Kolokwium 2.

1. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin(1 - cosx)}{1 + cosx}\text{\ dx}$

2. $\frac{\partial f}{\partial x}\left( x,y \right)$ , $\frac{\partial f}{\partial y}\left( x,y \right) = \ ?,\ gdy$

1. Z(x,y) = (arcsinx²)^{ln(y^2+1)}

2. Z(x,y) = 2^{arctg x/y}

1. Pole

y = x² , styczna w (1,1) i (-2,4) oraz y=-1

1. $\operatorname{}\frac{\sin{(x,y)}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

2. $\operatorname{}\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

1. Ciągłość

$$f\left( x,y \right) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1 - cos(x + y)}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}},\ \ \&\left( x,y \right) \neq (0,0) \\ 0,\ \ \&\ \left( x,y \right) = (0,0) \\ \end{matrix} \right.\ $$

Kolokwium 3.

1. Zbadać różniczkowalność funkcji

$$f\left( x,y \right) = \left\{ \begin{matrix} x + y + \frac{\text{xy}}{\sqrt{x^{2}{+ y}^{2}}},\ \ \&\left( x,y \right) \neq (0,0) \\ 0,\ \ \&\left( x,y \right) = (0,0) \\ \end{matrix} \right.\ $$

1. Wyznaczyć gradient funkcji $z = arctg\frac{x}{y}$ w punkcie M(1,1) oraz wyznaczyć wersor tego gradientu.

2. Obliczyć:

1. $\operatorname{}\frac{1 - cos(x,y)}{\text{xy}\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

2. $\operatorname{}\frac{\text{xy}}{x^{2} + y^{2}}$

1. Wyznaczyć pochodną funkcji z = arctg(x, y) w punkcie P(1,1) w kierunku dwusiecznej kąta pierwszej ćwiartki układu współrzędnych.

2. Zbadać zbieżność szeregu

$$\sum_{n = 2}^{\infty}\frac{n + 1}{n^{2}\sqrt{\ln n}}$$

Wskazówka: $\frac{x + 1}{x^{2}\sqrt{\ln x}}\ > \ \frac{1}{x\sqrt{\ln x}}$ dla x ≥ 2