Stan nieustalony przy załączeniu napięcia stałego…
Metoda klasyczna – procedura rozwiązania stanu nieustalonego w obwodzie przez rozwiązanie układu równań różniczkowych pierwszego rzędu, gdy interesuje nas tylko jedna zmienna ( jeden prąd bądź jedno napięcie w obwodzie). Rozwiązanie równania sprowadza się do przedstawienia go w postaci sumy dwóch składowych.
…w szeregowym obwodzie RL
Stan początkowy obwodu jest zerowy tzn. w chwili t=0 z elementem indukcyjnym L nie jest związana żadna energia. iL(0^−)=0
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa bilans napięć w obwodzie ma postać:
E = uR + uL
Napięcie na rezystorze R
uR = Ri
$$E = Ri + L\frac{\text{di}}{\text{dt}}$$
Szukany prąd jest sumą prądu ustalonego i przejściowego
iL = iLu + iLp
$$\mathbf{\tau =}\frac{\mathbf{L}}{\mathbf{R}} \rightarrow \ \frac{1}{\tau} = \frac{R}{L}$$
Składowa ustalona
$$i_{\text{Lu}} = \frac{E}{R}$$
$$i_{L} = \frac{E}{R} + Ae^{- \frac{t}{\tau}}$$
Z prawa komutacji dla cewki iL(0^−) = iL(0^+)
iL(0^−) = 0
$$0 = \frac{E}{R} + A\ \ \rightarrow \ \ \mathbf{A = -}\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{R}}$$
$$i\left( t \right) = \frac{E}{R}\mathbf{-}\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{R}}e^{- \frac{t}{\tau}}\ \rightarrow \ \mathbf{i}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{R}}\left( \mathbf{1 -}\mathbf{e}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{t}}{\mathbf{\tau}}} \right)\mathbf{\ }$$
Napięcie na indukcyjności
$$\mathbf{u}_{\mathbf{L}}\mathbf{= L}\frac{\mathbf{\text{di}}}{\mathbf{\text{dt}}} = L \bullet \frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{E}{R} - \frac{E}{R}e^{- \frac{R}{L}t} \right) =$$ $= L \bullet \left( - \frac{E}{R}e^{- \frac{t}{\tau}} \right) \bullet \left( - \frac{R}{L} \right) = \mathbf{E}\mathbf{e}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{t}}{\mathbf{\tau}}}$
Napięcie na rezystorze R
$$u_{R} = Ri = R\left( \frac{E}{R} - \frac{E}{R}e^{- \frac{t}{\tau}} \right) = E\left( 1 - e^{- \frac{t}{\tau}} \right)$$