KONDENSATOR ELEKTRYCZNY-układ dwóch okładek rozdzielony warstwą dielektryku ,służący do gromadzenia ładunku elektrycznego.

-wypadkowy ładunek na kondensatorze równa się zero.

POJEMNOŚĆ KONDENSATORA - to stosunek ładunku zgromadzonego na okładkach do potencjału.

- pojemność kondensatora zależy od kształtu ,rozmiarów i wzajemnego położenia

-przewodników oraz od względnej przenikalności dielektrycznej

- w układzie SI jednostką pojemności jest C/V .Jednostka ta nazywa się faradem

C=Q/U [C/V]=[F]

POJEMNOŚĆ gdy przestrzeń między okładkami wypełnia próżnia -

C=εoS/d

wyprowadzenie:

E=σ/εo=Q/εoS

E=U/d

U/d=Q/εoS

Q/U=εoS/d

C=εoS/d

Połączenie szeregowe (pojemność zastępcza)

C1=Q/U1 C2=Q/U2

C=Q/U U=U1+U2

Q/C1+Q/C2=Q/C

zastępcza pojemność wynosi C=C1C2/C1+C2

Połączenie równoległe (pojemność zastępcza)

Q=Q1+Q2

C1=Q1/U C2=Q2/U C=Q/U

CU=C1U+C2U

Zastępcza pojemność wynosi C=C1+C2

ENERGIA POLA ELEKTRYCZNEGO

POLE ELEKTRYCZNE -stan przestrzeni w otoczeniu elektrycznie naładowanego ciała polegający na tym , że na umieszczony w niej nieruchomy ładunek elektryczny działa siła elektrostatyczna.

Ładujemy kondensator-aby naładować kondensator należy wykonać pracę.

dW=Udq

_{Qo Qo Qo Qo}

W=_o∫Udq=_o∫q/C dq =1/C _o∫ q dq=1/C[q²/2]_o

W=Qo²/2C

Praca jest równa energii Zgromadzonej w kondensatorze.

E_kon.=Q²/2C=U²C²/C=CU²/2

E_kon =CU²/2

Przestrzeń między płytkami kondensatora może być wypełniona dielektrykiem (np.parafina).

Pojemność kondensatora wypełnionego dielektrykiem to pojemność kondensatora wzrośnie ε razy.

C=εC_o

Co - pojemność kondensatora wypełnionego próżnią

C - pojemność kondensatora wypełnionego dielektrykiem

• - względna przenikalność ośrodka

C=ε_oSε/d Pojemność kondensatora wypełnionego dielektrykiem.

POLE MAGNETYCZNE

- to pole w którym na poruszający ładunek magnetyczny działa siła.

- jedna z postaci , w jakiej przejawia się pole elektromagnetyczne . Działające tylko na poruszające się ciała obdarzone ładunkiem elektrycznym oraz na ciała mające moment magnetyczny ,niezależnie od ich stanu ruchu.

F=q(V×β)

F=qVBsinα F_max=qVB

B=F_max/qV [T]=[Ns/Cm]

indukcja magnetyczna

Wektory indukcji magnetycznej znaczymy w następujący sposób:

prostopadle prostopadle

zakartkę w naszym kierunku

PRĘDKOŚĆ KĄTOWA (CZĘSTOŚĆ CYKLOMETRYCZNA)

F=qVB

mV2/r = qVB

V=ωr

mω=qB

ω=qB/m

Jeżeli wektor prędkości jest równoległe do wektora indukcji to nie działa siła.

Promień spirali r = mV_p/qB

Odległość między okresami spirali h = V_r2Πm/qB

ŁADUNEK PORUSZA SIĘ PO:

-linii prostej jeśli wektor prędkości  do wektora indukcji

-helisie jeśli wektor prędkości jest skierowany pod pewnym kątem α do wektora indukcji

-po okręgu jeśli wektor prędkości jest prostopadły do wektora indukcji

PRAWO AMPERA - prawo przedstawiające zależność wartości całki okrężnej wektora natężenia pola magnetycznego od wartości natężeń stałych prądów elektrycznych płynących przez powierzchnię objętą całką.

LINIE SIŁ POLA -możemy

wyznaczyć metodą korkociągulub regułą prawej dłoni.

∫Bdl=μ_oI

dl - wektor elementarny długości

B - wektor indukcji styczny do lini pola

B∫U=

B

B2ΠR=μ_oI

B=μ_oI/2ΠR

μo - przenikalność magnetyczna próżni = 4Π•10^-7 [Tm/A]

PRAWO BIOTA - SAWARTA - prawo określające wielkość i kierunek wektora indukcji magnetycznej w dowolnym punkcie pola magnetycznego wytwarzanego przez prąd elektryczny , pozwalające znaleźć rozkład pola magnetycznego wytworzonego przez dowolny układ przewodników z prądem.

dB=UoI(dl×r)/4Πr³

dB=μ_oI/4Πr²

_{2Πr 2Πr 2Πr 2Πr}

B=∫dB=∫μ_oI/4Πr²dl=μ_oI/4Πr²∫dl=μ_oI/4Πr² [ 1 ] =μ_oI•2Πr/4Πr² = μ_oI/2r

H=I/2r [A/m.] natężenie pola magnetycznego

_{→ →}

B=μ_o•H

_{→ →}

B=μ_rμ_oH

μ_r<1 ; μ_r>1 ; μ_r>>1

Wartość μ_r uzależniona jest od zewnętrznego pola magnetycznego albo od pola indukcji.

DIAMAGNETYKI-gazy szlachetne , a także cynk,błoto,rtęć,krzem

PARAMAGNETYKI-metale w wysokich temperaturach ,tlenki kobaltu , sole

żelaza .

FERROMAGNETYKI-rudy żelaza.

POLE MAGNETYCZNE A PRZEWODNIK PRZEZ , KTÓRY

_{→ → →} BIEGNIE PRĄD.

F=q(V×B)

PRĄD-to uporządkowany przepływ ładunków elektrycznych w jednostce czasu.

NATĘŻENIE PRĄDU ELEKTRYCZNEGO-wielkość skalarna równa ładunkowi elektrycznemu przepływającemu przez poprzeczny przekrój przewodnika.

I=dQ/dt

Na przewodnik z prądem znajdujący się w polu magnetycznym działa siła elektrodynamiczna wyrażona wzorem :

_{→ → → → → →}

F=I(l×B) ; dF=I(dl×B)

F jest równoległa do natężenia pola magnetycznego.

REGUŁA LEWEJ DŁONI-linie sił wchodzą do wewnętrznej strony dłoni , palce pokazują kierunek prądu.

F=IlB sin ( l , B ) F=BIlsinα F=B I l

l-długość przewodnika

B-indukcja natężenia prądu

I -natężenie

POLE MAGNETYCZNE - to przestrzeń w której na ładunki działa siła magnetyczna.

Tworzymy układ złożony z miernika i solenoidu.Do solenoidu będziemy wsuwali magnez.Gdy będziemy poruszali magnez , miernik będzie się wychylał.Prąd płynie wtedy gdy będzie się zmieniała ilość linii sił , które przenikają przez ten zwój.

STRUMIEŃ MAGNETYCZNY-to iloczyn skalarny indukcji magnetycznej i wektora powierzchni.

Jeśli pole jest jednorodne tzn. Że przez powierzchnię S przepływa taka sama ilość linii sił ,wartość jest stała.

Φ=BS

Φ=BScos (B,n) [Wb]=[Tm²]

Wektory indukcji są prostopadłe do powierzchni.

Jeśli pole nie jest jednorodne:

_{→ →}

dΦ=B dS

_{→ →}

Φ=∫B dS

W polu magnetycznym jednorodnym linie sił są równoległe do siebie a indukcja ma stałą wartość.

Przeciwko sile elektrodynamicznej F przeciwstawia się siłę zewnętrzną Fz .

_{→ → → →}

F_z= -F = -I( l × B )

Siła zewnętrzna wykonuje pracę przy przesunięciu tego przewodnika o dx .

dW=F_z dx = -Fdx

dW= -I B l dx

ds= l dx

dW= -I B ds

dW= -I dΦ

Elementarny strumień magnetyczny.

dW= -E I dt

E I dt = -I dΦ

E= -dΦ/dt

Siła elektromotoryczna indukcji .

dΦ/dt - szybkość zmian strumienia magnetycznego

PRAWO INDUKCJI FARADAYA (elektromotorycznej) - indukowana siła elektromotoryczna jest proporcjonalna do szybkości zmian strumienia magnetycznego.

REGUŁA PRZEKORY LENCA - kierunek prądu indukowanego jest zawsze taki że pole magnetyczne przezeń wytworzone przeciwstawia się zmianie strumienia magnetycznego zewnętrznego.

B_L^↑ → Φ → E_in → I → B_in

Wyindukowane pole magnetyczne przeciwdziała zmianom , które go wywołują.

E_ind = dΦ/dt = d(Bs)/dt

S = ls

E_ind = Bl ds/dt = B l V

E_ind = B l V sin α

STRUMIEŃ SKOJARZONY - jest wprost proporcjonalny do przepływającego w czasie prądu.

NΦ = LI

L=NΦ/I [ H ] [henr] Indukcyjność

- N dQ/dt = - L dI/dt

E_sin = - L dI/dt

Siła elektromotoryczna samoindukcji

- zależy od szybkości zmian natężenia prądu w cewki

L = μ_o N² S/l

Indukcyjność cewki (solenoidu)

L = μ_r μ_o N² S / l

Indukcyjność cewki z ferromagnetykiem

l - długość solenoidu

dW = U dq

W = CU²/2

U = L dI / dt

dW = (L dI / dt) dq

dW = L dI dq/dt

dW = (L I) dI

dW = ∫ (L I) dI = L ∫ I dI = L I_o²/2

dW = L I_o²/2

W = L I_o²/2

Praca

E_m = W

E_m = L I²/2

Energia_pola magnetycznego

Eind =dΦ/dt

Φ = B S

Φ = B S cos (B,S)

Φ = B S cos ωt

Eind = -B S (-sin ωt)ω

Eind = B S ω(sin ωt)

Eind = Em sin ωt

Prąd zmienia się w sposób sinusoidalny.

I = Im sin ωt

U = Um sin ωt

Dla kondensatora

U = Um sin ωt

U = q/C

dU/dt = (1/C) dq/dt I = dq/dt

Um(cos ωt) = I/C

I = ωCUm (cos ωt) Xc = 1/ωt

Um/Xc = Im

I = Im(sin ωt + 90^o)

Dla cewki

U = - Eind = L dI/dt

Um sin ωt = L dI/dt

1/2 Um sin ωt = dI

I = ∫ 1/L Um sin ωt dt

I = (1/Lω) (-cos ωt)Um

I = (-Um/ωL)cos ωt

I = (Um/ωL)sin(ωt-90⁰)

X_L = ωL

I = Im sin (ωt-90^o)

U² =(U_C - U_L.)² +U_R²

U = I Z

U_R = I R

U_C = I X_C

U_L = I X_L

Z = √(X_C - X_L)2 + R²

ZAWADA-wypadkowy opór poszczególnych oporów

Z = √(ω_L-1/ω_C)²+R²

tg γ = U_C - U_L./U_R

tg γ = (1/ω_C - ω_L)/R

U = q/C

Eind = (-L) dI/dt

I=dq/dt

q/C = (-L) dI/dt

q/C + L d²q/dt2 = 0

ω2 = 1/LC

d2q/dt2 + q/LC = 0

d2q/dt + ω2q = 0 q = qo sin ωt

Obwód drgań elektromagnetycznych nietłumionych - polega na okresowej zmianie ładunku , który znajduje się na kondensatorze.

RÓWNANIA MAXWELLA

_{→ →}

1._s∫Eds = 1/ε ∑Q Prawo Gaussa dla elektryczności

_{→ →}

2. _L∫ E dl = 0 Prawo indukcji Faradaya

_{→ →}

3. _s∫ B ds = 0 Prawo Gaussa dla magnetyzmu

_{→ →}

4. _L∫ B dl = μ_oI Prawo Ampere'a

W równaniu (1) zamiast ∑Q można zapisać ∫ ρ dV

_{→ →}

1'. _s∫ E ds = 1/εo ∫ ρ dV

2'.

E_ind = -dΦ/dt

∫ E dl = -dQ/dt

Φ = _s∫ B dS

∫ E dl = -d/dt _s∫ B dS

_L∫ E dl = -∫ (δB/δt) ds

_L∫ - kontur zamknięty

Zmienne pole magnetyczne wywołuje pole elektryczne.

_{→ →}

3'. _s∫ B dS = 0

_{→ → → →}

4'. _L∫ B dl = μ_o I + μ_o εo ∫ (δE/δt) dS

Zmienne pole elektryczne wywołuje pole magnetyczne.

Zmiana w czasie wektora pola elektrycznego E spowoduje powstanie wiru pola magnetycznego lecz powstanie wiru pola magnetycznego stanowi zmianę w czasie tego wektora więc zmiana wektora B spowoduje powstanie wiru wektora E.

Zmienny w czasie strumień elektryczny

E = dE/dt

FALA ELEKTROMAGNETYCZNA

C = λν prędkość rozchodzenia się wszystkich fal elektromagnetycznych

λ - długość fali

ν - częstość

WEKTOR POYNTINGA - sens fizyczny : moduł jest liczbowo równy energii przenoszonej przez falę elektromagnetyczną w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali.

_{→ → →}

S = E × H

_{→ →}

B = μ_o μ_r H

MODUŁ WEKTORA POYNTINGA- jest równy liczbowo energii przenoszonej przez fale energii w jednostce czasu do jednostki powierzchni prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali.

Średnie natężenie fali S_sr = E_oH_o/2

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE :

- promieniowanie kosmiczne

- promieniowanie γ

- promieniowanie rendgenowskie

- ultrafiolet

- energia fotonów

- światło widzialne

- podczerwień

- mikrofale

- fale radiowe

Siatka dyfrakcyjna:

d -stała siatki dyfrakcyjnej (odległość między szczelinami)

Δ - różnica dróg optycznych

ŚWIATŁO MONOCHROMATYCZNE -światło o wyznaczonej długości fali.

DYFRAKCJA - ugięcie światła , najogólniej mówiąc jeśli na drodze wiązki świetlnej znajduje się przeszkoda , to dyfrakcja przejawia się uginaniem się światła przy przejściu obok krawędzi przeszkody.

W wyniku dyfrakcji :

Δ/d = sin α

Δ = nλ nλ = d sin α

równanie siatki dyfrakcyjnej

λ_f = d sin α_f

λ_c = d sin α_c

λ_c > λ_f

d sin α_c > d sin α Kąty ugięcia promieni czerwonych są

bardziej ugięte niż promieni fioletowych.

Znając kąt α można określić długość fali.

Światło jest falą elektromagnetyczną.

Przykładem interferencji światła monochromatycznego są Pierścienie Newtona.

Przyrządem do badania interferencji fali jest INTERFEROMETR MAICKELSONA.

Hologram to przykład interferencji fal , poprzez padanie dwóch promieni świetlnych powstaje obraz trójwymiarowy.

PROMIENIOWANIE TERMICZNE CIAŁ- to emitowanie energii przez ciała w postaci fal elektromagnetycznych , ma długości większe niż światło widzialne , leży w zakresie podczerwieni.

ZDOLNOŚĆ EMISYJNA - to energia promieniowania wysyłanego w jednostce czasu z jednostki powierzchni pozostającej w temperaturze T , w postaci fal elektromagnetycznych o częstościach zawartych w przedziale (ν , ν+dν).

e( ν, T ) dν

ν - częstotliwość

e - zdolność emisyjna

ZDOLNOŚĆ ABSORPCYJNA- określa jaka część energii fali elektromagnetycznej o częstościach zawartych w przedziale (ν , ν+dν) padających na jednostkę powierzchni ciała zostaje przez nie pochłonięta.

a( ν , T )

a - zdolność absorpcyjna

CIAŁO DOSKONALE CZARNE- ciało pochłaniające całkowicie padające nań promieniowanie świetlne , niezależnie od długości fali , stanowi doskonałe *ródło promieniowania , tzn. w danej temperaturze promieniuje największą możliwą ilością energii , widmo promieniowania ciała doskonale czarnego jest ciągłe , przy czym w miarą wzrostu temperatury ciała maksimum natężenia jego promieniowania przesuwa się w kierunku fal krótkich.

e( ν,T )/a( ν,T ) = ε( ν,T )

zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego

PRAWO PROMIENIOWANIA KIRCHOFFA- prawo zrównoważonego promieniowania temperaturowego głoszące , że stosunek zdolności emisyjnej ciała do jego zdolności absorpcyjnej nie zależy od rodzaju ciała i jest równy zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego.

ε( ν,T ) = (2Πν²/C²) U( ν,T )

U-uśredniona w czasie energia

U = kT

ε( ν,T ) = (2Πν²/C²) kT

zdolność emisyjna jest funkcją kwadratową częstotliwości

PRAWO WIENA- iloczyn częstotliwości maksymalnej razy pewna stała da nam temperaturę.

ν_max const. = T

PRAWO BOLTZMANA STEFANA - prawo wyrażające zależność całkowitej zdolności emisyjnej E ciała doskonale czarnego od jego temperatury bezwzględnej.

E = σ T⁴

STAŁA BOLTZMANA σ = 5,6 10^-8 W/m²K⁴

Max Planck powiedział że energia może się zmieniać porcjami.

PRAWO PLANCKA - prawo rozkładu energii w widmie promieniowania ciała doskonale czarnego

E_n = nhν E = n ε_o

energia najmniejszego kwantu

U( ν,T ) = ε_o/ (e^εo/kT -1)

E ( ν,T ) = (2Πν²/C²)(hν/e^hν/kT -1)

_∞

E = ∫ ε( ν,T ) dν

^o

STAŁA PLANCKA h = 6,62 10^-34 J/s

Dla każdego metalu istnieje graniczna częstotliwość gdzie zaczyna się zjawisko fotoelektryczne.

Energia elektronu zależy od częstotliwości światła.

Ilość wybijanych elektronów ( prąd anodowy ) zależy od natężenia padającego światła.

Każdy foton posiada energię którą możemy określić wzorem:

Ef = hν

hν = W + E_k

W - praca wyjścia

hν_o = W

Ek = eU_n

PRACA WYJŚCIA

- to energia którą musimy dostarczyć aby elektron opuścił metal.

- to energia jaką musimy dostarczyć do elektronu aby przenieść go z poziomu

Ferniego do nieskończoności.

POZIOM FERNIEGO -najwyżej położony poziom.

Każdy foton posiada pęd

p = mV

Fotony nie posiadają masy spoczynkowej więc energię fotonu wiążemy z masą:

E_f = hν

E = mC²

w ten sposób fotonowi przypisujemy masę

p_f = mC

m.= E_f/C²

p = mC = ( E_f/C² ) C = hν/C

p = hν/C

ν = C/λ

p_f = h/λ

pêd fotonu

Światło padające na powierzchnię wywiera odpowiednie ciśnienie , które jest mierzalne.

ZJAWISKO COMPTONA - rozpraszanie promienia elektromagnetycznego (głównie rendgenowskiego ) na swobodnych elektronach , polega na tym że w wyniku zderzenia pojedynczego fotonu z elektronem , część energii fotonu zostaje przekazana elektronowi , co powoduje zwiększenie się długości fali rozproszonego promieniowania i odrzucenie elektronu. Zjawisko Comptona jest jednym ze zjawisk świadczących o nieciągłej strukturze promieniowania.

Wpadający foton ma energię hν ,a elektron posiada E_k

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII

hν_o = hν' + ( m - m_o )C²

( m - m_o )C² - energia kinetyczna elektronu ( gdy prędkości są porównywalne z

prędkością światła

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

p_p = p_f + p_e

p_p - pęd początkowy

p_p = h/λ_o

p_f = h/λ'

Δλ = λ' - λ_o = h/m_oC ( 1 - cosθ )

DUALIZM FALOWO KORPUSKULARNY - właściwość materii polegająca na tym , że w pewnych zjawiskach ujawnia się natura falowa (interferencja , dyfrakcja) , w innych korpuskularna (efekt Comptona).

ATOM WODORU -

STAŁA RYTBERGA R = 1,097 10⁷ 1/m

1/λ = R( (1/K²)-(1/n² ))

k,n - kolejne liczby naturalne

n > k

jeśli k = 1 Seria Lymana

jeśli k = 2 Seria

jeśli k = 3 Seria Paschena

MODEL BOHRA - elektrony mogą zmieniać się na określonych orbitach stacjonarnych dla których model pędu elektronu jest wartością stałej Plancka podzielonej przez 2Π.

PIERWSZY POSTULAT BOHRA - atom nie promieniuje energii , jeżeli atom porusza się po orbicie , na której jego kręt jest całkowitą wielokrotnością h/2Π (są to tzw. orbity dozwolone , stacjonarne)

mVr = nh/2Π

* = h/2Π

* - h kreślne

DRUGI POSTULAT BOHRA - jeśli elektron przechodzi z niższej powłoki na wyższą to foton otrzymuje energię.

E_n - E_m = hν

E_n > E_m emisja fotonu

E_n < E_m pochłanianie fotonu

k(e²/r_n²) = mV²/r_n

k(e²/2r_n) = mV²/2

E_k = mV²/2

E = E_k + E_p

E_p = -ke²/r_n

Ek = ke²/2r_n

E = ke²/2r_n - ke²/r_n

E = -ke²/2r_n

Uzależnienie energii od numeru orbity.

mVr = n*

V = n* / mr

m/2 = n²*²/m²r² = ke²/2r

r = n²*²/mke²

r_n = *²/mke² * n²

PROMIEŃ KOLEJNEJ ORBITY

n - numer kolejnej orbity

k = 1/ 4Πε_o

r_o = *²/mke² PROMIEŃBOHRA ATOMU WODORU

dla n = 1 wynosi r = 5,28 * 10^-11 m

En = -k²e⁴m/2*² * 1/n²

ENERGIA W ZALEŻNOŚCI OD NUMERU ORBITY n .

E_o = 13,6 eV energia stanu podstawowego w atomie wodoru.

hν = E₂ - E₁ = 10,2 eV przejście z drugiej orbity na pierwszą daje nam foton

o energii równej 10,2 eV

- natomiast przejście z nieskończoności na pierwszą orbitę daje foton o

energii 13,6 eV

Doświadczenie FRANCKA HERTZ'A

katoda siatka anoda Lampa wypełniona oparami rtęci przy bardzo małym ciśnieniu.

- do katody przyłożony był potencjał ujemny

Spadek prądu anodowego zaobserwujemy przy 4,81 a następnie przy krotności tej wartości.

Przyspieszone elektrony tylko przy odpowiednich energiach zderzają się sprężyście z atomami rtęci i wtedy elektrony nie docierają do anody i wówczas obserwujemy duży spadek napięcia.

WNIOSEK Z DOŚWIADCZENIA :

Tylko pewne wartości energii są dozwolone dla każdego atomu.

WIDMO ABSORPCYJNE - to widmo optyczne odpowiadające rozłożeniu światła po przejściu przez daną substancję .

WSTĘP DO MECHANIKI KWANTOWEJ --> [Author:PF〙րi]

HIPOTEZA de BROGLI'A - mówi ze dualizm falowo-korpuskularny wykryty w związku z badaniem natury światła , jest właściwy także innym cząstkom materii. Między pędem p cząstki i długością λ fal de Broglie zachodzi związek λ=h/p. Natężenie fal de Broglie w danym punkcie przestrzeni jest wprost proporcjonalne do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w tym punkcie.

Bezpośrednim potwierdzeniem hipotezy de Broglie'a byl wynik Davissona i Germera , którzy zaobserwowali ugięcie wiązki elektronów przez monokryształ. Od tego czasu przebadano szczegółowo własności różnych cząstek elementarnych oraz atomów i nie znaleziono żadnych odstępstw od fal de Broglie,a.

FUNKCJA FALOWA - nie ma żadnego sensu fizycznego.

- to opis matematyczny.

Ψ(x,y,z,y)

KWADRAT AMPLITUDY FUNKCJI FALOWEJ

ΨΨ* = Ψ(X,Y,Z,T)²

- określa prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w chwili t w punkcie (x,y,z)

SUPERPOZYCJA FUNKCJI FALOWEJ

Ψ=Ψ₁+Ψ₂

GĘSTOŚĆ PRAWDOPODOBIEŃSTWA dω

dω = Ψ² dV - określa nam że cząstka znajduje się w elemencie objętości dV

∫∫∫Ψ² dV = 1

Wykład 9 30 kwietnia 1996 wykładowca dr Janicki.

Funkcja falowa nie może być falą płaską.

Ψ = Ae^i(kx-ωt)

Ψ = A sin (ωt-kx) + i B cos(ωt-kx)

PACZKĘ FAL - otrzymujemy poprzez nałożenie funkcji sinusoidalnej o

niewielkiej częstotliwości.

- „reprezentuje” cząstkę

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA - jeżeli cząstka jest zlokalizowana w przestrzeni z odchyleniem standartowym Δx to nie ma określonego pędu lecz pewien rozkład pędów.

-im dokładniej określamy położenie cząstki tym z mniejszą dokładnością określamy pęd cząstki.

-z fizycznego punktu widzenia niemożliwe jest jednoczesne dokładne określenie położenia i pędu cząstki.

Δx Δp_x ≥ *

Δy Δp_y ≥ *

Δz Δp_z ≥ *

Δx -nieoznaczoność położenia

Δp_x - nieoznaczoność pędu

ΔE Δt ≥ * - nieoznaczoność energii w czasie

RÓWNANIE SCHR*DINGERA

*/T δΨ/δT = -*²/2m. ΔΨ + U(x,y,z,t)Ψ

Δ = δ²/δx² +δ²/δy² + δ²/δz²

Równanie zależy od czasu i od współrzędnych

UPROSZCZONE RÓWNANIE SCHR*DINGERA

d²Ψ/dx² = -2m/*² [E - U(x)]Ψ

Vg = dω/dk

E = hν = h2Πν/2Π = *ω

k = 2Π/λ

p = h/λ = h2Π/2Πλ = *k

E = p²/2m.

*ω = (* k)²/2m.

* dω/dk =*² 2k/2m.

dω/dk = *k/m.

*k = p

Vg = dω/dk = p/m. = V

Prędkość grupowa paczki fal jest równa prędkości poruszającej się cząstki.

CZĄSTKA STUDNI POTENCJAŁÓW .

Na odcinku oL może się mieścić całkowita połówka długości fali.

D2y/dx2 = -*²EΨ/2m.

Ψ = A^ikx +B^-ikx

Ψ(o) = Ψ(L) = 0 -warunki brzegowe

Ψ(x) =C sin kx

Ψ(L) = C sin kL = 0

k L = n Π

k_n = n Π/L

więc funkcja falowa przyjmuje postać :

Ψ(x) = C sin (nΠx/L)

Amplituda zawsze taka sama.

L = n(λ/2)

p_n = *kn = *nΠ/L

p_n = *Πn/L

E = p²/2m.

En = *²Π²n²/L²2m

dla n = 1 En = *²Π²/L²2m

L = 10^-10 m. E₁ = 37,2 eV

Dla_n=2 E₂ = 37,3•2² = 149,2 eV

Dla_n=3 E₃ = 335,7 eV

Są to pewne dopuszczalne wartości energii.

„n” - główna liczba kwantowa , określa dozwolone wartości energii.

RÓŻNICE MIĘDZY OSCYLATOREM KWANTOWO-MECHANICZNYM A

OSCYLATOREMREM KLASYCZNYM.

Oscylator klasyczny:

U(x) = kx²/2 = mω_kl²x²/2

E_n = (n - 1/2)*ω oscylator kwantowo-mechaniczny

d²Ψ/dx² = -2m/*² [E - U(x)] Ψ

d²Ψ/dx² = -2m/*² [E - ω_kl²x²/2m.]Ψ

Ψ(x) = e^-ax2

dΨ/dt = (-2ax)e^-ax2

d²Ψ/dt² = -2a e^-ax2 + (-2ax)(-2ax)e^-ax2

d²Ψ/dt² = -2a e^-ax2 + 4a²x² e^-ax2

-2a e^-ax2 + 4a²x² e^-ax2 = -2m/*² [E - ω²x²/2m.]

-2a + 4a²x² = [-2m.E/*² + 2m²ω²x²/*²]

-2a +4a²x² = 2m. E/*² + m²ω²x²/*²

-2a =-2m E/*² ha² = m²ω²/*²

4a² = m²ω_kl²/*²

-2a = -2m. E/*²

a = mω_kl/2*

E = a*²/m.

E = mω_kl*²/2*m = ω_kl*/2

E_n = (n - 1/2) *ω

Ψ₁(x) =e^-ax2

E = *ω/2

Ψ₁(x) = exp (-mω_nx²/2h)

Ψ₂ = xe^-ax2

E₂ = 3*ω/2

E_n = (n - 1/2)hω

ATOM WODORU W UJĘCIU KWANTOWO-MECHANICZNYM.

(x,y,z) współrzędne kartezjańskie zmienione są na współrzędne kuliste ( Γ,θ,ϕ )

x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ

RÓWNANIE SCHR*DINGERA

δ²Ψ/dδ² + δ²Ψ/δy² + δ²Ψ/δz² = -2m.(E-U)Ψ/*²

1/r² ⋅ δ/δr ⋅ (δΨ/δr) + 1/r² sin θ δ θ ⋅ (sin θ ⋅δΨ/δθ) + 1/r² sin²ϕ ⋅δ²Ψ/δϕ² =

= -2m/ *² ⋅ (E-U)Ψ

ograniczamy się tylko do rozwiązania zależności energi od odległości jednej cząstki od drugiej

U = -ke²/r

Ψ = e^r/a

1/r² ⋅ δ/δr ⋅ r² ⋅δ/δr ⋅ e^-r/a= 1/r² ⋅ δ/δrr² e^-r/a (-1/a)=1/r²(-2r/a e^-r/a +

+(-r²/a)e^-r/a(-1/a) = 2r/ar² e-r/a + r2/ra² e^-r/a = (-2/a 1/r +1/a²)e^-r/a

(-2/a 1/r +1/a²)e^-r/a = (-2mE/*² - 2mke²/*² 1/r)e^-r/a

warunki jakie muszą być spełnione :

-2/a + -2mke²/*²

1/a² = -2mE/*²

a = *²/mke² = 5,29 * 10^-11 m. E = *²/2ma²

promień dla atomu wodoru

a podstawiamy do wzoru na E

E = -*²/2m.(*⁴/m²k²e⁴) = -mk²e⁴/2*

E = -mk²e⁴/2*² = -13,6 eV energia dla atomu wodoru

Ψ₁ = e^-r/a

Jest to fala stojąca najniższego rzędu i nie ma węzłów

Ψ₂ = (1 - r/2a)e^-r/2a E₂ = -mk²e⁴/8*²

Ψ₃ = (1 - 2r/3a - 2r²/27a²)e^-r/3a E₃ = -mk²e⁴/18*²

E_n = -mk²e⁴/n2*² * 1/n²

_{→ → →}

L = r × p

L_z = r ⋅ p

p. = * ⋅ k

L_z = r ⋅ * ⋅ k

k ⋅ r całkowita liczba

L_z = m_L ⋅ *

L_z = 0_L , +/- * , +/- 2* , +/- 3* ......

m_L≤ l

Lz = √l(l+1) * całkowity moment pędu

„ l ” - orbitalna liczba kwantowa (może przyjmować wartości 0,1,2,3, ... , n-1

„ m_L ” - magnetyczna liczba kwantowa

m_L - rzut momentu pędu na wybrany kierunek , wymuszony najczęściej polem magnetycznym

Lz = m_L ⋅ *

Jeśli chcemy określić kąt θ to cos θ = L_z/L = mL ⋅ */√l(l+1)

m_L = +/- l

„ m_s ” - spinowa liczba kwantowa , związana z ruchem obrotowym wokół osi

elektronu

L_s = *⋅√s(s+1)

s - przyjmuje zawsze wartość 1/2

L_sz = m⋅s⋅*

ZASADA PAULINIEGO - w atomie nie mogą istnieć 2 elektrony o identycznych wszystkich liczbach kwantowych.

n = 2 s p d e

l = 0 , 1 L = 0 , 1 , 2 , 3

m_L = -1 , 0 , 1

m_s = -1/2 , 1/2

jeśli n = 1 to l = 0 i jest to stan 1s

jeśli n = 2 l = 0 i jest to stan 2s²2p⁶

Ψ_n,l,ml(r,θ,ϕ) = R_n,l(r)θ_l,ml(θ)ϕ_ml(ϕ)

n = 1 , l = 0

gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu

n = 2 , l = 0 (2s)

n = 2 , l = 1 (2p.)

l = 0 , m_L = 0

Prawdopodobieństwo znalezienia

elektronu jest wszędzie takie samo.

l = 1 , m_L = 0

Sąróżne prawdopodobieństwa

znalezienia elektronu

l = 1 , m_L = 1

PROMIENIOTWÓRCZOŚĆ

_A

X - jądro atomowe

^Z

z - liczba atomowa , określa liczbę protonów w jądrze

_A - liczba masowa , określa całkowitą liczbę nukleonów w jądrze

( A - Z ) -ilość neutronów w jądrze

MASA ATOMOWA - podaje masę jądra w jednostkach atomowych masy

( Junitach ).

_{1 4 7 235}

H , He , Li , U

^{1 2 3 92}

₁

p - proton

¹

₁

n - neutron

⁰

masy protonu i neutronu nie są identyczne

IZOTOPY - to odmiany jąder atomowych o tym samym ładunku ale o różnych

masach.

_{1 2 3 12 13 14}

H , H , H C , C , C

^{1 1 1 6 6 6}

wodór deuter tryt - izotop węgla C14 (czas

połowicznego zaniku 5700 lat) , za

pomocą tego izotopu określa się

wiek wykopalisk.

_{238 235}

U , U - wykorzystywany w reaktorach atomowych

^{92 92}

IZOBARY - jądra o takich samych masach , a o różnych ładunkach

- mają takie same liczby masowe , a różne liczby atomowe.

Przemiany jąder atomowych zależą od liczby masowej.

Ro = 1,2 ⋅ 10^-15 m promień atomu wodoru

Promień nie rośnie wprost proporcjonalnie tylko według wzoru :

R = Ro ⋅ A^1/3

gdzie A to liczba masowa

MODEL JĄDRA KROPLOWY - porównuje jądro do kropli , w podobny jak z kroplą sposób zmieniają się jądra podczas rozszczepienia.

MODEL JĄDRA POWŁOKOWY -który nawiązuje do budowy atomu , zajmuje się energetyką strony jądra atomowego.

Jeżeli jądro jest wzbudzone to zajmuje wyższy poziom energetyczny. Jądro wzbudzone emituje energię przez jądro atomowe (kwant energii (promieniowanieγ)) i przechodzi w stan spoczynkowy.

Dlaczego jądro atomowe składające się z dodatnich protonów i obojętnych neutronów jest jądrem trwałym ?

odp. Protony (dodatnie) odpychają się co wynika z tw Kulomba , więc powinno się rozlecieć , ale widocznie istnieją inne siły które to trzymają razem. Przyczyną trwałości jąder są siły jądrowe.

Siły jądrowe - to siły krótkiego zasięgu , które działają na odległość 10^-15 m.

Aby można było rozłożyć jądro na nukleony trzeba wykonać określoną pracę (jest ona równa energii nukleonów)

ENERGIA NUKLEONÓW - to energia potrzebna na usunięcie nukleonu z jądra bez nadania mu energii kinetycznej.

CAŁKOWITA ENERGIA WIĄZANIA JĄDRA ATOMOWEGO - praca potrzebna na rozłożenie jądra atomowego na składowe nukleony bez nadania energii kinetycznej.

Masa wolnych protonów i neutronów jest większa od masy jądra atomowego.

DEFEKT MASY (deficyt masy) to różnica między łączną masą protonów i neutronów a łączną masą jądra atomowego.

Δm. = (Z ⋅ m_p) - (A - Z)⋅mn - mj

Z - całkowita masa protonów

Ew = Δm. ⋅ C²

całkowita energia wiązania

Jeśli podzielimy energię wewnętrzną przez ilość nukleonów to otrzymamy energię wewnętrzną na jeden nukleon , jest ona różna dla różnych jąder.

1

---