A

n

a

liz

a

m

a

te

m

a

ty

cz

n

a

2

II

ko

lo

kw

iu

m

,s

em

es

tr

let

ni

20

03

/2

00

4

N

a

pie

rw

sz

ej

str

on

ie

pra

cy

pro

sz

na

pis

a

na

zw
ku

rsu

,z

któ

re

go

od

by

w

a

si

ko

lo

kw

iu

m

,

sw

oje

im

i

in

az

w

isk

o,

nu

m

er

in

de

ks

u,

w

yd

zia

ł,

kie

ru

ne

k,

ro

k

stu

dió

w

,im

i

in

az

w

isk

o

w

yk

ład

ow

cy

(o

so

by

pro

w

ad

z

ce

j

w

icz

en

ia)

,d

at

ora

z

sp

orz

dz

i

po

ni

sz

tab

elk

.

P

o

-

n

a

d

to

p

ro

sz
p

o

n

u

m

er

o

w

a
i

p

o

d

p

is

a
w

sz

y

st

k

ie

p

o

zo

st

a

łe

k

a

rt

k

i

p

ra

cy

.

A

5

1

2

3

4
Su

m

a

T

re

ci

za

da

pro

sz

nie

prz

ep

isy

w

a

.

R

o

zw

i

za

n

ie

za

d

a

n

ia

o

n

u

m

er

ze

n

n

a

le

y

n

a

p

i-

sa
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce

p

ra

cy

.N

a

ro

zw

i

za

nie

za

da

prz

ez

na

cz

on

o

60

m

in

ut,

za

ro

zw

i

za

nie

ka

de

go

za

da

nia

m

o

na

otr

zy

m

a

od

0

do

5

pu

nk

tó

w

.W

ro

zw

i

za

nia

ch

na

le

y

do

kła

dn

ie

op

isy

w

a

prz

eb

ieg

ro

zu

m

ow

an

ia,

tzn

.fo

rm

uło

w

a

w

yk

orz

ys

ty

w

an

e

de

fin

icj

e

itw

ier

dz

en

ia,

prz

yta

cz

a

sto

so

w

an

e

w

zo

ry

,u

za

sa

dn

ia

w

yc

i

ga

ne

w

nio

sk

i.

Po

na

dto

pro

sz

sp

orz

dz

a

sta

ra

nn

e

ry

su

nk

iz

pe

łn

ym

op

ise

m

.

P

o

w

o

d

ze

n

ia

!

T

er

es

a

Ju

rl

ew

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.

W

sk

az

a

kie

ru

ne

k,

w

któ

ry

m

prz

yro

st

fu

nk

cji

f

(

x
,

y

)

=

(

x

−

3

)

2

−

(

x

−

3

)

(

y

+

1

)

+

(

y

+

1

)

2

w

oto

cz

en

iu

pu

nk

tu

jes

tn

ajw

i

ks

zy

.

A

=

(
4,

0

)

2

.

Sp

o

ró

d

w

sz

ys

tk

ich

pro

sto

pa

dło

cia

nó

w

o

ob

j

to

ci

V

=

8

w

yb

ra

ten

,k

tó

re

go

prz

ek

tn

a

jes

tn

ajk

ró

tsz

a.

3

.

W

pro

w

ad

za

j

c

w

sp

ółr

z

dn

e

bie

gu

no

w

e

ob

lic

zy

po

le

fig

ury

ok

re

lo

-

ne

jz

ale

no

ci

.

(

x

2

+

y

2

)

3

≤

4

x

2

y

2

Sp

orz

dz

i

ry

su

ne

k.

4

.

Ja

ka

jes

t

re

dn

ia

w

art

o
fu

nk

cji

na

ob

sz

arz

e

g

(

x
,

y
,

z

)

=

y

og

ra

nic

zo

ny

m

po

w

ier

zc

hn

iam

i

V
⊂
R

3

?

x

=

0,

y

=

1,

z

=

0,

y

=

2,

x

=

y
,

z

=

x

y

A

n

a

liz

a

m

a

te

m

a

ty

cz

n

a

2

II

ko

lo

kw

iu

m

,s

em

es

tr

let

ni

20

03

/2

00

4

N

a

pie

rw

sz

ej

str

on

ie

pra

cy

pro

sz

na

pis

a

na

zw
ku

rsu

,z

któ

re

go

od

by

w

a

si

ko

lo

k-

w

iu

m

,s

w

oje

im

i

in

az

w

isk

o,

nu

m

er

in

de

ks

u,

w

yd

zia

ł,

kie

ru

ne

k,

ro

k

stu

dió

w

,im

i

in

az

w

isk

o

w

yk

ład

ow

cy

(o

so

by

pro

w

ad

z

ce

j

w

icz

en

ia)

,d

at

ora

z

sp

orz

dz

i

po

ni

sz

tab

elk

.

P

o

n

a

d

to

p

ro

sz
p

o

n

u

m

er

o

w

a
i

p

o

d

p

is

a
w

sz

y

st

k

ie

p

o

zo

st

a

łe

k

a

rt

k

i

p

ra

cy

.

B

5

1

2

3

4
Su

m

a

T

re

ci

za

da

pro

sz

nie

prz

ep

isy

w

a

.

R

o

zw

i

za

n

ie

za

d

a

n

ia

o

n

u

m

er

ze

n

n

a

le

y

n

a

-

p

is

a
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce

p

ra

cy

.N

a

ro

zw

i

za

nie

za

da

prz

ez

na

cz

on

o

60

m

in

ut,

za

ro

zw

i

-

za

nie

ka

de

go

za

da

nia

m

o

na

otr

zy

m

a

od

0

do

5

pu

nk

tó

w

.W

ro

zw

i

za

nia

ch

na

le

y

do

kła

dn

ie

op

isy

w

a

prz

eb

ieg

ro

zu

m

ow

an

ia,

tzn

.fo

rm

uło

w

a

w

yk

orz

ys

ty

w

an

e

de

fin

icj

e

tw

ier

dz

en

ia,

prz

yta

cz

a

sto

so

w

an

e

w

zo

ry

,u

za

sa

dn

ia

w

yc

i

ga

ne

w

nio

sk

i.

Po

na

dto

pro

-

sz

sp

orz

dz

a

sta

ra

nn

e

ry

su

nk

iz

pe

łn

ym

op

ise

m

.

P

o

w

o

d

ze

n

ia

!

T

er

es

a

Ju

rl

ew

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.

O

bli

cz

y

po

ch

od

n

kie

ru

nk

ow
w

kie

ru

nk

u

w

ek

to

ra

→

u
=

(

2

3

,

5

3

)

w

pu

nk

cie

fu

nk

cji

(
0,

0

)

.

g

(

x
,

y

)

=

3

27

x

3

−

y

3

2

.

Zn

ajd

uj

c

m

in

im

um

od

po

w

ied

nie

jfu

nk

cji

dw

óc

h

zm

ien

ny

ch

ob

lic

zy

od

leg

ło
m

i

dz

y

pro

sty

m

i

,

l
:

(

x
,

y
,

z

)

=

(
1

+

t,

t,

−
2

+

t

)
,

t

∈
R

.

k

:

(

x
,

y
,

z

)

=
(
3

s
,

−
1

+

s
,

s

)
,

s

∈
R

3

.

O

bli

cz

y

m

om

en

ts

tat

yc

zn

y

jed

no

ro

dn

eg

o

tró

jk

ta

pro

sto

k

tn

eg

o

o

m

as

ie

ip

rz

yp

ro

sto

k

tn

yc

h

w

zg

l

de

m

M
=

12

0

a

=

6,

b

=

8

jeg

o

prz

ec

iw

pro

sto

k

tn

ej.

4

.

W

prz

es

trz

en

i

da

ny

jes

to

bs

za

r

og

ra

nic

zo

ny

po

w

ier

zc

hn

iam

i

R

3

U

.

N

as

zk

ico

w

a

go

io

bli

cz

y

ca

łk

z

=

0,

z

=

3,

x

−

y

=

0,

y

=

x

.

U

x

z

d

v

A

n

a

liz

a

m

a

te

m

a

ty

cz

n

a

2

II

ko

lo

kw

iu

m

,s

em

es

tr

let

ni

20

03

/2

00

4

N

a

pie

rw

sz

ej

str

on

ie

pra

cy

pro

sz

na

pis

a

na

zw
ku

rsu

,z

któ

re

go

od

by

w

a

si

ko

lo

kw

iu

m

,

sw

oje

im

i

in

az

w

isk

o,

nu

m

er

in

de

ks

u,

w

yd

zia

ł,

kie

ru

ne

k,

ro

k

stu

dió

w

,im

i

in

az

w

isk

o

w

yk

ład

ow

cy

(o

so

by

pro

w

ad

z

ce

j

w

icz

en

ia)

,d

at

ora

z

sp

orz

dz

i

po

ni

sz

tab

elk

.

P

o

-

n

a

d

to

p

ro

sz
p

o

n

u

m

er

o

w

a
i

p

o

d

p

is

a
w

sz

y

st

k

ie

p

o

zo

st

a

łe

k

a

rt

k

i

p

ra

cy

.

C

5

1

2

3

4
Su

m

a

T

re

ci

za

da

pro

sz

nie

prz

ep

isy

w

a

.

R

o

zw

i

za

n

ie

za

d

a

n

ia

o

n

u

m

er

ze

n

n

a

le

y

n

a

p

i-

sa
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce

p

ra

cy

.N

a

ro

zw

i

za

nie

za

da

prz

ez

na

cz

on

o

60

m

in

ut,

za

ro

zw

i

za

nie

ka

de

go

za

da

nia

m

o

na

otr

zy

m

a

od

0

do

5

pu

nk

tó

w

.W

ro

zw

i

za

nia

ch

na

le

y

do

kła

dn

ie

op

isy

w

a

prz

eb

ieg

ro

zu

m

ow

an

ia,

tzn

.fo

rm

uło

w

a

w

yk

orz

ys

ty

w

an

e

de

fin

icj

e

itw

ier

dz

en

ia,

prz

yta

cz

a

sto

so

w

an

e

w

zo

ry

,u

za

sa

dn

ia

w

yc

i

ga

ne

w

nio

sk

i.

Po

na

dto

pro

sz

sp

orz

dz

a

sta

ra

nn

e

ry

su

nk

iz

pe

łn

ym

op

ise

m

.

P

o

w

o

d

ze

n

ia

!

T

er

es

a

Ju

rl

ew

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.

Zn

ale
na

jm

nie

jsz

in

ajw

i

ks

z

w

art

o
fu

nk

cji

g

(

x
,

y

)

=

4

x

y

−

2

x

−

y

na

zb

io

rz

e

.

D
=

{

(

x
,

y

)

∈
R

2

:

y

≤

x
,

x

≤

3

y

}

2

.

N

ap

isa

ró

w

na

nie

sty

cz

ne

jd

o

krz

yw

ej

x

e

y

+

y

e

x

=

e

x

y

w

pu

nk

cie

prz

ec

i

cia

tej

krz

yw

ej

z

os

i

.

O

y

3

.

Zn

ale
w

sp

ółr

z

dn

e

ro

dk

a

m

as

y

jed

no

ro

dn

eg

o

ob

sz

aru

pła

sk

ieg

o

og

ra

nic

zo

ne

go

krz

yw

ym

i

.

y

=

e

x

,

x

=

0,

x

=

1,

y

≥

0

4

.

O

bli

cz

y

ob

j

to
bry

ły

og

ra

nic

zo

ne

jp

ow

ier

zc

hn

iam

i

.

z

=

2

−

x

2

−

y

2

,

z

=

−
4

−

x

2

−

y

2

A

n

a

liz

a

m

a

te

m

a

ty

cz

n

a

2

II

ko

lo

kw

iu

m

,s

em

es

tr

let

ni

20

03

/2

00

4

N

a

pie

rw

sz

ej

str

on

ie

pra

cy

pro

sz

na

pis

a

na

zw
ku

rsu

,z

któ

re

go

od

by

w

a

si

ko

lo

k-

w

iu

m

,s

w

oje

im

i

in

az

w

isk

o,

nu

m

er

in

de

ks

u,

w

yd

zia

ł,

kie

ru

ne

k,

ro

k

stu

dió

w

,im

i

in

az

w

isk

o

w

yk

ład

ow

cy

(o

so

by

pro

w

ad

z

ce

j

w

icz

en

ia)

,d

at

ora

z

sp

orz

dz

i

po

ni

sz

tab

elk

.

P

o

n

a

d

to

p

ro

sz
p

o

n

u

m

er

o

w

a
i

p

o

d

p

is

a
w

sz

y

st

k

ie

p

o

zo

st

a

łe

k

a

rt

k

i

p

ra

cy

.

D

5

1

2

3

4
Su

m

a

T

re

ci

za

da

pro

sz

nie

prz

ep

isy

w

a

.

R

o

zw

i

za

n

ie

za

d

a

n

ia

o

n

u

m

er

ze

n

n

a

le

y

n

a

-

p

is

a
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce

p

ra

cy

.N

a

ro

zw

i

za

nie

za

da

prz

ez

na

cz

on

o

60

m

in

ut,

za

ro

zw

i

-

za

nie

ka

de

go

za

da

nia

m

o

na

otr

zy

m

a

od

0

do

5

pu

nk

tó

w

.W

ro

zw

i

za

nia

ch

na

le

y

do

kła

dn

ie

op

isy

w

a

prz

eb

ieg

ro

zu

m

ow

an

ia,

tzn

.fo

rm

uło

w

a

w

yk

orz

ys

ty

w

an

e

de

fin

icj

e

tw

ier

dz

en

ia,

prz

yta

cz

a

sto

so

w

an

e

w

zo

ry

,u

za

sa

dn

ia

w

yc

i

ga

ne

w

nio

sk

i.

Po

na

dto

pro

-

sz

sp

orz

dz

a

sta

ra

nn

e

ry

su

nk

iz

pe

łn

ym

op

ise

m

.

P

o

w

o

d

ze

n

ia

!

T

er

es

a

Ju

rl

ew

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.

Pr

os

to

pa

dło

cia

n,

któ

re

go

trz

y

cia

ny

prz

yle

ga

j

do

pła

sz

cz

yz

n

uk

ła-

du

w

sp

ółr

z

dn

yc

h

jes

to

gra

nic

zo

ny

pła

sz

cz

yz

n

.

3

x

+

y

+

2

z

=

6

K

ied

y

jeg

o

ob

j

to
jes

tn

ajw

i

ks

za

?

2

.

N

ap

isa

ró

w

na

nie

sty

cz

ne

jw

pu

nk

cie

do

(

x

0

,

y

0

)

=

(

π

6

,

−

π

6

)

krz

yw

ej

.

6

x
sin

x

+

6

y
sin

y

=

π

3

.

O

bli

cz

y

m

om

en

ts

tat

yc

zn

y

w

zg

l

de

m

os

i

ob

sz

aru

O

y

D
=

{

(

x
,

y

)
:1

≤

x

2

+

y

2

≤

2

x

}

o

g

sto

ci

po

w

ier

zc

hn

io

w

ej

m

as

y

.

σ
(

x
,

y

)

=

1

x

2

+

y

2

4

.

U

zu

pe

łn

i

za

pis

.

−
1

1

d

x

0

1

−

x

2

d

y

y

1

−

x

2

f

(

x
,

y
,

z

)

d

z

=

d

y
d

z
f

(

x
,

y
,

z

)

d

x