SPRAWOZDANIE z ćw. nr 65 Temat: Badanie procesów ładowania i rozladowania kondensatorów	LABORATORIUM z FIZYKI OGÓLNEJ INSTYTUT FIZYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ
Alicja Lipień Wydział Chemiczny Rok I	Data wykonania ćw. 03.06.2011 r.

1. Wstęp

Kondensator służy do gromadzenia ładunku elektrycznego i jest układem dwóch odizolowanych elektrycznie przewodników. W najprostszym przypadku są to dwie jednakowe, równoległe względem siebie i odizolowane metalowe płyty. Przestrzeń między nimi jest wypełniona dielektrykiem, np. powietrzem. Ilość zgromadzonego na kondensatorze ładunku elektrycznego zależy od geometrii jego płyt, rodzaju zastosowanego dielektryka oraz przyłożonego do jego okładek napięcia. Wynika to z zależności Q=CU [C]. współczynnik proporcjonalności między ładunkiem a napięciem oznaczony jako C, to pojemność kondensatora, której wartość zależy od konkretnego rozwiązania konstrukcyjnego.

Nie można jednak stosować dowolnie dużego napięcia podczas ładowania kondensatora, gdyż każdy dielektryk ma pewne napięcie przebicia i jeśli wartość ta zostanie przekroczona, następuje rozładowanie kondensatora poprzez wyrównanie potencjałów na jego okładkach. W doświadczeniu użyłam wartości napięcia zasilania równą 2,6 V ze względu na niebezpieczeństwo ustawiania wyższych wartości napięcia zasilania.

Podczas ładowania kondensatora można zauważyć pewną zależność – im większa pojemność kondensatora tym wolniej się on ładuje. To samo dotyczy rozładowania – im większa pojemność tym też dłużej się rozładowuje.

Krzywe ładowania i rozładowania kondensatorów kształtują się w następujący sposób:

Dochodzenie do napięcia maksymalnego jak i również do napięcia zerowego jest asymptotyczne jak wynika z wykresów.

Ostatecznie przy stałym napięciu zasilania podłączonym do wykresu, zależność napięcia od czasu podczas ładowania kondensatora można przedstawić wzorem:

$U_{c} = U_{z}(1 - e^{- \frac{t}{\text{RC}}}$), a dla procesu rozładowywania U_c= $U_{0}e^{- \frac{t}{\text{RC}}}$.

Wielkość RC występująca w obu wzorach to tak zwana stała czasowa, i jej wyznaczeniem będę się zajmować w podanym doświadczeniu.

Wartość stałej czasowej to czas, po upływie którego w procesie rozładowania napięcie na kondensatorze spadnie do wartości $\frac{U_{0}}{e}$ , gdzie e jest podstawą logarytmów naturalnych ( określenie momentu, w którym to następuje jest jedną z metod wyznaczenia stałej w moim doświadczeniu, jednak występuje tu duża niedokładność wyznaczenia danej wartości, ponieważ odczytuje się ją z wykresu, dlatego stosuje się również inne, bardziej precyzyjne metody). Stała czasowa jest bardzo istotną wielkością dla konstruktorów aparatury elektronicznej, gdyż decyduje o szybkości pracy zestawu układów elektronicznych.

Postaram się wyznaczyć stałą czasową 3 różnymi metodami. O jednej już wspomniałam, druga metoda polega na zlinearyzowaniu wykresu U_c(t) poprzez zlogarytmowanie wartości $\ \frac{U_{c}}{U_{0}}$, a wtedy współczynnik nachylenia prostej jest równy odwrotności ujemnej wartości stałej. Trzecia metoda polega na policzeniu stałej bez konieczności linearyzacji wykresów U_c(t), a mianowicie wyrażona ona zostanie wzorem:

τ = $\left| \frac{t_{k} - t_{p}}{{ln(\frac{U_{C}}{U_{0}})}_{k} - {ln(\frac{U_{C}}{U_{0}})}_{p}} \right|$ [s], gdzie p i k to dowolne punkty wykresu (w moich obliczeniach jako punkt początkowy wybieram wartość czasu równą 0, dla której jednocześnie mam największą wartość napięcia).

Podczas dokonywania pomiarów posługuję się multimetrem typu M3850, który automatycznie dobiera zakres (dla moich pomiarów będzie to 400mV lub 4V w zależności od wartości mierzonego napięcia) oraz miernikiem czasu o dokładności 1s.

Pomiary prowadzone zostały najpierw dla układu zbudowanego z dwóch kondensatorów i jednego opornika (C₂, C₃, R₁) oraz dla układu zbudowanego z jednego kondensatora i jednego opornika ( C₃, R₁).

2. Pomiary

A. układ C₂, C₃, R₁

- ładowanie:

Lp.	Uz [V]	t [ s]	∆ t [s]	Uc[ V]	∆Uc[V] ·10¯³
1	2,6	0	1	0	0,3
2		20		0,670	6
3		40		1,073	12
4		60		1,278	14
5		80		1,397	15
6		100		1,460	15
7		120		1,496	15
8		140		1,515	16
9		160		1,525	16
10		180		1,532	16

Tabela przedstawiająca dane dotyczące pomiaru napięcia w czasie ładowania kondensatora.

Lp.	Uz [V]	t [ s]	∆t[s]	Uc[ V]	∆Uc[ V] ·10¯³	ln$\frac{U_{c}}{U_{0}}$	∆ ln$\frac{U_{c}}{U_{0}}$	τ [s]	∆ τ [s]
1	2,6	0	1	1,532	16	0,000	0,023	36,47	8
2		20		0,878	11	-0,557	0,031
3		40		0,488	7	-1,144	0,043
4		60		0,271	6	-1,732	0,072
5		80		0,153	5	-2,304	0,118
6		100		0,086	1	-2,880	0,139
7		120		0,050	0,7	-3,422	0,230
8		140		0,030	0,6	-3,933	0,379
9		160		0,018	0,5	-4,444	0,623
10		180		0,011	0,4	-4,936	1,005

- rozładowywanie:

Tabela przedstawiająca dane dotyczące pomiaru napięcia podczas rozładowywania kondensatora.

B. układ C₃, R₁

- ładowanie:

Lp.	Uz [V]	t [ s]	∆t [s]	Uc[ V]	∆Uc[ V] ·10¯³
1	2,6	0	1	0	0,3
2		15		0,609	6
3		30		0,891	10
4		45		1,168	13
5		60		1,328	14
6		75		1,421	15
7		90		1,472	15
8		105		1,501	15
9		120		1,517	16
10		135		1,528	16

Tabela przedstawiająca dane dotyczące pomiaru napięcia w czasie ładowania kondensatora

- rozładowywanie:

Lp.	Uz [V]	t [ s]	∆t[s]	Uc[ V]	∆Uc[V] ·10¯³	ln$\frac{U_{c}}{U_{0}}$	∆ ln$\frac{U_{c}}{U_{0}}$	τ [s]	∆ τ [s]
1	2,6	0	1	1,528	16	0,000	0,023	28,32	5,4
2		15		0,908	11	-0,520	0,030
3		30		0,515	8	-1,088	0,044
4		45		0,302	6	-1,621	0,065
5		60		0,172	5	-2,184	0,105
6		75		0,102	4	-2,707	0,163
7		90		0,060	1	-3,237	0,200
8		105		0,036	0,6	-3,748	0,316
9		120		0,022	0,5	-4,241	0,511
10		135		0,013	0,4	-4,767	0,852

Tabela przedstawiająca dane dotyczące pomiaru napięcia podczas rozładowywania kondensatora.

Wykresy

A. układ pierwszy

Wykres przedstawiający proces ładowania układu kondensatorów.

wykres przedstawiający proces rozładowywania układu kondensatorów.

wartość stałej czasowej (τ) odczytana z wykresu: 35,6 [s]

Wykres ilustrujący zależność zlogarytmowanego stosunku napięcia do napięcia początkowego od czasu.

Wartość stałej czasowej z nachylenia wykresu:

τ=−$\frac{1}{A}$ gdzie A to współczynnik kierunkowy prostej

τ= 36,2 [s]

B. układ drugi

Wykres przedstawiający proces ładowania kondensatora.

wykres przedstawiający proces rozładowywania kondensatora

wartość stałej czasowej (τ) odczytana z wykresu: 27.8 [s]

.

Wykres ilustrujący zależność zlogarytmowanego stosunku napięcia do napięcia początkowego od czasu.

Wartość stałej czasowej z nachylenia wykresu:

τ=−$\frac{1}{A}$ gdzie A to współczynnik kierunkowy prostej

τ= 28,3 [s]

3. Analiza niepewności pomiarowych

∆t = 1 s (niepewność stopera)

Dla U mniejszych od 1V :∆U= 0,8%rdg+3·10¯³

Dla U większych od 1V: ∆U= 0,8%rdg+3·10¯⁶

∆ln$\frac{U_{c}}{U_{o}}$ = $\left| \frac{U_{0}}{U_{c}} \right|$∆U_c + $\left| \frac{1}{U_{0}U_{c}} \right|$∆U₀ niepewność uzyskanej wartości logarytmowanej

∆τ = $\left| \frac{1}{{ln(\frac{U_{C}}{U_{0}})}_{k} - {ln(\frac{U_{C}}{U_{0}})}_{p}} \right|(t_{k} + t_{p}$) + $\left| \frac{{(t}_{k} - t_{p})}{\left( \ln\left( \frac{U_{C}}{U_{0}} \right) \right)_{k} - {\ln\left( \frac{U_{C}}{U_{0}} \right)}_{p})} \right|({(\ln\left( \frac{U_{C}}{U_{0}} \right))}_{k} - {(\ln\left( \frac{U_{C}}{U_{0}} \right))}_{p})$ niepewność obliczenia wartości stałej czasowej

4. Przykładowe obliczenia

∆U= 0,8%·1,168 +3·10¯³= 13·10¯³

∆U= 0,8%·0,670 +3·10¯⁶= 6·10¯³

∆ln$\frac{U_{c}}{U_{o}}$ = $\left| \frac{1,532}{0,878} \right|8 10$ + $\left| \frac{1}{1,532 0,878} \right|$·16·10¯³= 0,03

Układ pierwszy:

τ= $\left| \frac{t_{k} - t_{p}}{{ln(\frac{U_{C}}{U_{0}})}_{k} - {ln(\frac{U_{C}}{U_{0}})}_{p}} \right|$= $\left| \frac{180 - 0}{- 4,936 - 0} \right|$= 36,47 [s]

∆τ= $\left| \frac{1}{- 4,936 - 0} \right|$(1+1) + $\left| \frac{180 - 0}{( - 4,936 - 0)} \right|$(1,005-0,023)= 8 [s]

układ drugi:

τ= $\left| \frac{t_{k} - t_{p}}{{ln(\frac{U_{C}}{U_{0}})}_{k} - {ln(\frac{U_{C}}{U_{0}})}_{p}} \right|$= $\left| \frac{135 - 0}{- 4,767 - 0} \right|$= 28,32 [s]

∆τ= $\left| \frac{1}{- 4,767 - 0} \right|$(1+1) + $\left| \frac{135 - 0}{( - 4,767 - 0)} \right|$(0,852-0,023)= 5,4 [s]

6. Wnioski

Wartości stałych czasowych obliczone 3 różnymi metodami (odczyt z wykresu wartości czasu dla którego napięcie zyskuje wartość $\frac{U_{0}}{e}$; wartość wyznaczona z nachylenia prostej wykresu ln$\frac{U_{c}}{U_{0}}$ od czasu, oraz obliczenie wartości przy użyciu początkowych i końcowych punktów wykresu) dla poszczególnych układów są do siebie bardzo zbliżone, co sugeruje iż pomiary zostały wkonane prawidłowo. Ewentualne rozbieżności mogą wynikać z trudności prowadzenia pomiarów, ponieważ wartości napięcia bardzo szybko się zmieniało co utrudniało odczyt poszczególnych wartości w danym momencie czasu.