Efekt Comptona

W 1923 roku A. H. Compton wykonał doświadczenie, w którym promienie Roentgena ulegały rozproszeniu na bloku grafitowym. Rejestrując fale odbite pod różnymi kątami zaobserwował, że długość fali rozproszonej jest większa niż fali padającej i że zależy od kąta rozproszenia. Tymczasem, na gruncie falowym oczekuje się, że fala rozproszona mieć będzie tą samą częstotliwość, bo elektrony pobudzane do drgań przez drgania pola elektrycznego powinny wypromieniowywać fale o tej samej długości, co fala pobudzająca.

Dla wytłumaczenia swych obserwacji Compton założył, że padające w jego doświadczeniu promieniowanie rentgenowskie nie stanowi fali o częstotliwości , ale strumień fotonów, z których każdy ma energię .  Fotony z kolei potraktował jak kule bilardowe i zastosował do nich typowe wzory kinematyki cząstek. Wykorzystując obserwację, że długość fal rozproszonych jest niezależna od materiału rozpraszającego przyjął, że elektrony na których odbywa się rozpraszanie nie są związane w atomach, ale są swobodne. Jego obliczenia kinematyczne dały wyniki zgodne z wynikami pomiarów, potwierdzając słuszność traktowania fotonów jako cząstek, a nie fal. Doświadczenia podobne wykonywano później wielokrotnie uzyskując takie same wyniki. Również takie same wyniki uzyskuje się obecnie w laboratoriach studenckich. Doświadczenie Comptona opiszemy tu więc w wariancie realizowanym przez studentów na Wydziale Fizyki PW. 

Na rysunku 2.4.1. z lewej strony przedstawiona jest fotografia fragmentu pomiarowego układu, a z prawej jego schemat pokazany jako widok z góry. Źródłem fotonów Z jest tu preparat promieniotwórczy ¹³⁷Cs znajdujący się w obudowie ołowianej Pb z wąskim otworem stanowiącym kolimator wiązki fotonów. Kierunek tej wiązki pokazuje niebieska strzałka. Fotony padają na ustawiony pionowo detektor scyntylacyjny D₁, który równocześnie spełnia rolę układu rozpraszającego. Odrzucone w rezultacie rozproszenia elektrony mają mały przebieg i rejestrowane są właśnie w tym detektorze. W ustawionym poziomo detektorze D₂, rejestrowane są fotony rozproszone. Pomiar realizowany jest w układzie koincydencyjnym, tj. rejestracja następuje tylko wtedy, kiedy w obu detektorach równocześnie  pojawiają się impulsy elektryczne ("bramka" czasowa wynosi ok. jednej mikrosekundy). Detektor poziomy może się obracać wokół osi pionowej stanowiącej też oś detektora D₁ .

Rys.2.4.1. Układ pomiarowy do badania efektu Comptona na Wydziale Fizyki PW.

Wykonujemy pomiar. Mierzymy równocześnie widmo energetyczne odrzuconych elektronów, zarejestrowanych w pionowym detektorze, i widmo rozproszonych fotonów, zarejestrowanych w detektorze ustawionym poziomo. 

Przypomnijmy na początek kilka użytecznych zależności.  Pamiętamy związek pomiędzy częstotliwością fali i energią fotonu, E. 

	(2.4.1)

Pamiętamy też relatywistyczny związek pomiędzy energią całkowitą cząstki, E, pędem p, i masą spoczynkową, m₀; 

	(2.4.2)

Masa fotonów równa jest jednak zeru. Związek pomiędzy energią i pędem dla fotonu jest więc

	(2.4.3)

Ze wzorów (2.4.1) i (2.4.3) wynika, że

	(2.4.4)

bowiem .

Wprowadźmy kilka oznaczeń użytecznych w naszych rozważaniach. Oznaczmy przez E₀ i p₀ energie i pęd padającego fotonu, a przez E₁ i p₁, energię i pęd fotonu rozproszonego. Przez: m₀, E_e, T_e, i p_e oznaczmy odpowiednio: masę spoczynkową, energię całkowitą, energię kinetyczną i pęd elektronu odrzutu. Schemat kinematyczny przedstawiony jest po prawej stronie rysunku 2.4.1.

Zapiszmy prawa zachowania pędu i energii dla naszego przypadku. Suma składowych pędu rozproszonego fotonu i odrzuconego elektronu, równoległych do kierunku lotu padającego fotonu, równa jest pędowi fotonu padającego, p₀, czyli

.	(2.4.5a)

Suma składowych prostopadłych musi być równa zeru, tj.

.	(2.4.5b)

Prawo zachowania energii mówi, że sumaryczna energia układu składającego się z padającego fotonu i spoczywającego elektronu ma być równa sumie energii fotonu rozproszonego i elektronu odrzuconego, (Pamiętamy, że energia spoczywającego elektronu równa jest jego masie spoczynkowej pomnożonej przez c²)

,	(2.4.5c)

 z czego wynikają związki: 

.	(2.4.6)

Dla zapisania ostatniej równości uwzględniliśmy zależność (2.4.3). 

Równania (2.4.5abc) umożliwiają wyznaczenie energii fotonu rozproszonego lub zmianę długości fali w efekcie Comptona. Dla wyznaczenia tych wielkości skorzystajmy najpierw z zasady zachowania pędu. Podnieśmy do kwadratu stronami równania (2.4.5ab) 

	(2.4.7a)
	(2.4.7b)

Po dodaniu ich stronami otrzymujemy 

	(2.4.8)

Znajdźmy teraz związek pomiędzy energią kinetyczną i pędem elektronu. Z zależności (2.4.2) mamy

,	(2.4.9

bowiem energia całkowita jest sumą energii kinetycznej i masy spoczynkowej. Wzór (2.4.9) można wyrazić prościej w postaci

	(2.4.10)

Skorzystajmy teraz z zasady zachowania energii. Wykorzystując wzór (2.4.6) możemy wzór (2.4.10) przepisać w postaci

	(2.4.11)

Zapiszmy równość wynikającą ze wzorów (2.4.8) i (2.4.11)

	(2.4.12)

Można to przepisać w prostszej postaci jako

	(2.4.13)

lub

	(2.4.14)

Korzystając ze wzoru (2.4.4) możemy w oparciu o wzór (2.4.14) wyznaczyć zmianę długości fali w efekcie Comptona,

.	(2.4.15)

Wielkość 

.	(2.4.16)

nosi nazwę komptonowskiej długości fali elektronu. Zauważmy, że zmiana długości fali w efekcie Comptona nie zależy od długości fali padającego fotonu, a jedynie od kąta rozproszenia. Oznacza to, że względna zmiana energii jest duża dla fotonów o dużych energiach, czyli małych długościach fal. Kiedy kąt równy jest zeru,  długość fali nie zmienia się, kiedy jest równy 180^o, to długość fali fotonu rozproszonego powiększa się w stosunku do długości fali fotonu padającego o podwójną  komptonowską długość fali.  

Korzystając z kolei ze związku (2.4.3) możemy ze wzoru (2.4.14) otrzymać wyrażenie na energię rozproszonego fotonu

	(2.4.17)

gdzie w drugiej równości wprowadziliśmy  wielkość wyrażająca energię fotonu w jednostkach energii spoczynkowej elektronu:  . 

Możemy też obliczyć energię kinetyczną elektronu odrzutu otrzymując

	(2.4.18)

Analizując postać wzorów (2.4.17) i (2.4.18) widzimy, że ze wzrostem kąta  zmniejsza się energia fotonu rozproszonego i zwiększa się energia odrzuconego elektronu.

Powróćmy do pomiarów efektu Comptona na Wydziale Fizyki PW. Rysunki poniżej prezentują od lewej do prawej widma  rozproszonych fotonów i odrzuconych elektronów dla trzech kątów : 45^o, 90^o i 135^o.  Zauważamy, że maksimum rozproszonego promieniowania widoczne w rozkładzie energii fotonów rośnie i przesuwa się wyraźnie w kierunku mniejszych energii, a więc większych długości fal, przy zwiększaniu kąta rozproszenia. Równocześnie obserwujemy odwrotną tendencję w widmie elektronów. Analiza ilościowa tych efektów stanowi przedmiot ćwiczeń laboratoryjnych studentów Wydziału Fizyki PW. Mniejsze maksima widoczne na rysunkach są rezultatem istnienia koincydencji przypadkowych rejestrowanych także przez aparaturę pomiarową. (Małe maksimum widoczne z prawej strony widma elektronów, i nie zmieniające swego położenia, stanowi przy tym cenną informację odpowiadającą energii padającego fotonu i użyteczną dla kalibracji widm. Maksimum to spowodowane jest rejestracją padających fotonów w zjawisku fotoelektrycznym.)

Rys.2.4.2 Rozkład energii fotonów w efekcie Comptona dla kątów: 45, 90 i 135 stopni

Rys.2.4.2 Rozkład energii elektronów w efekcie Comptona dla kątów: 45, 90 i 135 stopni

W ten sposób rewelacyjne pomiary sprzed 80-ciu lat wykonywane są obecnie prawie codzienne przez studentów PW. Nie pomniejsza to oczywiście wartości tego pierwszego pomiaru wykonanego przez Comptona.