RENTY

Renta przyszła z dołu $$\mathbf{S = R}\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{i}}$$	Renta przyszła z góry $\ddot{\mathbf{S =}}\mathbf{R}\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{d}}$
Renta obecna z dołu $$\mathbf{A = R}\frac{\mathbf{1 -}\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)^{\mathbf{n}}}{\mathbf{i}}$$	Renta obecna z góry $$\ddot{\mathbf{A}}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{1 -}\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)^{\mathbf{n}}}{\mathbf{d}}$$
Renta nieskończona z dołu $$\mathbf{A}_{\mathbf{\infty}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{R}}{\mathbf{i}}$$	Renta nieskończona z góry $$\ddot{\mathbf{\text{\ \ A}}_{\mathbf{\infty}}\mathbf{=}}\frac{\mathbf{R}}{\mathbf{d}}$$

RENTY PŁATNE CZĘŚCIEJ NIŻ RAZ W ROKU

Płatności co pół roku, co kwartał, co miesiąc, co dzień

Renta przyszła z dołu $$\mathbf{S = R}\frac{\left( \mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}\mathbf{\ } \right)^{\mathbf{m\ \bullet n}}\mathbf{- 1}}{\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}}$$	Renta przyszła z góry $$\ddot{\mathbf{S}}\mathbf{= R}\frac{\left( \mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}\mathbf{\ } \right)^{\mathbf{m\ \bullet n}}\mathbf{- 1}}{\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}}\mathbf{= R\ }\frac{\left( \mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}\mathbf{\ } \right)^{\mathbf{m\ \bullet n}}\mathbf{- 1}}{\frac{\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}}{\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}}}$$
Renta obecna z dołu $$\mathbf{A = R}\frac{\mathbf{1 -}\left( \mathbf{\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}} \right)^{\mathbf{m\ \bullet n}}\mathbf{\ }}{\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}}$$	Renta obecna z góry $$\ddot{\mathbf{A}}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{1 -}\left( \mathbf{\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}} \right)^{\mathbf{m\ \bullet n}}}{\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}}\mathbf{=}\ddot{\mathbf{A}}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{1 -}\left( \mathbf{\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}} \right)^{\mathbf{m\ \bullet n}}}{\frac{\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}}{\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}}}$$
Renta nieskończona z dołu $$\mathbf{A}_{\mathbf{\infty}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}}{\frac{\mathbf{i}^{\left( \mathbf{m} \right)}}{\mathbf{m}}}$$	Renta nieskończona z góry ${\ddot{\mathbf{A}}}_{\mathbf{\infty}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}}{\frac{\mathbf{d}^{\left( \mathbf{m} \right)}}{\mathbf{m}}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ }}$=$\mathbf{\text{\ \ \ \ }}\frac{\mathbf{R}}{\frac{\frac{\mathbf{i}^{\left( \mathbf{m} \right)}}{\mathbf{m}}}{\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\left( \mathbf{m} \right)}}{\mathbf{m}}}}$

RENTA PŁATNA MNIEJ CZĘSTO NIŻ OPROCENTOWANIE SKŁADANE

N – OGÓLNE LATA K- CZAS REMONTU

Inwestycje, remonty

Renta obecna z dołu $$\mathbf{A = R}\frac{\mathbf{1 - \ }\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{\ }}{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{k}}\mathbf{- 1}}\text{\ \ }$$	Renta obecna z góry $$\ddot{\mathbf{A}}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{1 - \ }\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{\ }}{\mathbf{1 - \ }\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)^{\mathbf{k}}\mathbf{\ }}$$
Renta przyszła z dołu $$\mathbf{S = R}\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{k}}\mathbf{- 1}}$$	Renta przyszyła z góry $$\ddot{\mathbf{S}}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{1 - \ }\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)^{\mathbf{k}}\mathbf{\ }}$$
Renta nieskończona z dołu $$\mathbf{A}_{\mathbf{\infty}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{i}}$$	Renta nieskończona z góry $${\ddot{\mathbf{A}}}_{\mathbf{\infty}}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 - \ }\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)^{\mathbf{k}}\mathbf{\ }}$$

RENTA PŁATNA CZĘŚCIEJ NIŻ OPROCENTOWANIE SKŁADANE

(w ratach równych, R = suma rat)

Renta obecna z dołu $$\mathbf{A = R}\frac{\mathbf{1 - \ }\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{\ }}{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}$$	Renta obecna z góry $$\ddot{\mathbf{A}}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{1 - \ }\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{\ }}{\mathbf{d}^{\mathbf{(m)}}}$$
Renta przyszła z dołu $$\mathbf{S = R}\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}$$	Renta przyszła z góry $$\ddot{\mathbf{S}}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{d}^{\mathbf{(m)}}}$$

RENTA CIĄGŁA

Renta obecna ciągła $$\overset{\overline{}}{\mathbf{A}}\mathbf{=}\mathbf{R}\frac{\mathbf{1 - \ }\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{\ }}{\mathbf{\delta}}$$	Renta obecna ciągła $$\overset{\overline{}}{\mathbf{A}}\mathbf{= R}\frac{\mathbf{1 -}\mathbf{e}^{\mathbf{- \delta n}}}{\mathbf{\delta}}$$
Renta przyszła ciągła $$\overset{\overline{}}{\mathbf{S}}\mathbf{=}\mathbf{R}\frac{\mathbf{(1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{\delta}}$$	Renta przyszła ciągła $$\mathbf{\ }\overset{\overline{}}{\mathbf{S}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{e}^{\mathbf{\text{δn}}\mathbf{\text{\ \ }}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{\delta}}$$
Renta nieskończona $$\mathbf{R}_{\mathbf{a\infty i}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}}{\mathbf{l}\operatorname{n}\left( \mathbf{1 + i} \right)}$$	Renta nieskończona $$\mathbf{\text{\ \ }}\mathbf{R}_{\mathbf{a\infty\delta}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}}{\mathbf{\delta}}$$

RENTY ROSNĄCE W POSTĘPIE ARTMETYCZNYM

Wartość przyszła renty płatnej z dołu

$$\mathbf{S}^{\mathbf{\text{art}}}\mathbf{= P\ }\frac{\left( \mathbf{1 + i} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{i}}\mathbf{+ Q\ }\frac{\frac{\left( \mathbf{1 + i} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{i}}\mathbf{- n}}{\mathbf{i}}$$

Wartość przyszła renty płatnej z góry

$${\ddot{\mathbf{S}}}^{\mathbf{\text{art}}}\mathbf{= P\ }\frac{\mathbf{(\ 1 + i\ )}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{d}}\mathbf{+ Q\ }\mathbf{\ }\frac{\frac{\left( \mathbf{1 + i} \right)^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{d}}\mathbf{- n}}{\mathbf{d}}\mathbf{\ }$$

Wartość obecna renty płatnej z dołu

$$\mathbf{A}^{\mathbf{\text{art}}}\mathbf{= \ P\ }\frac{\mathbf{1 - \ }\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)^{\mathbf{n}}}{\mathbf{i}}\mathbf{+ \ }\mathbf{\text{Q\ }}\frac{\frac{\mathbf{1 -}{\mathbf{\ }\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{i}}\mathbf{- n\ \bullet}\mathbf{V}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{i}}$$

Wartość obecna renty płatnej z góry

$${\ddot{\mathbf{A}}}^{\mathbf{\text{art}}}\mathbf{= \ P\ }\frac{\mathbf{1 - \ }\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)^{\mathbf{n}}}{\mathbf{d}}\mathbf{+ \ }\mathbf{\text{Q\ }}\frac{\frac{\mathbf{1 -}{\mathbf{\ }\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{d}}\mathbf{- n}\mathbf{\ \bullet}\mathbf{V}^{\mathbf{n}}}{\mathbf{d}}$$

$$\mathbf{V}^{\mathbf{n}}\mathbf{= \ }\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)^{\mathbf{n}}$$

i = $\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{1 - d}}$ $\mathbf{d =}\frac{\mathbf{i}}{\mathbf{1 + i}}\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \delta =}\mathbf{l}\operatorname{n}\left( \mathbf{1 + i} \right)\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ i =}\mathbf{e}^{\mathbf{\delta}}$-1

$${\left( \mathbf{1 + i} \right)\mathbf{=}\left( \mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}} \right)^{\mathbf{m}}\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (}\mathbf{1 - d) = (1 + i}\mathbf{)}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ V = 1 - d = \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}}\backslash n}{\left( \mathbf{1 + i} \right)\mathbf{= (1 - d}\mathbf{)}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\left( \mathbf{1 - d} \right)\mathbf{=}\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)\backslash n}{\left( \mathbf{1 + i} \right)\mathbf{=}\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 - d}} \right)\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\left( \mathbf{1 - d} \right)\mathbf{=}\left( \mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}} \right)^{\mathbf{- 1}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}\mathbf{=}\frac{\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}}{\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{i}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}}}$$

$\left( \mathbf{1 + i} \right)\mathbf{= (1 +}\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}}\mathbf{)}^{\mathbf{- m}}$ $\left( \mathbf{1 - d} \right)\mathbf{=}\left( \mathbf{1 -}\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{(m)}}}{\mathbf{m}} \right)^{\mathbf{m}}$

(1 + i)=e^δ (1 − d)=e^−δ

PŁATNOŚCI

OBECNE PV

% prosty $\mathbf{PV = FV}\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + it}} \right)$ PV = FV(1 + it)⁻¹ PV = FV(1 − dt)

% złożony $\mathbf{PV = F}\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 + i}} \right)^{\mathbf{t}}$ PV = FV(1 + i)^−t PV = FV(1 − d)^t

% ciągły $\mathbf{PV = FV \bullet}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{e}^{\mathbf{\text{δt}}}}$ PV = FV • (e^−δt)

PRZYSZŁE FV

% prosty FV = PV(1 + it) $\mathbf{FV = PV}\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 - dt}} \right)$ FV = PV(1 − dt)⁻¹

% złożony FV = PV(1 + i)^t $\mathbf{FV = PV}\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1 - d}} \right)^{\mathbf{t}}$ FV = PV(1 − d)^−t

% ciągły FV = PV•e^δ FV = PV•e^δt

KAPITALIZACJA ODSETEK

FV=(1+i)^t → (1 − d)⁻¹ → e^δt → (1 + it)

PV=(1+it)⁻¹→ (1+i)^−t→(1−d)^t→e^−δt