Rafał Witulski 202171

Zadanie domowe nr 1

Temat: Korzystając z prawa Gaussa dla pola elektrycznego wyprowadzić zależność na natężenie pola

elektrycznego wytwarzanego przez nieskończoną , naładowaną płytę metalową . Gęstość

powierzchniowa ładunku wynosi σ.

Do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego posłużę się prawem Gaussa dla pola elektrycznego, które mówi, że strumień pola elektrycznego, który przechodzi przez zamkniętą powierzchnię (powierzchnię Gaussa) jest równy całkowitemu ładunkowi elektrycznemu, który jest zawarty wewnątrz tej powierzchni.

ε₀ ϕ = q

Strumień elektryczny przenikający przez zamknięta powierzchnię Gaussa ma postać:

Po podstawieniu wzoru definiującego strumień, prawo Gaussa przyjmuje postać:

$$\varepsilon_{0}\oint_{}^{}\overrightarrow{E} d\overrightarrow{S} = q$$

W zadaniu rozważamy nieskończenie wielką, naładowaną płytę metalową, której gęstość powierzchniowa ładunku wynosi σ. Niech powierzchnia zamknięta będzie walcem prostopadłym do tej płaszczyzny.

Natężenie pola E jest prostopadłe do płyty i do denek walca. Przyjmujemy, że ładunek znajdujący się wewnątrz tej powierzchni jest dodatni, więc natężenie E jest skierowane od płyty, dlatego linie pola elektrycznego przecinają oba denka walca o powierzchniach ∆S wychodząc na zewnątrz. Linie natomiast nie przecinają powierzchni bocznej walca, dlatego strumień elektryczny w tej części jest równy zeru.

Jeśli σ jest ładunkiem na jednostkę powierzchni to:

q = σ S

gdzie σ S jest ładunkiem objętym przez powierzchnię Gaussa.

Na powierzchni denek walca $\overrightarrow{E}\ d\overrightarrow{S}$ wynosi po prostu EdS i prawo Gaussa: $\ \varepsilon_{0}\oint_{}^{}\overrightarrow{E} d\overrightarrow{S} = q$

przyjmuje postać:

ε₀(ES +ES) = σ S

Z tego wynika, że:

2ES = $\frac{\ \text{σ\ S}}{\varepsilon_{0}}$

2E = $\frac{\ \text{σ\ }}{\varepsilon_{0}}$

E = $\frac{\ \text{σ\ }}{{2\varepsilon}_{0}}$