03.03.2009r.

Ćwiczenie nr 49

BADANIE REZONANSU NAPIĘCIA W OBWODZIE

PRĄDU ZMIENNEGO LC

I. Podstawowe pojęcia:

Strumień magnetyczny.

Aby zdefiniować SEM samoindukcji należy najpierw wiedzieć, co to jest strumień magnetyczny. Jest to liczba linii pola magnetycznego B przechodzących przez powierzchnię S, co zapisujemy wzorem:

.

SEM samoindukcji i indukcyjność.

Gdy mamy zmienne natężenie prądu przepływającego przez cewkę, wtedy zmienia się strumień przechodzący przez każdy zwój. dzięki temu w każdym zwoju indukuje się siła elektromotoryczna, zwana siłą elektromotoryczną samoindukcji, która wynosi:
. Jeśli przyjąć, że liczba zwojów wynosi N i strumień przechodzący przez wszystkie zwoje jest taki sam, to wtedy możemy podać następujący wzór na całkowitą SEM samoindukcji:

.

Całkowity strumień ma wartość
i nazywamy go strumieniem skojarzonym. Musi być on proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę, zatem:

lub
,

gdzie stałą proporcjonalności L nazywamy indukcyjnością. Jednostką indukcyjności w układzie SI jest 1H (henr). Jeśli obwód ma indukcję równą 1H, to gdy natężenie prądu płynącego przez ten obwód zmienia się o 1A w czasie 1s, indukuje się w nim SEM równa 1V.

Po zróżniczkowaniu równania
otrzymujemy:

,

czyli wzór łączący na SEM samoindukcji zawierający współczynnik L nazywany indukcyjnością.

Indukcja wzajemna.

Aby zdefiniować SEM indukcji wzajemnej należy rozważyć dwa obwody sąsiadujące ze sobą, z których przez jeden płynie prąd o natężeniu I₁ a przez drugi prąd o natężeniu I₂. Umówmy się, że prądu płyną w tym samym kierunku. Wiadomo, że prąd w jednym obwodzie wywołuje jakiś strumień indukcji w drugim obwodzie. Jeśli środowisko wokół obwodów nie jest ferromagnetyczne, to można stwierdzić, że wartość tego strumienia magnetycznego jest wprost proporcjonalna do prądu płynącego w obwodzie pierwszym. Można to zapisać wzorem:

,

gdzie L₁₂ jest współczynnikiem indukcji wzajemnej obwodu pierwszego w stosunku do obwodu drugiego. Zupełnie tak samo jest, gdy rozpatrzymy jaki strumień indukcji w pierwszym obwodzie wywoła prąd płynący w obwodzie drugim:

,

gdzie L₂₁ jest współczynnikiem indukcji wzajemnej obwodu drugiego w stosunku do obwodu pierwszego.

Jednostką współczynników L₁₂ i L₂₁ również jest 1H.

Kondensator. Pojemność.

Kondensator to układ dwóch przewodników, na których gromadzą się ładunki Q i między którymi wytwarza się napięcie U. Przewodniki te noszą nazwę okładek kondensatora.

Charakterystyczną wielkością dla kondensatora jest pojemność C, czyli stosunek ładunku na jednej z okładek do napięcia panującego pomiędzy tymi okładkami, co zapisać da się wzorem:

.

Jednostką pojemności jest 1F (farad). mówimy, że kondensator ma pojemność 1F, jeśli przy różnicy potencjałów równej 1V na każdej z okładek gromadzi się ładunek o wartości 1C. Z racji tego, że farad jest bardzo dużą jednostką w praktyce używa się podjednostki takie jak mikrofarad (μF), czy nawet pikofarad (pF).

Jeśli podłączymy kondensator do obwodu prądu zmiennego, jego okładki będą się cały czas ładować i rozładowywać, napięcie na jego okładkach będzie ulegało ciągłym zmianom.

Kondensator taki będzie również wpływał na natężenie prądu zmiennego obwodu, w który jest włączony.

II. Zjawisko rezonansu w obwodzie prądu zmiennego LC.

Wyróżniamy dwa rodzaje rezonansu w obwodach prądu zmiennego: rezonans napięcia i rezonans natężenia.

Rozpatrzmy układ szeregowy z cewką i kondensatorem, zasilany prądem zmiennym. Występuje tu spadek napięcia U_C na kondensatorze i U_L na cewce. Napięcia te znoszą się wzajemnie, aż dla pewnej określonej częstotliwości, zniosą się zupełnie. Mówimy, że dla tej określonej częstotliwości zachodzi rezonans napięć. Obwód dla tej częstotliwości ma zerową oporność.

Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy cewka i kondensator połączone są równolegle. Przez elementy obwodu popłyną odpowiednio prądy: I_L i I_C. Prądy te znoszą się wzajemnie, aż dla pewnej częstotliwości zniosą się zupełnie. Analogicznie do poprzedniego przypadku mówimy, że dla tej częstotliwości zachodzi rezonans natężeń. Obwód ten w tym momencie przestaje pobierać prąd ze źródła (ma nieskończenie dużą oporność).

Częstotliwość rezonansową f obwodu składającego się z cewki o indukcyjności L i kondensatora o pojemności C można obliczyć z następującego wzoru wyprowadzonego przez Thomsona:

.

III. Analiza obwodów R, L, C.

a) obwód LC:

Obwód taki służy głównie do generowania zmiennych napięć i prądów. Zwany jest często oscylatorem LC.

Rozpatrzmy układ szeregowy LC, gdzie naładowany kondensator o pojemności C łączymy z cewką indukcyjną o indukcyjności L. Napięcie na kondensatorze ma wartość
, natomiast napięcie na cewce indukcyjnej wynosi
, gdzie oznaczenia zgodne są z tymi stosowanymi przeze mnie wcześniej. W pewnej chwili napięcia te będą równe, więc dostajemy równanie różniczkowe:
. Rozwiązując je dochodzimy do
. Różniczkując te równanie otrzymujemy natężenie prądu zmiennego:
.

b) obwód RC:

W tym obwodzie, jak również w dwóch poniższym prąd zmienia się wykładniczo. Prądy takie nazywamy prądami tłumionymi.

Rozpatrzmy układ podobny do zanalizowanego powyżej obwodu LC, tylko, że zamiast cewki podłączymy opornik o oporze R. W tym przypadku kondensator o pojemności C rozładowuje się przez opornik R. Przez cały czas napięcie na kondensatorze i spadek napięcia na oporniku są równe, zatem
. Jeżeli przyjąć, że
i rozwiązując nasze równanie dochodzimy do rozwiązania:
. Łatwo zauważyć, że kondensator nie rozładuje się od razu, tylko po pewnej chwili równej RC.

c) obwód RL:

Jest to obwód składający się z cewki indukcyjnej o indukcyjności L i opornika o oporze R.

Tutaj, napięcie na cewce jest równe spadkowi napięcia na oporniku, zatem:
.

Jako rozwiązanie otrzymujemy następujący związek:
.

d) obwód RLC:

Jest to obwód składający się z opornika o oporze R, cewki indukcyjnej o indukcyjności L i kondensatora o pojemności C. Tutaj siła elektromotoryczna indukowana w cewce równa jest sumie spadku napięcia na oporniku i napięcia na kondensatorze, czyli
. Różniczkując po czasie, a następnie całkując dochodzimy do rozwiązania:
.

Literatura:

• Jay Orear; „Fizyka” t.1; Wydawnictwa Naukowo-Techniczne; Warszawa 1990, 1993; rozdziały 19.4, 19.6, 19.7;

• Szczepan Szczeniowski; „Fizyka doświadczalna. Część III Elektryczność i magnetyzm”; Państwowe Wydawnictwo Naukowe; Warszawa 1966; rozdziały I-13, IX-92, IX-95, IX-96.

---