Część teoretyczna

1. Własności sprężyste ciał stałych

Działaniu sił zewnętrznych, powodujących zmiany objętości badanego ciała towarzyszy zakłócenie rozkładu sił międzycząsteczkowych, pojawienie się sił wewnętrznych zwanymi siłami sprężystości. W przypadku małych sił występuje równoważenie się sił zewnętrznych i wewnętrznych. Po usunięci takich sił zewnętrznych ciało powraca do pierwotnego kształtu i objętości. Są to tak zwane odkształcenia sprężyste.

Odkształcenia trwałe są to odkształcenia niesprężyste występują po przekroczeniu granicznej wartości siły zewnętrznej. Po usunięciu takich sił siły wewnętrzne nie sprowadzają ciała do pierwotnego kształtu i objętości.

Rodzaje odkształceń:

1. wydłużenia – odkształcenia związane ze zmianą długości. Za miarę tego odkształcenia przyjmujemy względny przyrost długości ε zdefiniowany jako

$$\varepsilon = \ \frac{l}{l_{o}}$$

gdzie: Δl – przyrost długości

l₀ – długość pierwotna

1. odkształcenia objętościowe – występują wtedy gdy kształt ciała zostaje zachowany natomiast gęstość ulga zmianie.

$$\theta = \frac{V}{V}$$

1. odkształcenia postaciowe – zmianie ulega kształt, gęstość pozostaje niezmienna (ścinanie lub skręcanie). Miarą tego odkształcenia jest przesunięcie ścian bocznych o kąt γ względem pierwotnego położenia.

Prawo Hooka

Stosunek naprężenia do związanego z ni odkształcenia jest wielkością stałą dla danego materiału. Jest to tak zwany moduł sprężystości. Prawo Hooka obowiązuje dla małych odkształceń.

Przy wydłużeniach prawo Hooka przyjmuje postać:

σ = Eε

$$\varepsilon = \ \frac{l}{l_{o}}$$

E – moduł Younga

Moduł Younga wyraża wartość ciśnienia jakie należałoby zastosować aby długość ciała zwiększyć o 100% pozostając w zakresie stosowalności prawa Hooka. Moduł Younga jest inny dla każdego materiału.

$$E = \ \frac{\varepsilon}{\sigma}$$

Oznaczenia wykresu:

a – wyraża maksymalne naprężenie przy którym stosuje się prawo Hooka

b – wyraża maksymalne naprężenie przy którym ciało zachowuje własności sprężyste

c - zastosowanie ciśnienia zewnętrznego większego od granicy sprężystości powoduje wystąpienie odkształceń trwałych. Przy dalszym wzroście ciśnienia ciało nabiera własności plastycznych tzn. wzrost długości występuje bez wzrostu naprężenia.

d - dalszy wzrost długości prowadzi do przewężenia i zerwania

1. Generacja fal ultradźwiękowych :

• zjawisko piezoelektryczne

Polega na mechanicznej deformacji kryształu pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego i pojawieniu się na przeciwległych ścianach kryształów ładunków elektrycznych przeciwnego znaku w wyniku deformacji kryształu. Jest to tzw. Zjawisko piezoelektryczne proste. Jest to zjawisko odwrotne, tzn. przyłożenie napięcia do powierzchni materiału spowoduje w nim zmianę naprężeń mechanicznych. Natężenie pola elektrycznego jest proporcjonalne do naprężeń mechanicznych.

• Zjawisko elektrostrykcji

Polega na zmianie wymiarów materiału pod wpływem pola elektrycznego . Charakteryzuje się tym że zmiana wymiarów zachodzi w jednym kierunku niezależnie od kierunku przyłożonego pola elektrycznego. Naprężenia są proporcjonalne do kwadratu natężenia pola elektrycznego.

• Zjawisko magnetostrykcji

Polega na powstawaniu odkształceń w ferromagnetykach pod wpływem pola magnetycznego. Jest to zjawisko odwracalne tzn. zmiany naprężeń wywołują zmiany pól magnetycznych.

1. Zasada działania betonoskopu

Ultradźwiękowy betonoskop impulsowy jest tranzystorowym przyrządem pomiarowym przeznaczonym do pomiaru czasu przejścia fal ultradźwiękowych przez badany materiał metodą przepuszczania. Zasada działania polega na periodycznym wytwarzaniu przez nadajnik krótkotrwałych impulsów elektrycznych, które po przetworzeniu w głowicy nadawczej na impulsy ultradźwiękowe zostają wprowadzone do badanego materiału. Głowica odbiorcza ustawiona równolegle naprzeciw głowicy nadawczej odbiera sygnały ultradźwiękowe, które przebyły drogę w badanym materiale między głowicą nadawczą a odbiorczą. Odebrane impulsy przez głowicę odbiorczą są przez nią przetwarzane na impulsy elektryczne a następnie wzmacniane przez odbiornik widoczne są na oscyloskopie.

1. Propagacja fal w kryształach

Wyobraźmy sobie długi, sprężysty pręt o długości l i przekroju poprzecznym S, na który działamy siłą F w czasie Δt .

Rys.2. Pręt sprężysty w którym rozchodzi się fala podłużna.

Jeżeli siła zaburzająca F powoduje przesunięcie przekroju S o długości Δl, to zgodnie z II zasadą dynamiki możemy zapisać:

F⋅Δt = m⋅Δv

Zakładając, że odkształcenie pręta jest niewielkie przyjmujemy, że spełnione są warunki obowiązywania prawa Hooka

F = S⋅E

gdzie E - moduł Younga.

Masa pręta m = S⋅l⋅ρ (gdzie ρ - gęstość materiału pręta), podczas gdy zmiana prędkości cząstek wywołana zaburzeniem

Stąd mamy

oraz

Jeżeli v - prędkość rozchodzenia zaburzenia, to

Jest to wzór Newtona, z którego wynika, że prędkość rozchodzenia się fali zależy od modułu Younga i gęstości, czyli wielkości charakteryzujących jego właściwości materiałowe, a nie od przekroju czy wywołanego odkształcenia.

1. Przebieg ćwiczenia:

1. Prace betonoskopu ustawiam na automatyczną

2. Wycechować betonoskop przy pomocy wzorca aluminiowego

3. Zmierzyć 5- krotnie czas przejścia fali ultradźwiękowej dla próbek

4. Zmierzyć 5 – krotnie grubość próbek w różnych miejscach

Wyniki pomiarów:

Próbka	t [µs]	tśr [10^-6s]	l [cm]	lśr [10^-2 m]
Aluminium	8,2	8,64	9,8	9,84
	8,7		9,85
	8,8		9,8
	9,1		9,9
	8,4		9,85
Granit	4,5	4,26	2,9	2,90
	4,2		2,9
	4,5		2,89
	4,1		2,9
	4,0		2,9
NaCl	3,8	4,0	1,45	1,48
	4,2		1,48
	4,2		1,52
	3,8		1,47
	4,0		1,48
Monokryształ Si	1,3	1,46	1,6	1,6
	1,5		1,59
	1,4		1,6
	1,5		1,62
	1,6		1,6
Żelazo	9,4	9,24	10,0	10,2
	9,0		10,3
	9,2		10,5
	9,6		10,2
	9,5		10,0

Opracowanie wyników:

1. Dla każdej próbki obliczam średnią wartość czasu przejścia fali oraz średnią grubość próbek korzystając ze wzoru:

$$t_{sr} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}t_{i}}{n_{i}}$$

$$l_{sr} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}l_{i}}{n_{i}}$$

Uzyskane wyniki zamieszczam w tabeli.

1. Dla każdej próbki obliczam prędkość fali ultradźwiękowej korzystając ze wzoru:

$$V = \ \frac{l}{t}$$

gdzie: Δl – grubość próbki, Δt – czas przejścia fali.

Wyniki zamieszczam poniżej:

1. aluminium: $\mathbf{V = 11,3 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{3}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$

2. granit: $\mathbf{V = 6,8 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{3}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$

3. NaCl: $\mathbf{V = 3,7\ \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{3}}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$

4. monokryształ Si: $\mathbf{V = 10,9 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{3}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$

5. żelazo: $\mathbf{V = 11,0 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{3}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$

1. Wyznaczam wartość modułu Younga dla każdej próbki korzystając ze wzoru:

$$\frac{E}{V} = \ \rho\ V$$

E =  ρV²

Wyniki zamieszczam poniżej:

1. Dla aluminium $\rho = 2,72\ \bullet \ 10^{3}\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$

E =  2, 72  •  10³  •  (11,3•10³)²

E = 2, 72  •  10³  •  127, 6   • 10⁶

$\mathbf{E = 34,7\ \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}\mathbf{\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m \bullet s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$

1. Dla granitu: $\rho = 2,64\ \bullet \ 10^{3}\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$

$$\mathbf{E = 12,2\ \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}\mathbf{\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m \bullet s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$

1. Dla NaCl: $\rho = 2,16\ \bullet \ 10^{3}\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$

$$\mathbf{E = 2,95\ \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}\mathbf{\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m \bullet s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$

1. Dla monokryształu Si: $\mathbf{\ }\rho = 2,33\ \bullet \ 10^{3}\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$

$$\mathbf{E = 27,6\ \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}\mathbf{\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m \bullet s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$

1. Dla żelaza: $\mathbf{\ }\rho = 7,86\ \bullet \ 10^{3}\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$

$$\mathbf{E = 95,1\ \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}\mathbf{\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m \bullet s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$

1. Obliczam niepewności pomiarowe.

Korzystając z metody różniczki zupełnej obliczam niepewność pomiaru prędkości oraz modułu Younga.

Za niepewność pomiaru czasu przyjmuję Δt = 0,1· 10^-6 s, natomiast Δl = 0,01· 10^-2 m

$$V = \ \frac{l}{t}$$

po zlogarytmowaniu: lnV = lnl − lnt 

różniczkując otrzymuję: $\frac{\ V}{V} = \left( \frac{l}{l} \right) - \left( \frac{t}{t} \right)$

jeśli : l = (9,84 ± 0,01) · 10^-2

t = (8,64 ± 0,1) · 10^-6

to: $\mathbf{V = 0,9\ \bullet \ }\mathbf{10}^{\mathbf{3}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$

Tą samą metodą obliczam niepewność modułu Younga:

E =  ρV²

po zlogarytmowaniu: lnE = lnρ+2lnV 

różniczkując otrzymuję: ( E)/E = 2(V/V)

$$\frac{V}{V} = 0,079$$

$$\mathbf{E = 5,48\ \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{\text{m\ }}\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}$$

Wnioski:

Celem ćwiczenia było wyznaczenie prędkości przejścia fali ultradźwiękowej oraz wyznaczenie modułu Younga przy pomocy betonoskopu.

Prędkość fali:

1. aluminium: $\mathbf{V = (11,3 \pm 0,9)\ \bullet \ }\mathbf{10}^{\mathbf{3}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$

2. granit: $\mathbf{V = (6,8\ \pm 0,9) \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{3}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$

3. NaCl: $\mathbf{V = (3,7\ \pm 0,9)\ \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{3}}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$

4. monokryształ Si: $\mathbf{V = (10,9\ \pm 0,9) \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{3}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$

5. żelazo: $\mathbf{V = (11,0\ \pm 0,9) \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{3}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$

Moduł Younga:

1. aluminium: $\mathbf{E = (34,7 \pm 5,48\ )\ \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}\mathbf{\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m \bullet s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$

2. granit: $\mathbf{E = (12,2\ \pm 5,48) \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}\mathbf{\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m \bullet s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$

3. NaCl: $\mathbf{E = (2,95 \pm 5,48)\ \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}\mathbf{\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m \bullet s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$

4. monokryształ Si: $\mathbf{E = (27,6 \pm 5,48\ ) \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}\mathbf{\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m \bullet s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$

5. żelazo: $\mathbf{\ E = (95,1\ \pm 5,48) \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{10}}\mathbf{\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m \bullet s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$

Prędkość rozchodzenia się fali zależy od modułu Younga i gęstości, czyli wielkości charakteryzujących jego właściwości materiałowe, a nie od przekroju czy wywołanego odkształcenia.

Wyniki moich pomiarów obarczone są dużą niepewnością wynikającą z wycechowania betonoskopu dla próbki wzorcowej. Na wyniki pomiarów ma także duż wpływ warstwa gliceryny używana do posmarowania próbki celem zmniejszenia docisku głowicy do próbki.