Równanie różniczkowe drgań wymuszonych

Rozpatrujemy układ składający się z kondensatora C, cewki indukcyjnej L i opornika R połączonych szeregowo i zasilanych ze źródła zewnętrznego o sile elektromotorycznej zmieniającej się harmonicznie: E = E_mcosωt, gdzie E_m — amplituda SEM, ω=2πf — częstotliwość napięcia zasilającego, f — częstotliwość.

Zgodnie z II Prawem Kirchhoffa można zapisać następujące równanie:

(1)

Różniczkując to wyrażenie względem czasu i wykorzystując definicję natężenia prądu $\left( I = \frac{\text{dQ}}{\text{dt}} \right)$ otrzymamy równanie różniczkowe:

(2)

W układzie składającym się tylko z kondensatora C i cewki indukcyjnej L, R=0,przez co otrzymujemy równanie różniczkowe swobodnych drgań :

(3)

Własności drgań własnych i wymuszonych

Częstość drgań własnych (inaczej swobodnych) w układzie składającym się z kondensatora C i cewki indukcyjnej L jest określana wzorem:

(4)

Wyrażenia tego używa się przy definiowaniu okresu i częstotliwości tych drgań:

(5) (6)

Amplituda drgań wymuszonych zależy od wielkości siły oporu oraz od maksymalnej wartości, jaką przyjmuje siła wymuszająca i od częstotliwości jej zmian, a także od częstotliwości kołowej drgań własnych oscylatora.

(7)

Rezonans

Rezonans elektryczny to zjawisko zachodzące dla drgań wymuszonych. Polega na tym, że w obwodzie elektrycznym zawierającym elementy o reaktancjach indukcyjnych i pojemnościowych (cewka i kondensator) następuje, dla pewnych częstotliwości prądu, wzajemna kompensacja tych reaktancji. W wyniku tego wypadkowa reaktancja obwodu równa jest zeru i prąd płynący ze źródła jest w fazie z jego siłą elektromotoryczną. Oznacza to, że spadki napięć na cewce i kondensatorze w warunkach rezonansu są równe co do wartości, lecz mają przeciwne fazy. W warunkach rezonansu wzrasta gwałtownie amplituda drgań układu oraz jego energia.

Do stanu rezonansu można doprowadzić układ zawierający cewkę i kondensator przez odpowiedni dobór ich reaktancji (przez zmianę indukcyjności lub pojemności), lub zmianę pulsacji napięcia zasilającego. Częstotliwość przy której jest spełniony warunek rezonansu szeregowego, nazywamy częstotliwością rezonansową: 

(8)

Dobroć układu drgającego, dobroć układu LC

Dobroć, to wielkość fizyczna określająca, ile razy amplituda wymuszonych drgań rezonansowych jest większa niż analogiczna amplituda w obszarze częstości nierezonansowych. Inaczej mówiąc jest to miara stopnia rozpraszania energii w obwodzie drgającym. Dobroć w układzie RLC definiuje się następująco:

$Q = \omega\frac{\text{energia\ \ \ zmagazynowa}\text{na}}{srednia\ \ \ moc\ \ \ rozproszona} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ (9)

Dobroć można również określić jako wartość takiego kąta ωt, który odpowiada zmniejszeniu energii w obwodzie o czynnik równy 1/e.

1. 1. Opis metody pomiarowej

      1. Budowa obwodu

Do wykonania ćwiczenia i uzyskania pomiarów niezbędne jest zbudowanie obwodu według poniższego schematu:

Rys 1 Schemat obwodu wykorzystanego w ćwiczeniu
źródło: Materiały dydaktyczne Politechniki Śląskiej (http://www.fizyka.polsl.pl/files/178/Rezonans%20LC.pdf)

Obwód ten składa się z cewki indukcyjnej o indukcyjności L, kondensatora o pojemności C oraz trzech mierników: miliamperomierza i dwóch woltomierzy podłączonych tak, by mierzyć spadek napięcia na cewce i kondensatorze. Źródłem napięcia jest generator przebiegów zmiennych.

2. 1. 2. Ustawienie parametrów stałych oraz pomiary

Przed dokonaniem pomiarów niezbędnych do dalszych obliczeń ustaliliśmy następujące parametry stałe:

C = 500 nF L = 200 mH U₀= 3V

Następnie przystąpiliśmy do notowania wskazań mierników dla różnych częstotliwości generatora:

• od 100Hz do 400Hz co 50Hz

• od 400Hz do 600Hz co 10Hz

• od 600Hz do 1000Hz co 50Hz

1. 1. Pomiary

Zestawienie pomiarów uzyskanych przez nas w trakcie wykonywania ćwiczenia zawiera poniższa tabela nr 1. Oryginalna karta pomiarowa zawarta została w załączniku nr 1.

Tab 1 Tabela pomiarów

C = 500 nF	L = 200 mH	U0 = 3V
f, Hz	I, mA	UL, V
100,2	1,01	0,163
150,2	1,58	0,341
200,1	2,25	0,618
250,2	3,07	1,032
300,0	4,11	1,633
350,1	5,50	2,527
400,4	7,20	3,756
410,0	7,55	3,99
420,6	7,92	4,30
430,4	8,25	4,58
440,7	9,51	5,41
450,6	10,21	5,93
460,0	10,48	6,21
470,7	10,73	6,51
480,0	11,05	6,83
490,7	11,21	7,08
500,3	11,25	7,24
510,9	11,21	7,36
520,6	11,11	7,43
530,7	10,96	7,47
540,5	10,77	7,47
550,0	10,40	7,34
560,7	9,87	7,09
570,2	9,62	7,02
580,5	9,32	6,93
890,2	8,84	6,68
600,7	8,56	6,58
650,0	7,07	5,89
700,0	6,04	5,38
750,0	5,12	4,89
800,5	4,56	4,63
850,7	4,10	4,43
900,3	3,73	4,26
950,3	3,39	4,02
1000,0	3,10	3,926

Dokładność mierników użytych w pomiarach:

Woltomierz U_L: typ: MY-67, niepewność pomiaru: 0,8%W + 2C

Woltomierz U_C: typ: MY-67, niepewność pomiaru: 0,8%W + 2C

Miliamperomierz: typ: MY-61 niepewność pomiaru: 1,0%W + 3C

Częstotliwościomierz: typ: M-4650 CR niepewność pomiaru: 2,0%W + 20C

3. 2. Obliczenie dobroci metodą szerokości połówkowej krzywej rezonansowej

Dla przyjętych wartości indukcyjności cewki (L = 200 mA) i pojemności kondensatora (C = 500 nF) częstotliwość rezonansowa obliczona ze wzoru nr 8 wynosi 503,3 Hz, co obrazuje zawarty w załączniku nr 2 wykres zależności natężenia prądu I=f(f), sporządzony na podstawie uzyskanych przez nas pomiarów. Świadczy to o jego poprawności. Możemy zatem oprzeć się na nim przy obliczaniu dobroci metodą szerokości połówkowej krzywej rezonansowej.

Rys 2 Szerokość połówkowa krzywej rezonansowej

W naszym przypadku do obliczeń przyjęliśmy częstotliwość rezonansową f_r = 500 Hz. Odpowiadające jej maksymalne natężenie prądu I_max wynosi 11,25 mA. Z wykresu odczytaliśmy wartości częstotliwości odpowiadającej natężeniu $\frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}$ , których wartości wynoszą: f₁ = 420,0 Hz i f₂ = 620,0 Hz. Następnie obliczyliśmy szerokość połówkową krzywej rezonansu równą różnicy powyższych wartości częstotliwości, co pozwoliło nam przejść do obliczenia dobroci. Skorzystaliśmy z następującego wzoru:

(10)

Wyznaczanie teoretycznej dobroci układu LC

Najpierw obliczyliśmy rezystencję układu rezonansowego, wstawiając do poniższego wzoru przyjętą wartość U₀ oraz wartość natężenia prądu I_max odpowiadającą częstotliwości rezonansowej f_r:

(11)

Następnie obliczyliśmy dobroć teoretyczną obwodu stosując wzór nr 9:

(12)

Dyskusja niepewności

Obliczając niepewność otrzymanych przez nas wyników posłużyliśmy się prawem propagacji niepewności. W obu przypadkach musieliśmy posłużyć się nim dwukrotnie.

Niepewność dobroci Q

Aby obliczy niepewność dobroci Q, musieliśmy najpierw obliczyć niepewność Δf. W tym celu pierwszy raz skorzystaliśmy z prawa propagacji niepewności, przyjmując dla f₁ i f₂ niepewności zgodnie z dokładnością mierników użytych w pomiarach. Niepewność pomiarów częstotliwościomierza wynosił 2,0%W + 20C, gdzie W jest wartością odczytu, a C wagą ostatniej cyfry w odczycie. Stąd:

Następnie obliczyliśmy niepewność dobroci Q, po raz drugi używając prawa propagacji niepewności i przyjmując za niepewność częstotliwości rezonansowej f_r wartość obliczoną w sposób analogiczny co niepewności f₁ i f₂

Niepewność dobroci teoretycznej Q_T

Aby obliczyć niepewność dobroci teoretycznej Q_T zastosowaliśmy prawo propagacji niepewności w oparciu o wzór, który powstał z połączenia wzorów 11 i 12:

1. 1. Wnioski

      1. Częstotliwość rezonansowa odczytana ze sporządzonego wykresu jest zgodna z przewidywaniami teoretycznymi. Oznacza to, że zjawisko rezonansu elektrycznego w obwodzie zostało zbadane prawidłowo.

      2. Dobroć Q obliczona metodą szerokości połówkowej krzywej rezonansowej wyniosła 2,50±0,23. Z kolei dobroć teoretyczna Q_T obliczona na podstawie przyjętych założeń co do parametrów wyniosła 2,37±0,66 i znajduje potwierdzenie w kształcie uzyskanej krzywej rezonansowej. Obie wartości znajdują się w swoich przedziałach niepewności, co można przyjąć za dowód na poprawność wykonanego ćwiczenia.

      3. Na wynik doświadczenia mogły wpłynąć takie niedoskonałości, jak:

         • stały błąd na oporze, pojemności, indukcyjności bądź częstotliwości generatora;

         • nagrzewanie się elementów obwodu podczas wykonywania pomiarów;

         • nie uwzględnianie oporu wewnętrznego przewodów elektrycznych;

         • traktowanie cewki i kondensatora jak elementów idealnych.

Załącznik 2: Rys 3 Wykres zależności natężenia prądu (I), napięcia na cewce U_L i napięcia na kondensatorze U_C od częstotliwości f