16. Poprawność określenia odległości hiperbolicznej. (5.6.,5.5.,5.7,)

(5.6.) Niech P, QϵHⁿ, d(P,Q)=r>0. Jeżeli u=(Q-coshrP)/sinhr, to <u|P>=0, <u|u>=1 oraz Q=coshrP=sinhu.

Dowód: <u|P>=1/sinhr*(<Q|P>-coshr<P|P>)=0.

<u|u>= <u|(Q-coshP)/sinhr>= 1/sinhr<u|Q>-coshr/sinhr*<u|P>= 1/sinhr<(Q-coshrP)/sinhr|Q>= 1/sinh²r(<Q|Q>-coshr<P|Q>)= (cosh²r-1)/sinh²r= sinh²r/sinh²r=1.

Ponadto coshrP+sinhru= coshrP+Q-coshrP= Q.

(5.5.) Niech d:HⁿxHⁿ→R będzie funkcją przypisującą dowolnym A,BϵHⁿ jedyną liczbę nieujemną d(A,B) spełniającą warunek coshd(A,B)= -<A|B>. Wówczas (Hⁿ,d) jest przestrzenią metryczną.

Dowód: Ze stw.5.4.(1) wynika, że -<A|B>≥1, czyli należy do zbioru wartości cos więc z różnowartościowości cosh na [0,+ ∞) taka liczba d(A,B) jest dokładnie jedna. Zauważmy, że warunek 5.4.(2) można przepisać w postaci coshd(A,B)=1A=B dla A,BϵHⁿ, czyli z równoważności cosh/_{[0,+ ∞)} d(A,B)=0A=B. Symetria funkcji d wynika bezpośrednio z symetrii formy Lorentza.

(5.7.) Na przestrzeni P^⊥={vϵR^n,1; <P,v>=0} forma Lorentza obcięta do P^⊥ jest iloczynem skalarnym.

Dowód: Forma <.|.>/P^⊥xP^⊥ jest dwuliniowa i symetryczna. Zał., że R^n,1϶v=(v~,v_n+1)≠(Ө,0). Wówczas <(P~,P_n+1)|(v~,v_n+1)>0, P_n+1>0, więc v_n+1=<P~,v~>/P_n+1. Ponadto P_n+1=(1+ǁP~ǁ²)^1/2. Zatem <v|v>=<v~,v~>-v²_n+1=ǁv~ǁ²-[<P~,v~>/(1+ǁP~ǁ²)^1/2]²= (ǁvǁ²+ǁv~ǁ²ǁPǁ²-<P~,v~>²)/(1+ǁPǁ²)≥ ǁv~ǁ²/(1+ǁP~ǁ²)≥0. Ponadto <v|v>=0 v~, P~ są liniowo zależne i v~=0 v~=Ө, ale wówczas v_n+1=<P~,Q>/P_n+1=0 co daje v=Ө.

17. Postać geodezyjnych w przestrzeni hiperbolicznej. (5.9.,5.8.)

(5.9.) Niech A,BϵHⁿ, d(A,B)=r>0. Wówczas c:[0,r]->Hⁿ jest geodezyjną łączącą A z B c(t)=Acosht+usinht, tϵ[0,r], gdzie u=(B-coshrA)/sinhr.

(5.8.) Dla A,B,CϵHⁿ, A≠B≠C≠A d(A,B)=d(A,C)+d(C,B) istnieje x,y>0 C=xA+yB.

18. Hiperboliczne twierdzenie cosinusów. (5.13.)

W trójkącie hiperbolicznym ABC coshc=cosha*coshb-sinha*sinhb*cosɣ.

Dowód: cosha*coshb-sinha*sinhb*cosɣ= cosha*coshb-sinha*sinhb* <(A-cosbC)/sinhb|(B-coshaC)/sinha>=cosha*coshb-<A|B>-cosha*coshb<C|C>+coshb<B|C>+cosha<A|C>= cosha*coshb+coshc+cosha*coshb-coshb*cosha-cosha*coshb= coshc.

19. Hiperboliczne twierdzenie sinusów. (5.15.)

W trójkącie hiperbolicznym ABC sinha/sinα=sinhb/sinβ=sinhc/sinγ.

Dowód: Z tw. Cos. Sinhc/sinγ=sinhc/(1-cos²γ)^1/2=sinhc/[1-((cohacohb-cohc)/sinhasinb)²]^1/2= sinhasinhbsinhc/(sinh²asinh²b-cosh²acosh²b-cosh²c+coshacoshbcoshc)^1/2= sinhasinhbsinhc/(-cosh²acosh²b+1-cosh²c+2coshacoshbcoshc)^1/2 symetrycznie ze względu na a,b,c, stąd teza.

20. II hiperboliczne twierdzenie cosinusów. (5.16.)

W trójkącie hiperbolicznym ABC cosγ=-cosαcosβ+sinαsinβcosc.

21. Suma kątów w trójkącie hiperbolicznym. (5.17.)

W trójkącie hiperbolicznym ABC α+β+γ<π.

Dowód: 0<α≤β≤γ<π. Z II hiperbolicznego tw. Cosinusów cosγ= -cosαcosβ+sinαsinβcosc>-cosαcosβ+sinαsinβ= -cos(α+β)=cos(π-(α+β)). Stąd i z faktu, że cos/_[0,π] wynika, że γ<|π-(α+β)|. Zatem α+β+γ<π lub π+γ<α+β sprzeczność. Zatem α+β+γ<π.

22. Homomorfizm przestrzeni hiperbolicznej z kulą. (5.18.)

Przekształcenie π_B: Hⁿ→Rⁿ dane wzorem π_B(x)=x~/1+x_n+1 dla x=(x~, x_n+1)ϵHⁿ jest homeomorfizmem Hⁿ na kulę jednostkową Bⁿ=B(0,1) c Rⁿ.

23. Odległość w modelu kuli. (5.20.)

Dla y, y’ϵBⁿ d_B(y,y’)=ach(1+ (2ǁy-y’ǁ²)/(1-ǁyǁ²)(1-ǁy’ǁ²))=2ath((ǁy-y’ǁ)/(1-2<y,y’>+ǁyǁ²ǁy’ǁ²)^1/2).

24. Odległość w modelu na półprzestrzeni. (5.25.)

Odległość w modelu na półprzestrzeni wyraża się wzorem d_Π(u,u’)=ach(1+(ǁu-u’ǁ²)/2u_nu’_n)=2ath(ǁû-u’ǁ²+(u_n-u’_n)²)/( ǁû-û’ǁ²+(u_n-u’_n)²)^1/2.

25. Odległość hiperboliczna w B² i Π^2,+. (5.22.,5.26.)

(5.22.) W kole jednostkowym B² c C odległość hiperboliczna wyraża się wzorem d(w,z)=2ath|(w-z)/1-wz|=ln(|1-wz^-|+|w-z|)/(|1-wz^-|-|w-z|).

Dowód: Niech w,zϵB², czyli |z|<1, |w|<1. Wówczas d_B(w,z)=2ath|z-w|/(1-2(RezRew+ImzImw+|z|²|w|²)^1/2=2ath |w-z|/[1-Re(wz^-)+|w|²|z^-|²]^1/2. Wz^-=(RewRez-ImwImz)+i( ). W=w₁+w₂i. |1-wz^-|=|1-((w₁z₁+w₂z₂)+(w₁z₂+w₂z₁)i|²= (1-w₁z₁-w₂z₂)²+(w₁z₂-w₂z₁)²= 1+w₁²z₁²+w₂z₂²-2w₁z₁-2w₂z₂+2w₁w₂z₁z₂+w₁²z₂²+w₂²z₁²-2w₁w₂z₁z₂.

(5.26.) Odległość w Π^2,+ c C wyraża się wzorem d_Π(z,w)=2ath(|z-w|/|z-w|)=ln((|z-w^-|+|z-w|)/(|z-w^-|-|z-w|)).

Dowód: d_Π(z,w)=1ath[((Rez-Rew)²+(Imz-Imw)²)/((Rez-Rew)²+(Imz+Imw))]^1/2= 2ath[(|z-w^-|²)/(|z-w|²)]^1/2= 2ath(|z-w|)/(|z-w|).

26. Postać geodezyjnej przechodzącej przez 0 w module w kuli. (5.33.,5.30.)

(5.30.) Dla A=(0,1)=(0,…,0,1) to geodezyjna o początku A ma równanie γ(t)=cosht(0,1)+sinhtv, gdzie <v|v>=1, <v|(0,1)>=0. ǁv~ǁ=1 <= -v_n+1=0; γ(t)=(sinhtv~,cosht); γ~(t)=sinhtv~ wystarczy przyjąć f(t)=sinht i wtedy z~=v~.

(5.33.) Geodezyjna na Hⁿ przechodząca przez punkt (0,1) i o końcu zϵHⁿ(∞) przenosi się przy pomocy π_B na średnicę t→tanh(t/2)z~.

Dowód: Z przykładu 5.30 γ(t)=cosht(0,1)+sinhtz= (sinhtz~,cosht). Zatem π_B(γ(t))=γ~(t)/(1+(γ(t))_n+1)= sinhtz~/(1+cosht)= (2sinh(t/2)cosh(t/2)z~)/(2cosh²(t/2))=tanh(t/2)z~.

27. Własności hiperbolicznej symetrii hiperpłaszczyznowej. (5.36.)

Hiperboliczna symetria hiperpłaszczyznowa r_H ma następujące własności: 1) r_H jest inwolucją; 2) r_H jest izometrią; 3) Fix(r_H)=H.

Dowód: Dla x,x’ϵR^n,1 <r_H(x)|r_H(x’)>= (x-2<x|u>u|x’-2<x’|u>u>= <x|x’>-4<x|u><x’|u>+4<x|u><x’|u><u|u>= <x|x’>. Ponadto r_H((0,1))=(0,1)-2<(0,1)|u>u= (0,1)+2u_n+1u= (2u_n+1u~,1+u²_n+1)ϵHⁿ bo 1+2u²_n+1>0. Z … formy Lorentza wynika, że r_H całą hiperboloidę <x|x>=-1, a ponieważ r_H jest ciągłe (w R^n,1), a górna powłoka hiperboloidy jest jej składową spójności i r_H((0,1))ϵHⁿ, więc r_H(Hⁿ)cHⁿ. Dla xϵHⁿ dow.1)r_H(r_H(x))=r_H(x-2<x|u>u)= x-2<x|u>u-2<x-2<x|u>u|u>= x-2<x|u>u-2(<x|u>-2<x|u><u|u>)u=x. dow.2) z 1) zach <.|.> przez r_H d(A,B)=ach(-<A|B>). Dow.3) Dla xϵHⁿ r_H(x)=x x-2<x|u>u=x <x|u>=0 xϵHⁿ∩u^⊥ xϵH.

28. Hiperboliczny V postulat. (5.43.)

Dla dowolnej prostej hiperbolicznej l i punktu Aϵ/l istnieje nieskończenie wiele prostych hiperbolicznych zawierających A i równoległych do l.

Dowód: W Π^n,+ rozważmy przestrzeń 2-wymiarową zawierającą l i A (wykonując odpowiednie symetrie hiperpłaszczyznowe możemy zał.,że l,AcH² i tym samym sprawdzić rozważania do Π^2,+). Rozważmy w Π^2,+ 2 przypadki: I. lc{zϵC; Rez=d} dϵR półprosta; II. lc{zϵC; |z-c|=g} cϵR, g>0 półokrąg. Dow.I. Ponieważ Aϵ/l, więc d’=ReA≠d, możemy zał.,że d’>d/ Do l równoległa jest prosta hiperboliczna Rez=d’ zawierająca A. Podany warunek na c tak, alby prosta l_c,ęc{|z-c|=ę} zawierająca A i była równoległa do l. Zarem c-ę≥d; ę=|A-C|. Niech A=d’+id’’. ę=[(d’-c)²+d’²]^1/2. c>d. Ostatecznie c≥d+ę; c-d≥ę; (c-d)²≥(d’-c)²+d’’²; c²-2cd+d²≥d’²-2cd’+c²+d’’²; 2c(d’-d)≥d’²-d²+d’’²; c≥(d’²-d²+d’’²)/2(d’-d). Ponadto (d’²-d²+d’’²)/2(d’-d)>d, bo (d’-d)²+d’’²>0. Wszystkie łuki okręgu o środkach c≥(d’²-d²+d’’²)/2(d’-d), cϵR i promieniach ę=[(d’-c)²+d’’²]^1/2 zawierają A i są rozłączne z l. Dow.II. Niech A=d’+id’’. Zał.,że |A-c|>ę i d’≥c. Szukamy takich ε>0, dla których okrąg o środkach c+ε i promieniu r>0 będzie rozłączny z l_c,ę. 0<|c+ε-c|≤r-ę; |A-(c+ε)|=r; ε≤r-ę; ε+ę≤r; (ε+ę)²≤(d’-c-ε)²+d’’²; ε²+2ęε+ę²≤(d’-c)²+d’’²-ę²; 0<ε≤[(d’-c)²+d’’²-ę²]/2(ę+d’-c). Zatem okręgi o środkach c+ε, gdzie εϵ(0,[(d’-c)²+d’’²-ę²]/2(ę+d’-c)) i promieniu r=|A-(c+ε)| są rozłączne z l.

29. Istnienie hiperbolicznej hiperpłaszczyzny symetralnej. (5.37.)

Dla dowolnych różnych punktur A,BϵHⁿ istnieje dokładnie jedna hiperboliczna hiperpłaszczyzna H taka, że r_H(A)=B.

Dowód: Niech u=(A-B)/[<A-B|A-B>]^1/2. Ponieważ <A-B|A-B>=<A|A>+<B|B>-2<A|B>= -2(<A|B>+1). Więc u= (A-B)/[-2(<A|B>+1)]^1/2. Niech H=Hⁿ∩u^⊥. Wówczas r_H(A)= A-2<A|u>u= A-2<A|(A-B)/[-2(<A|B>+1)]^1/2>(A-B)/[-2(<A|B>+1)]^1/2= A-2[1/-2(<A|B>+1)](-1-<A|B>)(B-A)= A+B-A= B.

30. Klasyfikacja izometrii hiperbolicznych w różnych modelach. (5.44.,5.46.)

(5.44.) Isam(Hⁿ)=0(n,1)⁺ gdzie 0(n,1)⁺ składa się z macierzy zachowujących formę Lorentza (tzn. <Ax|Ay>=<x|y>) oraz spełniających warunek (Ax)_n+1>0 dla xϵR^n,1 takich, że <x|x><0 i x_n+1>0.

(5.46.) 1) Isam(Bⁿ)=Conf(Bⁿ)={Al; Aϵ0(n), i=id lub l jest inwersją względem sfery ⊥δBⁿ}.

2) Isam(Π^n,+)=Conf(Π^n,+).

31. Pole uogólnionego trójkąta hiperbolicznego. (5.50.)

Pole uogólnionego trójkąta hiperbolicznego T(α) o dwóch wierzchołkach idealnych i kącie przy wierzchołkach z Hⁿ równym α wynosi A(T(α))=π-α.

32. Klasyfikacja orientalnych powierzchni zwartych. (6.3.)

Każda zwarta orientalna jest homeomorficzna z powierzchnią ∑g, gdzie ∑o=S². ∑g jest sferą z doklejonymi g rączkami.

33. Geometrie modelowe Thurstona. (6.13.,6.14.)

(6.13.) Strukturę geometryczną na gładkiej rozmaitości M nazywamy dyfeomorfizm M→x/√, gdzie x jest geometrią modelową, √- dyskretną (każdy punkt ma otoczenie rozłączne z innymi punktami przestrzeni) podgrupą grupy Liego G działającej na x i √ działa w sposób wolny na X.

(6.14.) Geometria modelowa Thurstona - trójwymiarowa geometria modelowa , dla której istnieje co najmniej jedna zwarta rozmaitość o strukturze geometrycznej modelowej na x.

34. Hipoteza geometryzacyjna. (6.15.)

Istnieje 8 geometrii modelowych Thurstona E³, S³, H³, S²xR, H²xR, SL(2,R), Nil, S◦l.

35. Lemat o płaskim trójkącie. (7.4.)

Jeżeli w przestrzeni CAT(0) trójkąt geodezyjny na jeden z trójkątów równy odpowiedniemu kątowi w trójkącie porównawczym ∆’cE², to conv(∆) jest izometryczny z ∆’.

36. Twierdzenie Hadamarda-Cartana. (7.5.)

Jeżeli zupełna przestrzeń metryczna jest lokalnie przestrzenią CAT(ϰ), gdzie ϰ≤0, to jej nakrycie uniwersalne jest przestrzenią CAT(ϰ).

37. Twierdzenie Gromowa o wzroście grupy. (7.12.)

Grupa hiperboliczna wzrostu wymiaru tzn. funkcja ξG₂(t)=∑_{n=(0, ∞)}δG₁(n)t^u, gdzie δG₁(u)=#{g: d(e,g)=h} w metryce słownej jest funkcją wymierną, czyli ilorazem wielomianów.