apoWydział Geoinżynierii Wrocław, 11 grudnia 2013

Górnictwa i Geologii

Politechniki Wrocławskiej

Hydrogeologia

Sprawozdanie z ćwiczenia

I „Współczynnik filtracji metodą przepływu ustalonego- za pomocą aparatu ITB-ZWK-2”.

II. „Właściwości hydrogeologicznych skał na podstawie analizy uziarnienia.”

Podgrupa I: środa TP, 13.15-15.00

1. Współczynnik filtracji metodą przepływu ustalonego za pomocą aparatu ITB-ZWK-2.

1. Wstęp teoretyczny

Filtracja to ruch wody w skałach. Polega na bardzo powolnym przemieszczaniu się wody przez system porów. Ruch laminarny nazywany ruchem uwarstwionym lub warstwowym charakteryzuje się tym, że cząstki wody w sąsiadujących warstewkach poruszają się równolegle do siebie i osi przewodu, a drogi poszczególnych cząstek wody nie mieszają się i nie krzyżują. Prędkość przemieszczania poszczególnych cząstek jest mała, ale nie jednakowa, najszybciej poruszają się cząstki w osi przewodu otworzonego między ziarnami, najmniejszą prędkość mają cząstki przy jego ściance.

Rysunek 1. Przepływ laminarny

W ruchu laminarnym objętość wody V przepływająca przez daną próbkę jest wprost proporcjonalna do powierzchni przekroju F, przez który następuje przepływ, czasu trwania przepływu t, różnicy wysokości hydraulicznych ΔH na drodze przepływu l oraz współczynnika filtracji k, zaś odwrotnie proporcjonalna do długości drogi filtracji l.

$$V = k*t*F\frac{\text{ΔH}}{l}$$

Charakterystykę prędkości wody v(t) w ruchu laminarnym przedstawiono na rysunku:

Dla wód podziemnych najczęściej wyznacza się prędkość średnią, co sprawia, że prędkość jest rozumiana jako wydatek strumienia podporządkowany jednostkowemu przekrojowi. Pojęcie prędkości filtracji należy do umownych i fikcyjnych, ponieważ zakłada się, że woda przepływa całym przekrojem skały, a nie tylko porami. Prędkość filtracji można określić jako miarę wydatku strumienia.

$$v = \ \frac{Q}{F}$$

Gdzie:

v- prędkość filtracji [m/s]

Q – wydatek (objętość wody przepływającej w jednostce czasu) [m³/s]

$$Q = \frac{V}{t}$$

6. Powierzchnia pełnego przekroju skały, prostopadłego do kierunku filtracji [m²]

Darcy stwierdził, że objętościowe natężenie przepływu filtracyjnego, czyli ilość wody przepływającej przez ośrodek porowy w jednostce czasu, jest proporcjonalna do spadku hydraulicznego przekroju poprzecznego ośrodka filtracyjnego i współczynnika filtracji.

Q = k * J * F

Gdzie:

Q- natężenie przepływu

k- współczynnik filtracji [m/s]

J – spadek hydrauliczny [-]

F- Powierzchnia pełnego przekroju skały, prostopadłego do kierunku filtracji [m²]

Prawo Darcy’ego wyraża liniową zależność prędkości filtracji od spadku hydraulicznego stąd nazwa „liniowe prawo filtracji”. Korzystając z pojęcia prędkości filtracji prawo Darcy’ego można zapisać następująco:

v = k * J

Gdzie:

v- prędkość filtracji [m/s]

k – współczynnik filtracji [m/s]

J- spadek hydrauliczny [-]

Prawo Darcy’ego jest ważne jedynie dla ruchu laminarnego wód. Współczynnik filtracji zależy, od filtracyjnych właściwości ośrodka skalnego (wymiary cząstek, zagęszczenie) oraz fizycznych właściwości filtrującej cieczy (ciężar, temperatura).

1. Opis badań

Rysunek 2. Przyrząd ITB-ZWK-2

A – cylinder zewnętrzny

B- cylinder wewnętrzny

1 – próbka skały

2 –pierścień, na którego dnie i powierzchni próbki umieszcza się siatkę filtracyjną

3- perforowany krążek

4- obciążnik o masie 10 kg

5- pionowa podziałka do odczytu wysokości zwierciadła wody w cylindrach

6- zawór doprowadzający wodę do cylindra zewnętrznego

7- przelew z cylindra zewnętrznego

8- przelew z cylindra wewnętrznego

Przeznaczoną do badania próbkę suszy się i waży, a następnie porcjami wsypuje do pierścienia (2) i maksymalnie zagęszcza. Po tej czynności należy skałę ponownie zważyć w celu określenia masy szkieletu gruntowego m_s. Następnie pierścień (3) wkłada się do cylindra wewnętrznego (B) i przekręca śrubami. Nakrywa się go krążkiem, na którym ustawia się obciążnik (4), a na ścianie pierścienia wewnętrznego umieszcza się podziałkę (5). Przez zawór doprowadza się wodę odpowietrzoną i destylowaną do cylindra wewnętrznego. Szybkość podnoszenia się wody od chwili zetknięcia się zwierciadła ze spodem próbki musi być jak najmniejsza, a czas wypływu wody przez próbkę do cylindra wewnętrznego nie był krótszy niż 20 minut. Ma to na celu wyparcie powietrza z porów próbki. Spadek hydrauliczny powinien wynosić od 0.3 do 0.8. Po uregulowaniu spadku hydraulicznego za pomocą przelewu (7) i ustaleniu się zwierciadeł w obu cylindrach rozpoczyna się właściwy pomiar filtracji. W tym celu podstawia się menzurkę pod przelew wody przefiltrowanej (8) z jednoczesnym uruchomieniem sekundomierza. Czas jednego pomiaru zależy od prędkości filtracji i pojemności naczynia. W czasie badania nieprzerwalnie mierzymy temperaturę wody. Badanie uznajemy za prawidłowe, gdy przynajmniej trzy kolejne pomiary V nie różnią się więcej niż o 2%. W celu badania filtracji przy przepływie z góry należy doprowadzić wodę do cylindra wewnętrznego (B). Spadek hydrauliczny regulujemy przelewem (8), a przelew (7) traktujemy jako ujęcie wody przefiltrowanej. Wielkość spadku hydraulicznego musi być taka sama jak w filtracji od dołu. Po uregulowaniu się spadku hydraulicznego i ustaleniu zwierciadeł pomiarów dokonuje się w taki sam sposób jak przy filtracji od dołu. Współczynnik filtracji oblicza się za pomocą wzoru:

$$k_{\text{T\ }} = \ \frac{V}{F*J*t}\ $$

Gdzie:

k_T – współczynnik filtracji przy temperaturze wody w czasie pomiaru T ^∘C

V – objętość wody przepływającej przez badaną próbkę w czasie t [cm³]

F – powierzchnia przekroju próbki prostopadła do kierunku filtracji [cm²]

t- czas filtracji [s]

J – spadek hydrauliczny [-]

$$J = \frac{\text{ΔH}}{l}$$

Gdzie:

ΔH- różnica wysokości hydraulicznych w obu cylindrach [cm]

l- długość drogi filtracji [cm]

1. Wyniki badań i przykładowe obliczenia

Tabela 1. Wymiary próbki

L.p.	Głębokość tłoczka przed umieszczeniem próbki gruntu [cm]	Głębokość tłoczka po umieszczeniu próbki gruntu [cm]	Wysokość próbki [cm]	Średnica próbki [cm]	Przekrój próbki [cm^2]
	h1	h1ś	h2	h2ś	l=h1ś- h2ś
1.	5,3	5,29	0,44	0,41	4,88
2.	5,27		0,56
3.	5,3		0,22

Przykładowe obliczenia:

$$h_{1s} = \frac{5,3 + 5,27 + 5,3}{3} = 5,29$$

l = 5, 29 − 0, 41 = 4, 88

$$F = \frac{\pi*\Phi_{s}^{2}}{4} = \frac{3,14*8^{2}}{4} = 50,24$$

Tabela 2. Wyniki pomiarów przepływu wody przez próbkę

L.p.	ΔH [cm]	$$J = \frac{\text{ΔH\ }}{l}$$	t [s]	tś [s]	V [cm^3]	Vś [cm^3]	$Q = \frac{V}{t}$ [cm^3/s]	T [^∘C]
1.	2.8	0.57	30.40	30.41	88	88	2.89	22 ^∘C
2.			30.42		88
3.			30.40		88
4.	1.8	0.37	30.28	30.40	62	62	2.04
5.			30.39		62
6.			30.52		62

Przykładowe obliczenia:

$$J = \frac{\text{ΔH\ }}{l} = \frac{2,8}{4,88} = 0,57$$

t_s = 30, 40 + 30, 42 + 30, 40 ≈ 30, 41

$$Q = \frac{V}{t} = \frac{88}{30,41} \approx 2,89$$

Tabela 3. Wyniki obliczeń współczynnika filtracji

L.p.	$$J = \frac{\text{ΔH\ }}{l}$$	$Q = \frac{V}{t}$ [cm^3/s]	kt [cm/s]	ktś [cm/s]	$\frac{|k_{t} - k_{ts}|}{k_{ts}}$ * 100% [%]	k10ś [cm/s]
1.	0.57	2.89	0.10	0.105	4.76	0.08
2.	0.37	2.04	0.11		4.76

Przykładowe obliczenia:

$$J = \frac{\text{ΔH\ }}{l} = \frac{2,8}{4,88} = 0,57$$

$$k_{ts} = \frac{0,10 + 0,11}{2} \approx 0,11$$

$$\frac{|k_{t} - k_{ts}|}{k_{ts}}*100\% = \frac{|0,10 - 0,105|}{0,11}*100\% = 4,76$$

$$k_{10s} = k_{ts}\frac{1,359}{1 + 0,0337*T + 0,00022*T^{2}} = 0,105\frac{1,359}{1 + 0,0337*22 + 0,00022*22^{2}} \approx 0,08$$

Znając masę szkieletu gruntowego, objętość próbki umieszczonej w cylindrze i gęstość szkieletu gruntowego, można określić współczynnik porowatości n skały umieszczonej w pierścieniu pomiarowym:

$$n = \ \frac{(V_{p} - \ \frac{m_{s}}{\rho_{s}}\ )\ }{V_{p}}$$

Gdzie:

V_p – F*l – objętość próbki skały w pierścieniu [cm³]

F- pole powierzchni przekroju próbki [cm²]

l – wysokość próbki [cm]

m_s – masa szkieletu gruntowego umieszczona w pierścieniu [g]

ρ_s – gęstość szkieletu gruntowego(dla danej próby wynosi 2,65) [g/cm³]

$$n = \ \frac{(245.17 - \ \frac{394.99}{2.65}\ )\ }{245.17} = 0.39$$

1. Wnioski

Średnia wartość współczynnika filtracji wynosi 0,105[cm/s]. Objętości wody w menzurce po uregulowaniu spadku hydraulicznego i ustaleniu się zwierciadeł wody były stałe (88 i 62 [cm³]). Świadczy to o tym, że badany przepływ był przepływem ustalonym. W celu wyeliminowania rozbieżności wyników uzyskanych przy pomiarach sprowadzono je do wartości otrzymywanych przy temperaturze +10°C. Uzyskany po przeliczeniu wynik 0,077 [cm/s]. Przy pomiarze dla różnych spadków hydraulicznych J współczynnik filtracji k jest zbliżony (0.10 i 0.11 m/s], co również świadczy o przepływie ustalonym danej cieczy.

1. Właściwości hydrogeologicznych skał na podstawie analizy uziarnienia

1. Opis teoretyczny

W ramach ćwiczeń należy wykonać analizę sitową, a następnie określić następujące właściwości:

1. średnicę miarodajną ziarna

2. powierzchnię właściwą

3. średnicę miarodajną kanalika

4. współczynnik filtracji (na podstawie formuły Hazena, Carmana-Kozeny i dowolną inną)

5. wysokość wzniosu kapilarnego.

Miarodajną średnicą ziarna d_m nazywamy średnicę ziarna skały jednorodnej, która ma identyczną powierzchnię właściwą i taki sam kształt ziaren jak skała rzeczywista, dodatkowo wszystkie jej ziarna mają jednakową średnicę d_{m .} Dla ziaren o kształcie zbliżonym do kuli, o gęstości szkieletu ziarnowego, który nie zmienia się wraz z wielkością ziaren, miarodajna średnica ziarna wynosi:

$$D_{m} = \frac{1}{\sum_{}^{}\frac{g_{i}}{d_{i}}}$$

gdzie:

$$d_{l} = \ \frac{3}{2}*\ d_{\text{gl}}$$

oraz

$$d_{l} = \ \frac{\ln\frac{d_{\text{gi}}}{d_{\text{di}}}}{\frac{1}{d_{\text{di}}} - \ \frac{1}{d_{\text{gi}}}}\ dla\ i = 2\ do\ N$$

d₁ – wielkość ziaren najgrubszej frakcji [mm]

d_gi i d_di – górna i dolna wielkość ziaren skały dla i-tej frakcji (wielkość oczek sita górnego i dolnego, między którymi zawarta jest i-ta frakcja) [mm]

$$g_{i} = \ \frac{m_{i}}{m}$$

gdzie:

m_i – masa skały pozostałej na i-tym sicie [g]

m – masa skały zużytej do badania [g]

Powierzchnia właściwa do stosunek łącznej powierzchni wszystkich cząstek i ziaren w określonej objętości skały V do tej objętości. Jeżeli mamy do czynienia z ziarnami, których kształt jest zbliżony do kuli, powierzchnia właściwa skały (s) określona jest wzorem:

$$s = 6*\left( 1 - n \right)*\ \frac{1}{d_{m}}$$

gdzie:

s- powierzchnia właściwa [1/mm]

n – współczynnik porowatości [-]

d_m – miarodajna średnia ziarna [mm]

Współczynnik porowatości określa się przy badaniu współczynnika filtracji w aparacie Wiłuna, korzystając ze wzoru:

$$n = \ \frac{V - \ \frac{m_{s}}{\rho}}{V}$$

gdzie:

n – współczynnik porowatości [-]

V = F*l – objętość próby gruntu użytego do badań [cm³]

F – pole powierzchni próby [cm²]

l – wysokość próby [l]

m_s – masa próby [g]

ρ – gęstość szkieletu gruntowego (dla piasku kwarcowego ρ = 2,65 g/cm³)

Miarodajną średnicą kanalika Φ_m nazywamy średnicę kanalików takiej skały, która ma identyczną powierzchnię właściwą i współczynnik porowatości jak skała rzeczywista, natomiast wszystkie kanaliki utworzone przez pory mają jednakową średnicę. Przy założeniu, że pory tworzą kanaliki o przekroju kołowym, średnica miarodajna kanalika dana jest wzorem:

$$\Phi_{m} = \ \frac{2n}{3\ \left( 1 - n \right)}*\ d_{m}$$

gdzie:

Φ_m – średnica miarodajna kanalika [mm]

n – współczynnik porowatości [-]

d_m – miarodajna średnica ziarna [mm]

Współczynnik filtracji z kolei określa się na podstawie analizy uziarnienia oraz w bezpośrednim badaniu przepływu wody przez skałę w aparacie Wiłuna. Wartość współczynnika filtracji należy określić na podstawie krzywej uziarnienia trzema różnymi formułami (według wzoru Hazena, Carmana- Kozeny i dowolnego innego). Współczynnik filtracji jest wprost proporcjonalny do kwadratu średnicy miarodajnej ziarna lub odwrotnie proporcjonalny do kwadratu powierzchni właściwej.

Wzór (autor i zakres stosowalności)	Parametry
Wzór Hazena: k10 = 1, 16 *  d10^2 zakres stosowalności: 0,1 ≤ d10 ≤ 3 mm	k10 – współczynnik filtracji w temp. 10 ^∘C [cm/s] d10 – średnica określana z krzywej uziarnienia, poniżej której masa frakcji w badanym gruncie stanowi 10% [mm]
Wzór Slichtera (pierwszy) $$k = 88,3\ d_{e}^{2}*m*\ \frac{1}{NG}$$ zakres stosowalności: 0,01 ≤ de ≤ 5,00 mm	k – współczynnik filtracji [m/s] de – średnica miarodajna ziaren [mm] m- współczynnik zależny od współczynnika porowatości n [-] ŋ – współczynnik lepkości wody [Pa * s]
Wzór Slichtera (drugi) k = 496 * m *  de^2	k – współczynnik filtracji [m/s] m – współczynnik zależny od współczynnika porowatości [-] de – średnica miarodajna ziaren [mm]
Wzór Seelheima k10 = 0, 357 *  d50^2	k10 – współczynnik filtracji odniesiony do temperatury 10^∘C [cm*s^-1] d50 – średnica określana z krzywej uziarnienia- średnica, poniżej której masa frakcji w badanym gruncie stanowi 50% [mm]
Wzór Carmana- Kozeny $$k = \ \frac{\rho*g*n^{3}}{5*\ NG*s^{2}} = \ \frac{1}{180}*\ \frac{n^{3}}{{(1 - n)}^{2}}*\ \frac{\rho*g}{NG}*\ d_{m}^{2}$$	k – współczynnik filtracji [cm*s^-1] ρ- gęstość wody (1,0 g*cm^-3) g- przyspieszenie ziemskie (981 cm*s^-2) n – współczynnik porowatości [-] ŋ- dynamiczny współczynnik wody s – powierzchnia właściwa [1/cm] dm – średnica miarodajna gruntu [cm]
Wzór amerykański k = 0, 36 * d20^2, 3 zakres stosowalności: 0,01 < d20 < 2,0 mm	k – współczynnik filracji w temperaturze wody 10 ^∘C [cm/s] d20 – średnica ziaren, które wraz z mniejszymi stanowią 20% wagowych badanej próbki [mm]

Tabela 1. Wzory empiryczne do oznaczania współczynnika filtracji (wg Z. Pazdry i B. Kozerskiego, 1990)

Wznios kapilarny definiowany jest jako wysokość, do której zostanie podniesiona woda podziemna ponad jej zwierciadło w przewodach włoskowatych pod wpływem działania napięcia powierzchniowego i sił adhezji. Należy ją obliczyć ze wzoru:

$$h_{k} = \ \frac{ch*s}{n*\ \rho*g}$$

gdzie:

h_k – wysokość podnoszenia kapilarnego [cm]

s – powierzchnia właściwa [1/cm]

ϭ- napięcie powierzchniowe

n – współczynnik porowatości [-]

ρ – gęstość wody (1,0 g*cm^-3]

g – przyspieszenie ziemskie (981 cm*s^-2]

1. Opis badań

Analiza uziarnienia przeprowadzona została poprzez wykonanie analizy sitowej na aparacie i wykonana była dla tego samego gruntu, dla którego wcześniej badano współczynnik filtracji w aparacie Wiłuna. Badanie zostało przeprowadzone na próbce gruntu o masie około 100 g. Próbę gruntu umieszczono w aparacie i poddano ją wstrząsaniu przez około 3 minuty. Frakcje gruntu piaszczystego pozostałe na każdym sicie były ważone na wadze z dokładnością do 0,01g.

1. Wyniki badań i przykładowe obliczenia

Średnica poszczególnych frakcji	Wielkość oczek sita	Masa frakcji pozostałej na sicie mi	Masa frakcji pozostałej na sicie po poprawce mi	Procentowa zawartość wagowa poszczególnych frakcji $\frac{m_{i}}{m}*100\%$	Zawartość cząsteczek o średnicy większej	Zawartość cząsteczek o średnicy mniejszej
mm	mm	g	g	%	%	%
				0.00	0.00	100
>2	-	-	-	-	-	-
2.0 – 1.0	1	0	0.62	0.59	0.59	99.43
1.0 – 0.5	0.5	1.46	2.08	1.99	2.58	97.42
0.5 – 0.25	0.25	78.67	79.29	75.95	78.53	21.47
0.25 – 0.12	0.12	18.81	19.43	18.61	97.14	2.86
0.12 – 0.06	0.06	1.60	2.22	2.13	99.27	0.73
<0.06		0.74	1.36	1.30	100	0
Suma [g]	101.28	101.90	100
Masa gruntu m użyta do analizy [g]	104.40
Różnica Δm [g]	3.12

Tabela 1. Wyniki analizy sitowej.

1. Średnica miarodajna ziarna

$$d_{m} = \ \frac{1}{\sum_{i = 1}^{N}\frac{g_{i}}{d_{i}}}$$

Z wykresu odczytano: d₁₀=0.2 ; d₅₀=0.7; d₆₀=0.78

Obliczony wskaźnik niejednorodności uziarnienia U wynosi:

U = $\frac{d_{60}}{d_{10}}$ = 1.96

Zakres wielkości poszczególnych frakcji	Wielkość oczek sita	Średnica miarowa i-tej frakcji di	Udział masowy i-tej frakcji gi	gi/di
>2	-	-	-	-
2.0-1,0	1	1.3863	0.0059	0.0043
1.0-0.5	0.5	0.6931	0.0199	0.0287
0.5-0.25	0.25	0.3466	0.7595	2.1913
0.25-0.12	01	0.1527	0.1861	1.2187
0.12-0.06	0.06	0.0766	0.0213	0.2781
<0.06	0.01	0.0215	0.013	0.6046
Suma gi	1
Suma gi/di	4.3257

$$d_{m} = \ \frac{1}{4.3257} = 0.2312\ \left\lbrack \text{mm} \right\rbrack = 0.02312\ \lbrack cm\rbrack$$

1. Współczynnik porowatości

$$n = \ \frac{\left( V - \frac{m_{s}}{\rho} \right)}{V} = \ \frac{\left( 245.17 - \ \frac{394.99}{2.65}\ \right)}{245.17} = 0.39$$

1. Powierzchnia właściwa

$$s = 6\left( 1 - n \right)*\frac{1}{d_{m}} = 6\left( 1 - 0.39 \right)*\frac{1}{0.02312} = 158.3\frac{1}{\text{cm}}$$

1. Średnica miarodajna kanalika

$$\Phi_{m} = \frac{2n}{3(1 - n)}*\ d_{m} = \frac{2*0.39}{3(1 - 0.39)}*0.2312 = 0.0985\ \lbrack mm\rbrack$$

1. Współczynnik filtracji

1. wg wzoru Hazena

$$k_{10} = 1,16*\ d_{10}^{2} = 1.16*({0.2)}^{2} = 0.0464\ \lbrack\frac{\text{cm}}{s}\rbrack$$

1. wg wzoru Seelheima

$$k_{10} = 0,357*\ d_{50}^{2} = 0.357*{(0.7)}^{2} = 0.1749\ \lbrack\frac{\text{cm}}{s}\rbrack$$

1. wg wzoru Carmana- Kozeny

$$k = \ \frac{\rho*g*n^{3}}{5*\ NG*s^{2}} = \ \frac{1.0\ *981\ *{(0.39)}^{3}}{5*1.3*\ 10^{- 2}*{(158.3)}^{2}} = 0.0357\lbrack\frac{\text{cm}}{s}\rbrack$$

1. Wysokość wzniosu kapilarnego

$$h_{k} = \ \frac{ch*s}{n*\rho*g} = \ \frac{158.3*74.2*}{0.39*1*981} = \ 30.70\ \lbrack cm\rbrack$$