Przyśpieczenie-okresla szyb zmiany pred, jest I pochodna pred wzgl. Czasu i druga pochodna wektora wodzącego v(t) wzgl czasu czyli drogi. A.chwilowe-r. przys lin, graniczna wartość przys średniego, gdy rozpatruje się zmiany prędkości w oo malym przedziale czasu. Jest I pochodna pred po czasie i druga pochodna wektora wodzącego v(t) wzgl czasu. $a = \frac{\text{dv}}{\text{dt}} = \text{iax} + \text{jay} + ka_{2}$. A.srednie-stosunek wektora ∆v do czasu ∆t, w jakim ten przyrost pred nastapi: $a = \frac{\text{dv}}{\text{dt}} = \frac{v\left( t \right) - v\left( t \right)}{t - t}$ . A.katowe-def jako pochodna pred Katowej po czasie: $\epsilon = \frac{\text{dω}}{\text{dt}} = \frac{\text{dφ}}{\text{dt}} = \omega = \varphi$. Kierunek a.katowego jest taki jak kierunek przyrostu wektora pred Katowej. Predkosc-to wielkość wektorowa. Vchwilowa-def ja jako pochodna wektora wodzącego po czasie $v = \frac{\text{dr}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \text{ix} + \text{jy} \right) = i\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + j\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = \text{iv} + \text{jv}$. Vsrednia-skalar, to cała droga do czasu w którym ta droga została przebyta $v = \frac{s}{\text{dt}} = \frac{s\left( t \right) - s\left( t \right)}{t - t}$. Przys całkowite- jest zwiazane z przys stycznym i normalnym $a = \sqrt{a_{n}^{2}} + a_{\tau}^{2}$

Ukł odosobniony-to taki na który nie działają siły zewn, natomiast działają siły wewn i są związane z oddział między sobą. Zmiana pędu każdego ciała jest związana z sumą wektorową wszystkich sił dział na ciało $\frac{\text{dp}}{\text{dt}} = \sum_{j = 1}^{n}{\text{Fj}\text{\ \ }\frac{\text{dp}}{\text{dt}}} = \sum_{j = 1}^{n}\text{Fj}\ \frac{\text{dp}}{\text{dt}} = \sum_{j = 1}^{n}\text{Fnj}$ $\sum_{\tau = 1}^{n}{\frac{\text{dp}}{\text{dt}} = 0\ \ \frac{d}{\text{dt}}\sum_{i = 1}^{n}{p = 0\ \ \sum_{i = 1}^{n}{p = p\text{\ \ }p = \sum_{i = 1}^{n}{p = \text{const}.}}}}$ Pęd całk układu odosobnionego nie zmienia się w czasie. Pędy ciał wewn układu zmieniaja się ale ich masa w każdej chwili daje ta sama wartość, niezmienna w czasie np. deska na lodzie, wagon jadacy po szynach, rakieta w przestrzeni. Zaleznosc przys ziemskiego- załóżmy ze Ziemia jest kula o promieniu R i masie M obracającą się z prędkością Katowa ὠ z zachodu na wschod. Na dowolnej szer geog fi na mase m działaja 2 sily: sila grawitacji i bezwładności(odsrodkowa).wektorowa wypadkowa tych sil jest sila ciężkości mg. mg = F_GX –F_OB mg = F_Gy =$\frac{\text{Mm}}{R^{2}}$sinFi mg =  F_GX –F_OB =F_GcosFi -mὠ² r= G$\frac{\text{Mm}}{R^{2}}$cosFi -mὠ²RcosFi $\text{mg} = \sqrt{\left( \text{mg} \right)^{2}} + \left( \text{mg} \right)^{2}$=g(Fi)

Na biegunie nie dziala sila bezwładności a wiec sila ciężkości jest najwieksza. Sila ciężkości na rowniku jest najmniejsza ponieważ jest najmniejsza a najwieksza sila bezwładności. Promien bieguna jest mniejszy od promienia rownika. ZZEM mowi ze calkowita energia mechaniczna bedaca suma energii potencjalnej i kinetycznej nie ulega zmianie podczas ruchu cial w polu graw, bez oporów ruchu.energia kinetyczna i potencjalna zmieniaja się w czasie ale ich suma pozostaje stała. $E = E + E = \text{const}\ E = E;E = \frac{1}{2\text{mv}} + 0\ \text{Ec} = \frac{1}{2\text{mv}} + \ \ 0\ \ \text{Ec} = \frac{1}{2}mv^{2} +$mgh= $\frac{1}{2}m\left( v - \text{gt} \right)^{2} + \text{mg}\left( \text{vt} - \frac{gt^{2}}{2} \right) = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}\text{mgt} - \frac{1}{2}m2\text{vgt} + \text{mvgt} - \frac{1}{2}\text{gtm} = \frac{1}{2}mv^{2}\ $ OZZE-suma wszystkich rodzajow energii w ukl odosobnionym jest stała. Oprocz energii mech mamy energie cieplna, elektryczna,promieniowania,chemiczna i jadrowa. $\sum_{i}^{}{\text{Ei} = \text{const}}$ DROPS-bryla sztywna może obracac się względem dowolnej osi.na ta bryle dziala zewn sila F, ruch ten opisuje IIZDRP.

$F = F\ \omega \rightarrow \omega\ Ft = p\ \text{Fsinα}t = p - p = \text{mv} - \text{mv}\ v = \text{ωr};v = \text{ωr}\ \text{Fsinα}t = \text{mωr} - \text{mωr}\ \sum_{k = 1}^{n}{\text{rFsinα}t = \left( \omega - \omega \right)\sum_{k}^{}{r^{2}\ \sum_{k}^{}{Mt = \left( \omega - \omega \right)\sum_{k}^{}{\text{mr}\text{\ \ }\sum_{k}^{}{M = \frac{\left( \omega - \omega \right)}{t}}}}}}\sum_{k}^{}{I = I}$ Jeżeli na bryle dziala zewn moment sily,to Bryla ta obraca się z przys Katowym ὲ, to przyspieszenie jest wieksze od momentu pedu bezwładności.M=I*ὲ I=mr² ZZ momentu pędu bryły- $L = \sum_{l = 1}^{n}{\text{\ \ }L = \sum_{i}^{}{\text{Iω} = \omega\sum_{i}^{}{L = \text{ωI}}}}$ Kret bryly wzgl danej osi obrotu to iloczyn jej momentu bezwładności wzgl tej osi razy wektor pred Katowej. Rozwazmy układ odosob a wiec moment sil zewn rowny 0. $\frac{\text{dL}}{\text{dt}} = M = 0 = L = \text{const}\ L = \text{Iω} = \text{const}$ To kret bryly jest stały w czasie. W ukl odosob kret całk bryly nie zmienia się w czasie, jest stały np. skoczek skaczący z trampoliny, helikopter, baletnica wyk piruet. Drgania har proste-staly okres amplituda-oscylator harmoniczny, np. wahadlo matematyczne dla malych wychylen, masa zawieszona na sprężynie,elekt obwod LC. Drgania odbywają się pod wpływem siły harm wprop do wychylenia.

$F = - \text{kx}\ \text{ma} = - \text{kx}\ \text{mx} = - \text{kx}\ \text{mx} + \text{kx} = 0\ x = \text{ωx} = 0\ \omega = \frac{k}{m}x\left( t \right) = \text{xsin}\left( \text{wt} + \text{Fi} \right)\text{\ \ }\omega = \frac{k}{m} = \frac{4\pi}{T^{2}} \rightarrow 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ Energia drgan harmonicznych prostych- energia całkowita to suma e kinetycznej i potencjalnej $E = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2}m\ \left\lbrack \text{xω}\cos\left( \text{ωt} + \varphi \right)^{2} \right\rbrack = \frac{1}{2}\text{mxω}\cos(\text{ωt} + \varphi)\rbrack = E(t)$ $E = \frac{1}{2}\text{kx} = \frac{1}{2}m\omega^{2}\left\lbrack \text{xω}\sin\left( \text{ωt} + \varphi \right)^{2} = \frac{1}{2}\text{mxω}\sin\left( \text{ωt} + \varphi \right) \right\rbrack = E\left( t \right)$ $E = E + E = \ldots = \frac{1}{2}mx^{2}\omega^{2} = \text{const}$ Drgania tłumione-w rzecz ruchach drgających zawsze pojawiaja się opory ruchu prowadzace do strat energii. Wrownaniach drgan pojawia się dodatkowo sila która je reprezentuje i jest proporcjonalna do pred drgan, odbywaja się z nowa pulsacja. $F = - \text{kx}\ F = - \text{rx}\text{\ \ }F + F = \text{ma}\ \text{ma} + \text{rv} + \text{kx} = 0\ \text{mx} + \text{rx} + \text{kx} = 0\ x + \frac{r}{m}x + \frac{k}{m}x = 0\ \frac{r}{m} = 2\beta;\ \frac{k}{m} = \omega^{2}$ poszukujemy tego równania poprzez wprowadzenie nowej zmiennej z: x + 2βx + ωx = 0 z = xe^βt = x(t) = z(t)e^−βt z + (ω−β)z = 0 ↔ ω − β = ω z = zsin(ωt−φ) x = xe^−βtsin(ωt+φ)

dekrement log tłumienia- log Nat stosunku dwóch następujących po czasie amplitud czyli amplitud odległych w czasie o okres drgań tłumionych. Czas relaksacji-czas po którym amplituda drgan maleje e-razy. Wspólczynnik tłumienia jest równy odwrotności czasu relaksacji. Drgania wymuszone- jeżeli mamy jakies cialoktore drga ruchem tłumionym i na to cialo z zewn zaczyna działać sila okresowo zmienna,to ta sila może wymusic ruch drgajacy o pulsacji rownej sily wymuszającej, czyli pojawia się F, F. F = Fcos Ot,  F = −kx F = rv $F + F + F = \text{ma}\ \text{ma} + \text{rv} + \text{kx} = \text{Fcos}Ot\ \text{mx} + \text{rx} + \text{kx} = \text{Fcos}Ot\ x + \frac{r}{m}x + \frac{k}{m}x = \frac{F}{m}\cos Ot;\ \frac{r}{m} = 2\beta\ ;\text{km} = \omega\text{\ \ }x = \frac{\text{Fcos}(Ot - \varphi)}{m\sqrt{\left( \omega - O \right) + 4\beta O\ }}\ \text{tgφ} = \frac{2\beta O}{\omega - O}$ Resonans mechaniczny- w przypadku drgan amplituda tych drgan wyraza się: $A = \frac{F}{m\sqrt{\left( \omega - O \right) + 4\beta O\ }\ }\ x = \text{Acos}(Ot - \varphi)$ Amplituda zmienia się wraz z pulsacja sily wymuszającej i rosnie gwałtownie w pobliżu pulsacji drgan wlasnych.

Fala stojąca- pows w wyniku nałożenia się dwoch identycznych fal biegnących w kierunkach przeciwnych. $y = \text{Asin}2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)\text{oraz}\ y = \text{Asin}2\pi\left( \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda} \right)\ y = y + y = A\left\lbrack \sin 2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) + \sin 2\pi\left( \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda} \right) \right\rbrack = 2\text{Asin}\frac{2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) + 2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)}{2}\cos\frac{2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) + 2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)}{2} = 2\text{Asin}2\pi\frac{t}{T}\cos\left( - 2\pi\frac{x}{\lambda} \right) = 2\text{Acos}2\pi\frac{x}{\lambda}\sin 2\pi\frac{t}{T}y\ ro\text{wnanie}\ \text{fali}\ \text{stojacej}\ A\left( x \right)2\text{Acos}2\pi\frac{x}{\lambda}\text{\ \ }\text{amplituda}\ \text{fali}\ \text{stoj}a\text{cej}\ A\left( x \right) = 0\ \cos 2\pi\frac{x}{\lambda} = 0\ 2\pi\frac{x}{\lambda} = \frac{\pi}{2}\ \left( 2m + 1 \right),\ \ x = \frac{2m + 1}{4}\lambda\ A\left( x \right) = 2A\ \cos 2\pi\frac{x}{\lambda} = 1$ $2\pi\frac{x}{\lambda} = \text{πm} = x = \frac{m}{2}\ \lambda$ Tam gdzie ampl =0 są to węzły fali stojącej. Ale tam gdzie jest max to są strzałki fali stojącej. Odległość między: ww 3->2 $x = \frac{7}{4}\lambda - \frac{5}{4}\lambda = \frac{\lambda}{2}$ ss=3->2 $x = \frac{3}{2}\lambda - \frac{2}{2}\lambda = \frac{\lambda}{2}$ ws=3->3 $x = \frac{7}{4}\lambda - \frac{3}{2}\lambda = \frac{\lambda}{4}$ IZasada Termod Q = U + W cieplo dostarczone do gazu jest używane na wzrost energii wewn oraz na pracę jaką wykonuje gaz na chałach zew poprzez zwiekszenie swojej V. IZTD- jest zapisana dla poszczególnych przemian gazowych i wówczas któryś z elementow wystpepujacych we wzorze może zniknąc.

Przemiana izotermiczna T=const U = 0 Q = W w przem izotermicznej całe cieplo dostarczone do gazu jest wykorzystane na prace jaką wykonuje gaz. $\text{dW} = \text{pdW};\text{pV} = \text{nRT}\ p = \frac{\text{nRT}}{V}\ \text{dW} = \frac{\text{nRTW}}{V}\ W = \int_{v}^{v}{\frac{\text{nRTdW}}{V} = \text{nRT}\int_{v}^{v}{\frac{\text{dv}}{V} = \text{nRTnV}\ | = \text{nRT}\left( \text{lnv} - \text{lnv} \right) = \text{nRTln}\frac{v}{v} = Q = W}}$ przem izobaryczna p=const Q = V + W Q = U + pV $\text{pV} = \frac{m}{u}\text{RT}\ \text{pV} = \frac{m}{u}\text{RT}$ $\text{pV} - \text{pV} = \frac{m}{u}\text{RT} - \frac{m}{u}\text{RT} = > pV = \frac{m}{u}RT\ ,\ Q = mT = C = \frac{Q}{mT}\ $ IIZASADA procesy odwracalne i nieodwracalne: przem odwracalne-takie, w których w jednym kierunku ciało przechodzi przez stany w II też przechodzi przez nie i powraca do stanu wyjśc nie powodując zmian w otoczeniu. Rzecz przem-nieodwracalne Niemożliwe jest zbud silnika perpetum mobile II rodzaju co oznacza: niemożliwy jest proces, którego jedynym rezultatem jest zamiana ciepła otrzymanego ze źródla ciepła na równoważna mu pracę. ɳ=W/Q1 =>Q1=Q2 =>ɳ((Q1-Q2)/Q1) <1

CYKL CARNOTA: rozpatrzymy uproszczony silnik oparty na cyklu zamk zwanym cyklem Carnota. Składa się on z dwóch izoterm i dwóch adiabat. Jest odwracalny, może działać w obie strony. 1->2 rozprężanie izoterm. T1=const. V1 >V22->3 rozprężenie adiabatyczne T1 ->T2, V3>V2 W2=-dV=nCr (T1-T2) ciepło pobrane=0 3->4 sprężystość izotermiczna T2=const. V3->V44->1

sprężystość adiabatyczna T2->T1, Vu->V1 Wu=-dV=nCr(T2-T1), ciepło oddane=0 Zapiszmy równanie poszczególnych przemian: Równanie Bernoulliego – jako wynik przepływu można uważać zniknięcie cieczy w objętości V1 i pojawienie się w V2. Do tego przepływu zastosujemy ZZEM. Masa cieczy w obu objętościach jest taka sama. S1V1=S2V2 S1dx1=S2dx2

Przerost e powstaje kosztem pracy ciśnienia

w przekrojach: dW=p1S1dx1-p2S2dx2

Przykład zastosowania