Sprawozdanie z ćwiczenia nr 10

Sprawdzenie prawa Hooke’a i wyznaczanie modułu Young’a

1. Wstęp:

Celem ćwiczenia było sprawdzenie prawa Hook’a i wyznaczenie modułu Young’a poprzez pomiar wydłużenie ciała.

Sprawdzanie prawa Hook ' a w doświadczeniu polega na wykonaniu kilku pomiarów wydłużenia stalowego drutu pod wpływem znanego ociążenia Q = mg i sporządzeniu wykresu .

Schemat układu pomiarowego:

1. Tabele przedstawiająca wyniki wykonanych pomiarów oraz obliczenia:

Tabela przedstawiająca wyniki pomiarów: długości drutu l₀ dokonanego za pomocą przymiaru metrowego; średnicy drutu d za pomocą śruby mikrometrycznej oraz średnicy wskaźnika a za pomocą śruby mikrometrycznej.

li	$$\overset{\overline{}}{l_{i}}$$	Δli	di	$$\overset{\overline{}}{d_{i}}$$	Δdi	ai	$$\overset{\overline{}}{a}$$	Δa
[cm]	[cm]	[cm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]
83,9	84,1	0,6	1,17	1,18	0,01	0,75	0,753	0,01
84,1			1,18			0,76
84,3			1,18			0,75
	1,18
	1,18
	1,19
	1,18
	1,18

Dokonując oceny niepewności pomiarowych korzystamy ze wzoru na odchylenie standardowe oraz niepewności:

$$\mathbf{S}_{\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\sum_{}^{}\left( \mathbf{x -}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)^{\mathbf{2}}}{\mathbf{N - 1}}}$$

$$\mathbf{\Delta x =}\sqrt{\left( \mathbf{S}_{\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}$$

Przykładowe obliczenia:

$$S_{\overset{\overline{}}{l}} = \sqrt{\frac{0,08cm^{2}}{3 - 1}} = 0,2cm$$

$$\Delta l = \sqrt{\left( 0,2cm \right)^{2} + \frac{1}{3}{(1cm)}^{2}} = 0,61101cm \approx 0,6cm$$

Cechowanie mikroskopu:

ag’	$$\overset{\overline{}}{a_{g}}$$	Δag’	ad’	$$\overset{\overline{}}{a_{d}}$$	Δad’	a’	Δa’	w=a/a’
[dz]	[dz]	[dz]	[dz]	[dz]	[dz]	[dz]	[dz]	[mm/dz]
3,64	3,623	0,03	5,88	5,877	0,02	2,254	0,01	0,34
3,61			5,87
3,62			5,88

Dokonując oceny niepewności pomiarowych a_g i a_d korzystamy ze wzoru na odchylenie standardowe oraz niepewności podanych powyżej.

$$a = \overset{\overline{}}{a_{d}} - \overset{\overline{}}{a_{g}}$$

a = 5,877dz - 3,623dz = 2,254dz

Niepewność Δa’ obliczymy w następujący sposób: a = Δa_d’ - Δa_g’

a = 0,03dz – 0,02dz =0,01dz

∖n

w = a/a’

$$w = \frac{0,753mm}{2,254dz} \approx 0,34\frac{\text{mm}}{\text{dz}}$$

Z tego wynika że 0,34mm to 1dz, a 1mm to 2,94dz, a 0,01mm to 0,0294 dz.

$$S_{\overset{\overline{}}{a_{g}}} = \sqrt{\frac{0,000467\text{dz}^{2}}{3*(3 - 1)}} \approx 0,009dz$$

$$\Delta a_{g} = \sqrt{\left( 0,009dz \right)^{2} + \frac{1}{3}{(0,0294dz)}^{2}} = 0,0192119dz \approx 0,02dz$$

Tabela przedstawiająca zależność wydłużenia od siły przy dokładaniu ciężaru:

mi	Δmi	Fi	ΔFi	S	ΔS	σi	Δσi	Δli	Δli	Δ(Δli)	$$\frac{\Delta l_{i}}{l_{0}}$$	Δ$\left( \frac{\Delta l_{i}}{l_{0}} \right)$	E	ΔE
[kg]	[kg]	[N]	[N]	m^2	m^2	$$\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$	$$\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$	[dz]	[m]	[m]		[%]	$$\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$	$$\left\lbrack \frac{N}{m^{2}} \right\rbrack$$
0	0,1*10^-3	0	10^-3	1,09*10^-6	7,85*10^-11	0,00E+00	0,13*10^8	0	0,00E+00	1,11E-4	0,00E+00	0,67	390, 68  • 10^8	20, 3 • 10^8
7,96E-01		7,81				7,16E+06		0,18	6,12E-05		7,28E-05
1,63E+00		15,95				1,46E+07		0,26	8,84E-05		1,05E-04
2,48E+00		24,30				2,23E+07		0,37	1,26E-04		1,50E-04
3,25E+00		31,89				2,93E+07		0,48	1,63E-04		1,94E-04
4,08E+00		39,98				3,67E+07		0,61	2,07E-04		2,47E-04
4,92E+00		48,25				4,43E+07		0,73	2,48E-04		2,95E-04
5,77E+00		56,57				5,19E+07		0,85	2,89E-04		3,44E-04
6,59E+00		64,65				5,93E+07		0,99	3,37E-04		4,00E-04
5,77E+00		56,57				5,19E+07		0,83	2,82E-04		3,36E-04
4,92E+00		48,25				4,43E+07		0,66	2,24E-04		2,67E-04
4,08E+00		39,98				3,67E+07		0,6	2,04E-04		2,43E-04
3,25E+00		31,89				2,93E+07		0,49	1,67E-04		1,98E-04
2,48E+00		24,30				2,23E+07		0,39	1,33E-04		1,58E-04
1,63E+00		15,95				1,46E+07		0,27	9,18E-05		1,09E-04
7,96E-01		7,81				7,16E+06		0,18	6,12E-05		7,28E-05
0,00E+00		0,00				0,00E+00		0,04	1,36E-05		1,62E-05

Wartość siły F wyznaczyliśmy ze wzoru: F=m*g, gdzie g=9,81 m/s² to wartość przyspieszenia ziemskiego, a niepewność wartości siły ze wzoru: ΔF=Δm*g.

Np. F₁=795,7*10^-3 kg * 9,81 m/s² = 7,81 N

ΔF = 0,1 * 10^-3 kg * 9,81 m/s² = 0,981* 10^-3 N≈1* 10^-3 N

Pole powierzchni przekroju poprzecznego S drutu obliczamy ze wzoru: $\mathbf{S =}\frac{\mathbf{\pi}{\overset{\overline{}}{\mathbf{d}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}}$, a niepewność $\Delta\mathbf{S =}\frac{\mathbf{\pi(}\Delta{\overset{\overline{}}{\mathbf{d)}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}}$

S=3,14*(1,18*10^-3m)² /4 =1,09*10^-6 m²

ΔS=3,14*(10^-5m)² /4 =7,85*10^-11 m²

Naprężenie obliczamy ze wzoru: $\mathbf{\sigma =}\frac{\mathbf{F}}{\mathbf{S}}$, a jego niepewność $\mathbf{\Delta\sigma =}\frac{\mathbf{\text{ΔF}}}{\mathbf{\text{ΔS}}}$:

Np. σ = 7,81 N / 1,09*10^-6 m =7,17 * 10⁶ N/m²

Δσ = 1*10^-3 N / 7,85*10^-11 m² = 0,13 * 10⁸ N/m²

Moduł Younga obliczymy przekształcając wzór podany w instrukcji: $\frac{\mathbf{\text{Δl}}}{\mathbf{l}_{\mathbf{0}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{F}}{\mathbf{\text{SE}}}$, który po przekształceniu będzie wyglądał następująco:

$$\mathbf{E =}\frac{\mathbf{F}\mathbf{l}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{\text{SΔl}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}\mathbf{\text{mg}}\mathbf{l}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{\pi}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{Δl}}}$$

m = $\overset{\overline{}}{m}$ = 0,823 kg

g = 9,81 m/s²

l_o = $\overset{\overline{}}{l}$ = 84,1cm = 84,1 * 10^-2m

π = 3,14

d = $\overset{\overline{}}{d}$ = 1,18mm = 1,18*10^-3m

Δl = $\overset{\overline{}}{\text{Δl}}$ = 1,59mm = 1,59*10^-4m

$$E = \frac{4 \bullet 0,823kg \bullet 9,81\frac{m}{s^{2}} \bullet 84,1 \bullet 10^{- 2}m}{3,14 \bullet \left( 1,18 \bullet 10^{- 3}m \right)^{2} \bullet 1,59 \bullet 10^{- 4}m} = 390,68\ \bullet 10^{8}Pa \approx 39\ GPa$$

Do obliczenia błędów, z jakim można wyznaczyć moduł Younga posłużyliśmy się metodą różniczki :

$$\frac{\mathbf{\text{ΔE}}}{\mathbf{E}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{Δm}}}{\mathbf{m}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\Delta}\mathbf{l}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{l}_{\mathbf{0}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\text{Δd}}}{\mathbf{d}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\Delta(\Delta l)}}{\mathbf{\text{Δl}}}$$

$$\frac{\text{ΔE}}{E} = \frac{28,91*10^{- 3kg}}{3,28kg} + \frac{0,6*10^{- 3}m}{84,1*10^{- 2}m} + \frac{2 \bullet 0,01*10^{- 3}m}{1,18*10^{- 3}m} + \frac{0,04*10^{- 3}m}{1,59*10^{- 3}m} \approx 0,052$$

ΔE = 0,052•390, 68  • 10⁸Pa ≈ 20, 3 • 10⁸Pa

$$\frac{\text{ΔE}}{E} \bullet 100\% = 5,2\%$$

Wykres zależności wydłużenia od siły:

1. Przy dokładnaniu ciężaru:

2. Przy zdejmowaniu masy: