5): $\varepsilon_{a} = \frac{\sigma_{a}}{E} + \left( \frac{\sigma_{a}}{H^{'}} \right)^{\frac{1}{n^{'}}}\ $wzór Morrowa (4.8):σ_a = (σ_f^′−σ_m)(2N_f)^b (7.8a): $H^{'} = \sigma_{f}^{'}/{\varepsilon_{f}^{'}}^{\frac{b}{c}}\text{\ \ }$ (7.8b): n^′ = b/c

Doświadczenia dowodzą, że zależność między σ_a i ε_anie zależy od poziomu σ_m. Równania (4.8) i (7.18) - to samo rozwiązanie Nf (w przybliżeniu, bo związki (7.8) są spełnione tylko w sposób przybliżony). Z tych 4-ech równań wynika: $\varepsilon_{a} = \frac{\sigma_{f}^{'}}{E}\left( 1 - \frac{\sigma_{m}}{\sigma_{f}^{'}} \right)\left( 2N_{f} \right)^{b} + \varepsilon_{f}^{'}\left( 1 - \frac{\sigma_{m}}{\sigma_{f}^{'}} \right)^{\frac{c}{b}}\left( 2N_{f} \right)^{c}$ (7.18) Przy wysokich wartościach ε_a (zakres krótkich trwałości) równanie (7.18) prowadzi do przesadnie zachowawczych (tzn. zbyt niskich) ocen Nf. Powód: intensywna relaksacja naprężeń średnich. Dlatego częściej stosuje się zmodyfikowaną formę (7.17), pomijając wpływ σ_m w drugim członie (tj. na ε_ap): $\varepsilon_{a} = \frac{\sigma_{f}^{'}}{E}\left( 1 - \frac{\sigma_{m}}{\sigma_{f}^{'}} \right)\left( 2N_{f} \right)^{b} + \varepsilon_{f}^{'}\left( 2N_{f} \right)^{c}$ (7.19).

OKREŚLENIE TRWAŁOŚCI PRZY ZMĘCZENIU

ZMIENNOAMPLITUDOWYM W celu określenia liczby powtórzeń Bf

danej historii obciążenia aż do powstania pęknięcia (zniszczenia) w elemencie z karbem należy: 1) Dla każdego naliczonego metodą Rainflow cyklu „i” o amplitudzie lokalnego odkształcenia ε_a i lokalnym naprężeniu średnim σ_{m ,    i}    określić trwałość N_{f ,    i}   z (7.18) lub (7.19).

2) Wyznaczyć liczbę powtórzeń bloku do zniszczenia Bf na podstawie odpowiedniej hipotezy kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych – np. reguły Palrgena-Minera.

PODSUMOWANIE METODY ODKSZTAŁCENIA LOKALNEGO

i PORÓWNANIE Z METODĄ NAPRĘŻENIA NOMINALNEGO

Metoda odkształcenia lokalnego powstała na przełomie lat 1950 i 1960, jako sposób analizy zmęczenia niskocyklowego (części reaktorów atomowych, silniki odrzutowe). Później zaczęto ją stosować do analizy zmęczenia zmiennoamplitudowego, gdy w historii obciążenia występują cykle o dużych amplitudach, powodujące lokalne odkształcenia plastyczne w karbach

elementów konstrukcyjnych (np. elementy samochodów i innych pojazdów i maszyn, turbiny i generatory, elementy aparatów latających i in.).

Sposób uwzględniania uplastycznienia jest racjonalniejszy niż w metodzie naprężenia nominalnego. Metoda odkształcenia lokalnego jest zalecana głównie do analizy zmęczenia niskocyklowego (Nf < Ntr). Przy wysokich trwałościach obie metody dają tożsame wyniki. Zalecane użycie metody naprężenia nominalnego: gdy dysponujemy krzywą S-N elementu

konstrukcyjnego z danego materiału bardzo podobnego do elementu właśnie rozważanego (np. połączenia spawane, nitowane lub sworzniowe, osie o specjalnej obróbce powierzchni itp.). Taka krzywa automatycznie ujmuje już wpływ różnych złożonych czynników (metalurgicznych, technologicznych, geometrii, frettingu i in.), trudnych do uwzględnienia w analizie metodą

odkształcenia lokalnego. Może to równoważyć brak szczegółowej analizy lokalnego odkształcenia.Uwaga: Wartości Nf otrzymane metodą odkształcenia lokalnego odnoszą się do zniszczenia lub powstania znacznych pęknięć w małych (5-10 mm średnicy) próbkach gładkich. Dla elementu z

karbem przewidujemy więc, że po „liczbie” cykli Ni = Nf powstanie widoczne gołym okiem pęknięcie (tzw. pęknięcie o wymiarach inżynierskich ai) o długości rzędu 1-5 mm. Jeżeli powstanie takiego pęknięcia nie oznacza definitywnego zniszczenia elementu, można obliczyć pozostającą jeszcze trwałość N_p korzystając z mechaniki pękania. Jest to tzw. podejście

dwustopniowe. N_f=N_i+N_p gdzie: Nf - całkowita trwałość elementu konstrukcyjnego; Ni - tzw. okres inicjacji pęknięcia - równy liczbie cykli do powstania pęknięcia o wymiarze ai obliczonej metodą odkształcenia lub naprężenia nominalnego, Np - okres propagacji pęknięcia - równy liczbie cykli po których pęknięcie o wymiarze ai osiągnie wymiar krytyczny a_kr

ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE PRĘTA

PRYZMATYCZNEGO O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM PRZY

OBCIĄŻENIACH CYKLICZNYCH (σ_a=const)

Rys. 6.4. Belka o przekroju prostokątnym przy

cyklicznym zginaniu (a) powodującym

uplastycznienie przy obciążeniu i odciążeniu.

Rozkład cyklicznych naprężeń (b) i odkształceń (c).

Zmienność naprężeń w funkcji odkształceń we

włóknach skrajnych (d) oraz zależność między

poziomem odkształceń we włóknach skrajnych a

obciążeniem cyklicznym Mg (e).

Niech Mg zmienia się cyklicznie między Mmax i

Mmin (rys.6.4a). Równania równowagi na poziomach Mg

= Mmax i Mg = Mmin M_max=2t∫₀^hσ_maxydy M_min=2t∫₀^hσ_minydy (6.12) M=M_max−M_min=2t∫₀^hσydy (6.13) gdzie σ = σ_max(y) − σ_min(y) ; σ_max(σ_min) – rozkład naprężeń σ(y) gdy M_g = M_max(M_g = M_min) Na każdym poziomie momentu Mg obowiązuje

prawo płaskich przekrojów rys. 6.4c $\frac{\mathbf{\varepsilon}}{\mathbf{y}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{}\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{h}}}{\mathbf{h}}$ (6.14) Równania (6.13) i (6.14) są formalnie identyczne z (6.2) i (6.1): M = 2t∫₀^hσ_gydy (6.2); M = 2t∫₀^hσydy (6.13) ; $\frac{\varepsilon}{y} = \frac{\varepsilon_{h}}{h}$ (6.1); $\frac{\varepsilon}{y} = \frac{\varepsilon_{h}}{h}$ (6.14); Stąd naprężenia i odkształcenia przy odciążaniu od Mmax do Mmin można obliczyć jak przy monotonicznym obciążaniu od O do M_g = M, przy czym: I. M_g ,  σ_g ,   ε zastępujemy przez M,  σ, ε II. posługujemy się dwukrotnie rozszerzoną krzywą ε = f(σ): $\frac{\varepsilon}{2} = f\left( \frac{\sigma}{2} \right)\text{\ tj.\ }\varepsilon_{a} = f(\sigma_{a})$ (6.15); III. obliczamy: ε_min = ε_max − ε = ε_max − 2ε_a σ_min = σ_max − σ = σ _max − 2σ_a (6.16) ; IV. przy ponownym obciążeniu stosujemy tę samą

procedurę, ale początek układu (σ,ε) jest w

punkcie (σ_min, ε_min). Gdy Mg po raz drugi osiąga poziom Mmax, wierzchołek pętli histerezy znajduje się ponownie w punkcie (σ_max,ε_max)rys.6.4d. Przy wyidealizowanym założeniu, że własności materiału nie ulegają zmianie przy obciążeniach cyklicznych, punkt (,) poruszałby się cały czas po

jednej i tej samej zamkniętej pętli histerezy. Jeżeli operujemy amplitudami, a nie zakresami to, równania monotonicznej i cyklicznej krzywej odkształcenia są formalnie identyczne: ε_MAX = f(σ_MAX) ε_a = f(σ_a) (6.17) ; Stąd zależności między ε_h i M_max oraz między ε_ah i M_asą też formalnie identyczne: ε_h = g(M_MAX) ε_ah = g(M_a) (6.18)

PRZYBLIŻONE WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

W STREFIE PLASTYCZNEJ KARBU - REGUŁA NEUBERA

Rys.6.5. Ilustracja reguły Neubera: a) element z karbem i krzywa odkształcenia wraz z hiperbolą Neubera; b) zmienność współczynnika koncentracji naprężeń ksigma i odkształceń kepsilon w karbie; c), d) zmienność odpowiednio odkształceń i naprężeń w karbie w funkcji naprężenia nominalnego (linia

przerywana - rozwiązanie liniowo-sprężyste). Jeżeli materiał w strefie karbu uplastycznia się, to lokalne odkształcenia są większe, niż k_tS/E(rys.6.5c), a lokalne naprężenia niższe niż k_t=S (rys.6.5d). Należy, więc zdefiniować oddzielnie współczynniki koncentracji dla naprężeń i

odkształceń: k_σ=σ/S k_ε=ε/e (6.20) gdzie: e - odkształcenia nominalne związane z naprężeniem nominalnym S w myśl równania krzywej odkształcenia materiału S=f(e). Jeżeli S≤R_e (co zazwyczaj ma miejsce), to: e = S/E (6.21) Reguła Neubera: $\sqrt{\mathbf{k}_{\mathbf{\sigma}}\mathbf{k}_{\mathbf{\varepsilon}}}\mathbf{=}\mathbf{k}_{\mathbf{t}}$ (6.22). Jeżeli przy osiowym rozciąganiu nastąpiłoby pełne uplastycznienie przekroju, (S = R_e) to k_σ → 1

a więc w myśl (6.22), k_ε → k_t² co przedstawia rys. 6.5b. Uwzględniając w (6.22) zależności (6.20) oraz (6.21). mamy: $\mathbf{\sigma\varepsilon =}\frac{\left( \mathbf{k}_{\mathbf{t}}\mathbf{S} \right)^{\mathbf{2}}}{\mathbf{E}}$ (6.23) Jeżeli ε = f(σ) ma postać krzywej Ramberga-Osgooda $\mathbf{\varepsilon =}\frac{\mathbf{\sigma}}{\mathbf{E}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\sigma}}{\mathbf{H}} \right)^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}}$ (6.24) to po podstawieniu za epsilon w (6.23) prawej strony (6.24) dostajemy: $\mathbf{\sigma}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{E}}{\mathbf{H}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}}} \right)\mathbf{\sigma}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\mathbf{+ 1}}\mathbf{-}\left( \mathbf{k}_{\mathbf{t}}\mathbf{S} \right)\mathbf{= 0}$ (6.25) Uwaga: W praktyce w celu wyznaczenia lokalnych odkształceń i naprężeń przy użyciu reguły Neubera

najwygodniej jest korzystać z układu równań (6.23) i (6.25).

W celu wyznaczenia amplitud, zastępujemy w (6.23) i (6.25) σ,  ε, i S przez odpowiednio σ_a,  ε_a i S_a

)gma awieniu za epsilon w (6.23) prawej strony (6.24) dosatjemy : dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddsadadadsadasdgafgdf