WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI PRZEPŁYWU CIECZY

1. Podstawowe pojęcia:

Prędkość

- wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce czasu

- skalarna wielkość oznaczająca przebyta drogę w jednostce czasu lub tylko wartość prędkości zwana również szybkością.

Manometr - przyrząd do pomiaru ciśnienia.

Ciecz - stan skupienia materii między ciałem stałym a gazem, w którym ciało fizyczne trudno zmienia objętość a łatwo kształt. Ciecz przyjmuje kształt naczynia w którym się znajduje, lecz nie wypełnia go całego.

Ciśnienie statyczne - jednostkowa siła powierzchniowa, z jaka działają na siebie dwa stykające się elementy przepływającego lub będącego w spoczynku płynu, które znajdują się w danej chwili w rozpatrywanym punkcie przestrzeni.

Natężenie przepływu - ilość cieczy, przepływającej przez poprzeczny przekrój naczynia, w którym ta ciecz się znajduje, w jednostce czasu (często podawana w m³/s).

Naczynia połączone - dwa lub kilka naczyń połączonych ze sobą tak, że ciecz może przepływać między nimi swobodnie.

2. Rodzaje przepływów:

a) ustalony (laminarny) - prędkość płynu v jest w dowolnie wybranym punkcje stała w czasie. Znaczy to, że dla każdego punktu tego przepływu prędkość dowolnej przechodzącej przez ten punkt cząstki płynu jest taka sama. Warunki takie są osiągalne dla niskich wartości v.

nieustalony - prędkość zmienia się bezładnie, od punktu do punktu, a także w czasie.

b) wirowy - ruch różnego rodzaju wirów.

bezwirowy - w żadnym punkcie element płynu nie ma względem tego punktu wypadkowej prędkości kątowej.

c) ściśliwy - dotyczy płynów, których gęstość nie jest stała (bardzo często zakładamy, że przepływ jest nieściśliwy).

nieściśliwy - dotyczy płynów, których gęstość się nie zmienia.

d) lepki lub nielepki, gdzie lepkość płynu odpowiada tarciu ciał stałych. Wywołuje pojawienie się sił stycznych między warstwami płynu poruszającego się względem siebie.

Przy omawianiu dynamiki płynów fizyka ogranicza się do przepływów ustalonych, bezwirowych, nieściśliwych i nielepkich. Należy jednak uważać przy takich uproszczeniach, by w rezultacie nie otrzymać płynu, który nie będzie miał nic wspólnego z rzeczywistością.

3. Linia prądu i struga prądu.

Linie prądu jest to pojęcie dotyczące przepływu ustalonego. Rozważając punkt P znajduje się wewnątrz płynu, wiedząc że prędkość w tym punkcie się nie zmienia, dochodzimy do wniosku, że każda cząstka minie P z tą samą prędkością. To samo można prześledzić w kolejnych punktach Q i R. jeżeli więc prześledzimy tor ruchu pewnej cząstki, to okaże się, że powstała krzywa jest torem ruchu każdej cząstki przybywającej do P. Krzywa ta nosi nazwę linii prądu. Linia prądu jest w każdym punkcie równoległa do prędkości cząstek płynu. Żadne dwie linie prądu nie przecinają się.

Struga prądu jest to rurkowaty obszar, którego brzeg złożony jest ze skończonej ilości linii prądu. Brzeg ten jest zawsze równoległy do prędkości cząstek płynu. W związku z tym płyn nie może przepływać przez brzeg strugi, która zachowuje się jak rurka. Płyn, który wchodzi do jednego końca strugi musi wyjść drugim.

4. Równanie ciągłości:

Przyjmijmy, że w punkcie P prędkość cząstek wynosi v₁ a pole przekroju strugi wynosi S₁. W punkcie Q wielkości wynoszą odpowiednio v₂ i S₂. W czasie ∆t element płynu przebywa odległość v∆t. Masa płynu przechodzącego przez S₁ w czasie ∆t wynosi: ∆m₁=ρ₁S₁v₁∆t, gdzie S₁v₁∆t - objętość elementu płynu. Dla punktu Q masa płynu przechodzącego przez ten punkt wynosi: ∆m₂=ρ₂S₂v₂∆t.

Wprowadźmy teraz strumień masy jako: ∆m/∆t.

Masa płynu przepływająca w jednostce czasu przez każdy przekrój musi być taka sama, ponieważ nie ma między P i Q żadnych źródeł, gdzie płyn mógłby być wytwarzany ani ścieków, przez które mógłby odpływać, więc strumienie mas muszą być sobie równe:

ρ₁S₁v₁=ρ₂S₂v₂ => ρSv=const

Jeśli płyn jest nieściśliwy, to ρ₁=ρ₂, i wtedy S₁v₁=S₂v₂ => Sv=const

Wnioski:

- Prędkość płynu dla nieściśliwego przepływu ustalonego zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do pola przekroju i jest większa w węższych częściach strugi.

- By cząstka płynu, mająca w punkcie P prędkość v₁, osiągnęła w Q prędkość mniejszą v₂ musi poruszać się od P do Q ruchem opóźnionym. Opóźnienie to może być spowodowane grawitacją lub też różnicą ciśnień działających na cząstkę płynu płynącą od P do Q.

5. Równanie Bernoulliego - podstawowe równanie mechaniki płynów.

Równanie to opisuje zachowanie gęstości energii całkowitej na linii prądu.

Postać tego równania jest następująca:

p₁+½ρv₁²+ρgh₁= p₂+½ρv₂²+ρgh₂, czyli

p+½ρv²+ρgh=const, gdzie

ρ - stała gęstość płynu

v₁,v₂ - prędkości przepływu odpowiednio w punktach A i B

p₁,p₂ - ciśnienia odpowiednio w punktach A i B

h₁,h₂ - wysokości

g - stała przyspieszenia ziemskiego

Postać ta jest poprawnie określona dla przepływu ustalonego, nielepkiego i nieściśliwego.

Wniosek:

- W zwężeniu ciśnienie płynu spada.

6. Zastosowania równania ciągłości i równania Bernoulliego:

a) Rurka Venturiego

Rurka Venturiego jest to przyrząd wstawiany do środka przepływającej cieczy w celu pomiaru prędkości przepływu. Ciecz o gęstości ρ płynie przez rurę o przekroju S. w pewnym miejscu rury tworzy się „wąskie gardło” o polu przekroju zmniejszonym do wartości s i dołącza się ramiona manometru. Niech ciecz w manometrze ma gęstość ρ'. Stosując równanie Bernoulliego i równanie ciągłości dla punktów A i B można wykazać, że prędkość przepływu w rurze o przekroju S wynosi:

b) Rurka Pitota

Rurka Pitota jest przyrządem używanym do mierzenia prędkości przepływu gazu. Rozważmy gaz przepływający obok otworów w punktach a. Otwory te są równoległe do kierunku przepływu gazu i umieszczone na tyle daleko, że na zewnątrz otworów prędkość i ciśnienie mają wartości takie, jak dla swobodnego strumienia gazu. W połączonym z tymi otworami lewym ramieniu manometru ciśnienie jest wtedy równe statycznemu ciśnieniu strumienia gazu, p_a. Wylot prawego ramienia manometru jest prostopadły do kierunku ruchu strumienia. W punkcie b prędkość zostaje zredukowana do zera i gaz jest w tym miejscu nieruchomy. Ciśnienie p_b w punkcie b jest pełnym ciśnieniem uderzenia gazu. Stosując do punktu a i b równanie Bernoulliego, otrzymujemy: p_a+½ρv²=p_b, gdzie p_b>p_a. Jeśli h jest różnicą wysokości cieczy w ramionach manometru, a ρ' gęstością cieczy w manometrze, to: p_a+ρ'gh=p_b. Porównując oba związki otrzymujemy, że:

c) Pływanie żaglówki pod wiatr

„Czy żaglówka może płynąć pod wiatr?” W zasadzie nie. Gdy jednak sformułujemy to pytanie nieco inaczej: „Niech wiatr wieje od punktu A do punktu B, a pomiędzy tymi punktami niech rozciąga się dostatecznie głęboka woda. Czy w tych warunkach da się dopłynąć żaglówką z punktu B do punktu A, nie opływając Ziemi dookoła?” Odpowiedź brzmi: „Tak, da się przepłynąć zygzakiem”. Rozważmy więc niektóre siły działające na żaglowiec w ruchu.

Z punktu widzenia fizyki statek żaglowy jest obiektem stałym znajdującym się na granicy dwóch ośrodków (wody i powietrza), zwykle pozostających we względnym ruchu, i zanurzony częściowo w każdym z tych ośrodków. Względny ruch ośrodków może mieć kilka przyczyn. Główną przyczyną jest oczywiście wiatr. Nieco upraszczając załóżmy więc, że w układzie Ziemi woda jest nieruchoma a powietrze się przemieszcza. Przesiądźmy się teraz na jacht. Kadłub jachtu jest tak ukształtowany, że względnie łatwo przesuwa się w wodzie do przodu i do tyłu, ale stawia duży opór przy próbie przesunięcia jachtu w bok.

Nad głowami mamy rozpięte żagle. Znowu nieco upraszczając możemy przyjąć, że są to pionowe powierzchnie (założymy dla uproszczenia, że maszt jest pionowy), ustawione pod pewnym kątem β do osi jachtu. Z perspektywy wierzchołka masztu narysowalibyśmy następujący szkic:

powstawanie siły na żaglu

Zwróćmy uwagę na kierunek wiatru i kąt, pod jakim ustawiono żagiel. Oś jachtu i kierunek wiatru tworzą kąt α, a żagiel ustawiony jest w dwusiecznej tego kąta. Przy takim bowiem ustawieniu na żagiel będzie ze strony wiatru działała siła F, prawie dokładnie prostopadła do powierzchni żagla. Tarcie powietrza o żagiel sprawi, że ta siła będzie przyłożona pod nieco innym kątem (na naszym rysunku symbol tej siły byłby skręcony nieco w prawo), ale o tym możemy zapomnieć - im gładszy żagiel, tym to skręcenie będzie mniejsze.

Rozkład siły działającej na żagiel na siłę ciągnącą i przechylającą

Przyjrzyjmy się sile F. Jak każdą poziomą siłę, możemy ją rozłożyć na dowolne dwa nierównoległe poziome kierunki. Wybierzmy jeden z nich wzdłuż osi jachtu, a drugi prostopadły do niej. Możemy teraz zapomnieć o sile F i zamiast niej mamy dwie równocześnie działające siły F_c i F_p. Siła F_c ciągnie jacht do przodu, zaś siła F_p próbuje przesuwać jacht w bok. Pod wpływem pierwszej siły jacht płynie w pożądanym kierunku (małe opory ruchu), a pod wpływem drugiej kadłub powoli przesuwa się w bok - tym wolniej, im większe są opory boczne. Ten drugi ruch nazywamy dryfem i jest to oczywiście zjawisko niekorzystne. Jeżeli jednak dryf nie jest za duży, to ostateczny kierunek przesuwania się jachtu pozwala „zdobywać wysokość na wiatr”. Płynąc zygzakiem (halsując) możemy odbyć podróż z portu B do portu A.

Wróćmy jeszcze na chwilę do siły F powstającej na żaglu pod wpływem wiatru. Zauważmy, że wypełniony wiatrem żagiel, jako wykonany z tkaniny, nigdy nie jest płaski. Warto wiedzieć, że to jego wygięcie jest zjawiskiem korzystnym, zwiększającym siłę F. Aby to zrozumieć, musimy na pozór odejść od tematu i wyobrazić sobie dowolny ośrodek gazowy lub ciekły, znajdujący się w ruchu (jak powietrze wokół żagla). W takim ośrodku, jeżeli znajduje się on w stabilnym ruchu, można wskazać stabilne linie, wzdłuż których poruszają się cząsteczki ośrodka. Linie te zbliżają się do siebie, gdy ośrodek przeciska się przez jakieś zwężenia i oddalają się od siebie, gdy „ma więcej miejsca”.

Wracamy na jacht. Strugi powietrza opływającego żagiel są z konieczności zagęszczone na jego wybrzuszonej, zawietrznej stronie. Oznacza to, że powietrze porusza się tam nieco szybciej, niż w innych miejscach i dlatego za żaglem rozciąga się strefa obniżonego ciśnienia: żagiel jest zasysany na stronę zawietrzną, co zwiększa siłę F. I w tym właśnie miejscu widoczne jest wykorzystanie prawa Bernoulliego.

Zadajmy sobie kolejne pytanie: „ Czy żagiel pozwala się rozpędzić do prędkości większej niż prędkość wiatru?” Odpowiedź jest zaskakująca: „Pozwala”. Ta sztuka udaje się pod warunkiem, że w dostatecznym stopniu zmniejszymy opory ruchu.

Najpierw - trochę teorii. Wrócimy do żagla i działającej na żagiel siły. Kąty α i β zdefiniowaliśmy wcześniej. Pod wpływem składowej siły F skierowanej do przodu jacht się rozpędza. Ma to ten skutek, że na ruchomym jachcie halsującym „pod wiatr” wzmaga się i skręca tak, że zaczyna wiać bardziej od dziobu, czyli kąt α maleje. Musimy więc zmniejszyć kąt β , aby utrzymać żagiel w dwusiecznej kąta α . Po tej operacji siła F też skręca, ale jej składowa ciągnąca jacht niekoniecznie musi maleć, bo wartość siły F rośnie (silniejszy wiatr wiejący względem jachtu). Zauważmy, że niezależnie od prędkości jachtu składowa ciągnąca siły F będzie wciąż różna od zera i (teoretycznie) będzie mogła nadal rozpędzać jacht. Dopiero zrównoważenie rosnących wraz prędkością oporów ruchu i składowej ciągnącej sprawi, że prędkość przestanie rosnąć. Bez tych oporów prędkość mogłaby rosnąć nieograniczenie i przekroczyć prędkość wiejącego nad wodą wiatru. Ta sztuka łatwo udaje się bojerowcom i windsurfingowcom.

Literatura:

1. T. Dryński, Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki

2. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka t.1

3. R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki t.2 cz.2

4. Sz. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna cz.1

---