1. CEL ĆWICZENIA:

Ćwiczenie pozwala nam poznać zjawisko drgań relaksacyjnych. Mamy tu do czynienia z prostymi układami, w których wytwarzane są drgania relaksacyjne, dzięki czemu poznajemy i zapamiętujemy budowy takich układów oraz działanie poszczególnych ich części.

2. OPIS TEORETYCZNY ĆWICZENIA:

28.04.2009r.

Ćwiczenie nr 39

DRGANIA RELAKSACYJNE

I. Drgania relaksacyjne.

Drgania relaksacyjne, to takie drgania elektryczne, w których wzrosty i spadki napięć zachodzą w sposób wykładniczy. Najczęściej do wytwarzania drgań relaksacyjnych wykorzystuje się proces ładowania i rozładowania kondensatora przez opornik, ponieważ wtedy napięcie na okładkach tego kondensatora zmienia się wykładniczo, według następujących wzorów:

Ładowanie:

Rozładowanie:
,

gdzie:

U₀ - napięcie źródła ładującego kondensator,

t - czas, po którym zostało osiągnięte napięcie U,

RC - stała czasowa.

Aby uzyskać nieregularne wahania napięcia o przebiegach wykładniczych, wystarczy włączać i wyłączać obwód, w którym jest opór i kondensator. Należy to jednak robić w równych odstępach czasu. Rolę elementu, który będzie samoczynnie regulował czas trwania ładowania i rozładowania dobrze spełnia lampa neonowa. W najprostszym obwodzie wytwarzającym drgania relaksacyjne musi się zatem znaleźć kondensator, opornik, neonówka i źródło prądu stałego. Obwód taki wygląda następująco:

Kondensator C ładuje się od źródła prądu przez opornik R o dużym oporze. Napięcie na jego okładkach wzrasta według powyższego wzoru, aż osiągnie wartość U_z (napięcie zapłonu), czyli dla którego neonówka się zapala. Zaczyna przez nią wtedy płynąć prąd rozładowania kondensatora. Napięcie maleje według powyższego równania, aż osiągnie wartość U_g (napięcie gaśnięcia). Następnie napięcie ponownie wzrasta. Proces ten powtarza się cyklicznie i wytwarza nam drgania relaksacyjne, których wykres jest następujący:

gdzie przez T oznaczamy czas narastania napięcia od U_g do U_z, a przez T₁ - czas opadania z U_z do U_g.

II. Przepływ prądu w gazach.

Analizując charakterystykę prądu w próżni dochodzi się do wniosku, że dosyć łatwo jest osiągnąć napięcie, dla którego dalszy wzrost natężenia nie jest możliwy. Dzieje się tak dlatego, że zostają w tym momencie wyczerpane już wszystkie elektrony (nośniki prądu). Analizując natomiast prąd w gazach zauważamy, że przepływ ładunków umożliwia tam większe wartości natężenia dla danego napięcia, niż w prądzie próżniowym. Powód tego jest następujący: W próżni jako nośniki prądu występują elektrony. W gazie natomiast wolne elektrony zderzają się z atomami gazu, powodując ich jonizację tzn. wyrzucanie elektronu z atomu, przy czym pozostaje dodatnio naładowany jon. W ten sposób liczba nośników prądu ulega zwiększeniu.

Mechanizm przewodzenia prądu w gazach może odbywać się na kilka sposobów:

• Przewodnictwo elektronowe - zachodzi w gazach o bardzo małym ciśnieniu,

• Przewodnictwo jonowe - zachodzi w gazach, w których zostały wytworzone jony. Można je wytworzyć różnymi metodami: wysoka temperatura, promieniowanie jonizujące itp. Takie przewodnictwo jest przewodnictwem niesamoistnym,

• Przewodnictwo samoistne - zachodzi w gazach przez samoistne podtrzymywanie procesu tworzenia jonów w wyniku zderzeń cząsteczek przyśpieszanych polem elektrycznym, które jednocześnie powoduje przepływ prądu.

III. Zasada działania neonówki.

Neonówka to bańka szklana wypełniona gazem, najczęściej neonem. Ciśnienie tego neonu wynosi 20 mm Hg. Neonówka składa się z dwóch metalowych elektrod pokrytych warstwą metalu, który łatwo emituje elektrony (np. bar). Jeżeli do elektrod tych zostanie przyłożone niewielkie napięcie, to prąd nie popłynie ze względu na złe przewodnictwo gazu. Jeśli natomiast napięcie przekroczy wartość U_z potrzebną do spowodowania jonizacji lawinowej, przez neonówkę popłynie prąd o natężeniu ograniczonym tylko oporem zewnętrznym. Natomiast, gdy napięcie spadnie poniżej wartości U_g to neonówka staje się znów doskonałym izolatorem, ponieważ nie rozwija się jonizacja lawinowa. W czasie jarzenia między elektrodami znajdują się ładunki elektryczne, dlatego w rzeczywistości do podtrzymania jarzenia wystarczy napięcie nieco niższe od wartości U_z.

Świecenie towarzyszące przepływowi prądu przez lampkę neonową jest spowodowane wyładowaniem w gazach rozrzedzonych. Ale ze względu na małą odległość między elektrodami nie jest widoczny cały obraz wyładowania, lecz tylko warstwa katodowa świecąca na powierzchni katody.

Neonówka służy do stabilizowania napięcia. Opór wewnętrzny neonówki jest bardzo mały w czasie jarzenia i dzięki temu natężenie prądu silnie wzrasta nawet przy niewielkich wzrostach napięcia. Dlatego, jeżeli źródło zasilania neonówki ma duży opór wewnętrzny względem oporu neonówki w czasie jarzenia, to napięcie na zaciskach neonówki prawie nie rośnie. Zatem najmniejszemu wzrostowi napięcia o
towarzyszy duży wzrost natężenia
płynącego przez neonówkę. Przy czym
, gdzie
jest oporem neonówki w czasie jarzenia.

3. LITERATURA:

• Henryk Szydłowski; „Pracownia fizyczna”; Państwowe Wydawnictwo Naukowe; Warszawa 1973; rozdział VII-25.3.

• Szczepan Szczeniowski; Fizyka Doświadczalna. Część III: Elektryczność i magnetyzm; Państwowe Wydawnictwo Naukowe; Warszawa 1966; rozdział: VI.

4. OPIS WYKONANIA POMIARÓW:

Ćwiczenie rozpoczęłyśmy od spisania pojemności wykorzystywanych tu kondensatorów. Później przeszłyśmy do zestawienia układu pomiarowego według następującego schematu:

Następnie jedna z nas kręciła pokrętłami dzielnika napięcia, a druga obserwowała dla jakiego ustawienia neonówka zapala się, a następnie dla jakiego gaśnie. W tych momentach odczytywała napięcie na woltomierzu. Pomiary te powtórzyłyśmy 5 razy.

Później zestawiłyśmy układ według następującego schematu:

gdzie C_i mogłyśmy łatwo zmieniać. Dostępne było 6 kondensatorów.

W tej części ćwiczenia zmieniałyśmy napięcie układu z zakresu od 155 V do 190 V co 5 V, zmieniając położenia pokręteł na dzielniku napięcia, i dla każdego z tych ustawień mierzyłyśmy czas 10 zapaleń neonówki. Pomiary te wykonałyśmy dla wszystkich sześciu kondensatorów.

Następnie, pozostając przy tym samym zestawieniu układu, ustaliłyśmy napięcie na 170 V. Ponownie mierzyłyśmy czas 10 zapaleń neonówki, z tym, że najpierw w miejsce oporu R podłączyłyśmy jeden z dwóch dostępnych oporów, opór R₁, który był podłączony w tym miejscu również przez cały czas ćwiczenia, a później w miejsce tego oporu włączyłyśmy szeregowo opory R₁ i R₂.

Wyniki wszystkich pomiarów przedstawione są w tabelach poniżej.

5. OPRACOWANIE WYNIKÓW:

a) PEŁNY TOK OBLICZEŃ:

Najpierw rozpocznę od przedstawienia wyników naszych pomiarów w tabelach:

Tabela 1.

Pojemności kondensatorów używanych w ćwiczeniu.

Kondensator	Pojemność [μF]
C1	4,7
C2	3,3
C3	1,5
C4	1
C5	0,68
C6	0,33

Tabela 2.

Napięcie zapłonu i gaśnięcia neonówki:

Numer pomiaru	Napięcie zapłonu UZ [V]	Napięcie gaśnięcia UG [V]
1	135	130
2	135	130
3	135	130
4	135	130
5	135	130

Tabela 3.

Czas 10 okresów (zapaleń) neonówki dla różnych ustawień napięć i różnych kondensatorów.

Napięcie układu U [V]	Czas 10 okresów dla C1 (t1 [s])	Czas 10 okresów dla C2 (t2 [s])	Czas 10 okresów dla C3 (t3 [s])	Czas 10 okresów dla C4 (t4 [s])	Czas 10 okresów dla C5 (t5 [s])	Czas 10 okresów dla C6 (t6 [s])
155	39,96	25,64	12,09	7,07	5,71	3,14
160	30,96	20,94	9,69	6,24	4,66	2,78
165	26,07	17,19	8,14	5,74	3,83	2,67
170	22,88	15,16	7,09	4,71	3,36	2,36
175	20,22	15,07	6,35	4,20	3,08	2,23
180	18,24	12,86	5,98	3,86	2,88	2,08
185	18,19	11,53	5,65	3,64	2,77	1,87
190	16,76	11,18	5,26	3,43	2,67	1,85

Tabela 4.

Czas 10 okresów neonówki dla różnych ustawień oporu i różnych kondensatorów. Napięcie układu to 170 V.

Kondensator	Czas 10 okresów dla oporu R1 (t7 [s])	Czas 10 okresów dla oporu R1 + R2 (t8 [s])
C1	22,09	39,56
C2	15,08	27,18
C3	6,92	12,54
C4	4,58	8,32
C5	3,33	6,11
C6	2,50	3,24

Wyliczam średnią napięcia zapłonu neonówki:

Obliczam błąd maksymalny tej wielkości:

Sprawdzam rozstęp R:

Porównuję rozstęp z błędem systematycznym:

zatem dominuje błąd systematyczny. Stąd
.

Zatem średnie napięcie zapłonu żarówki wynosi:

Wyliczam średnią napięcia gaśnięcia neonówki:

Obliczam błąd maksymalny tej wielkości:

Sprawdzam rozstęp R:

Porównuję rozstęp z błędem systematycznym:

zatem dominuje błąd systematyczny. Stąd
.

Zatem średnie napięcie zapłonu żarówki wynosi:

Liczę okres drgań relaksacyjnych, gdy w układzie jest podłączony kondensator C₁:

dla napięcia 155V:

dla napięcia 160V:

dla napięcia 165V:

dla napięcia 170V:

dla napięcia 175V:

dla napięcia 180V:

dla napięcia 185V:

dla napięcia 190V:

Obliczam błędy tych wielkości metodą różniczki zupełnej:

Zatem:
. Stąd:
. Błąd ten jest taki, bez względu na to, które napięcie rozpatrujemy.

Liczę okres drgań relaksacyjnych, gdy w układzie jest podłączony kondensator C₂:

dla napięcia 155V:

dla napięcia 160V:

dla napięcia 165V:

dla napięcia 170V:

dla napięcia 175V:

dla napięcia 180V:

dla napięcia 185V:

dla napięcia 190V:

Obliczam błędy tych wielkości metodą różniczki zupełnej:

Zatem:
. Stąd:
. Błąd ten jest taki, bez względu na to, które napięcie rozpatrujemy.

Liczę okres drgań relaksacyjnych, gdy w układzie jest podłączony kondensator C₃:

dla napięcia 155V:

dla napięcia 160V:

dla napięcia 165V:

dla napięcia 170V:

dla napięcia 175V:

dla napięcia 180V:

dla napięcia 185V:

dla napięcia 190V:

Obliczam błędy tych wielkości metodą różniczki zupełnej:

Zatem:
. Stąd:
. Błąd ten jest taki, bez względu na to, które napięcie rozpatrujemy.

Liczę okres drgań relaksacyjnych, gdy w układzie jest podłączony kondensator C₄:

dla napięcia 155V:

dla napięcia 160V:

dla napięcia 165V:

dla napięcia 170V:

dla napięcia 175V:

dla napięcia 180V:

dla napięcia 185V:

dla napięcia 190V:

Obliczam błędy tych wielkości metodą różniczki zupełnej:

Zatem:
. Stąd:
.

Błąd ten jest taki, bez względu na to, które napięcie rozpatrujemy.

Liczę okres drgań relaksacyjnych, gdy w układzie jest podłączony kondensator C₅:

dla napięcia 155V:

dla napięcia 160V:

dla napięcia 165V:

dla napięcia 170V:

dla napięcia 175V:

dla napięcia 180V:

dla napięcia 185V:

dla napięcia 190V:

Obliczam błędy tych wielkości metodą różniczki zupełnej:

Zatem:
. Stąd:
.

Błąd ten jest taki, bez względu na to, które napięcie rozpatrujemy.

Liczę okres drgań relaksacyjnych, gdy w układzie jest podłączony kondensator C₆:

dla napięcia 155V:

dla napięcia 160V:

dla napięcia 165V:

dla napięcia 170V:

dla napięcia 175V:

dla napięcia 180V:

dla napięcia 185V:

dla napięcia 190V:

Obliczam błędy tych wielkości metodą różniczki zupełnej:

Zatem:
. Stąd:
.

Błąd ten jest taki, bez względu na to, które napięcie rozpatrujemy.

Tabela 5.

Zależność okresów drgań relaksacyjnych od napięcia układu dla różnych kondensatorów.

Napięcie układu U [V]	Okres dla C1 (T1 [s])	Okres dla C2 (T2 [s])	Okres dla C3 (T3 [s])	Okres dla C4 (T4 [s])	Okres dla C5 (T5 [s])	Okres dla C6 (T6 [s])
155	3,996	2,564	1,209	0,707	0,571	0,314
160	3,096	2,094	0,969	0,624	0,466	0,278
165	2,607	1,719	0,814	0,574	0,383	0,267
170	2,288	1,516	0,709	0,471	0,336	0,236
175	2,022	1,507	0,635	0,420	0,308	0,223
180	1,824	1,286	0,598	0,386	0,288	0,208
185	1,819	1,153	0,565	0,364	0,277	0,187
190	1,676	1,118	0,526	0,343	0,267	0,185
Błąd każdego okresu jest taki sam i wynosi 0,001s

Liczę okresy drgań relaksacyjnych, gdy napięcie układu ustawione jest na 170 V a opór R=R₁=2MΩ.

Dla C₁:

Dla C₂:

Dla C₃:

Dla C₄:

Dla C₅:

Dla C₆:

Gdy opór wynosi R=R₁+R₂=2MΩ+2MΩ=4MΩ

Dla C₁:

Dla C₂:

Dla C₃:

Dla C₄:

Dla C₅:

Dla C₆:

Błędy wszystkich tych okresów liczę metodą różniczki zupełnej:

Zatem:
. Stąd:
.

Zatem błąd każdego okresu jest taki sam i wynosi 0,001s.

Liczę wartości okresów drgań relaksacyjnych z następującego wzoru:

, gdzie:

T - okres;

R - opór;

C - pojemność kondensatora;

U - napięcie układu (U=170 V);

U_G - napięcie gaśnięcia (U_G=130 V);

U_Z - napięcie zapłonu (U_Z=135 V).

Zatem:

Natomiast błąd tych wielkości należy obliczyć metodą różniczki zupełnej.

Zatem:

Gdy R=R₁=2MΩ:

Dla C₁:

Dla C₂:

Dla C₃:

Dla C₄:

Dla C₅:

Dla C₆:

Gdy R=R₁+R₂=2MΩ+2MΩ=4MΩ:

Dla C₁:

Dla C₂:

Dla C₃:

Dla C₄:

Dla C₅:

Dla C₆:

Tabela 6.

Wartości zmierzonych oraz obliczonych teoretycznie okresów drgań relaksacyjnych.

Kondensator	Wartości zmierzone
		Dla R=R1	Dla R=R1+R2
C1	2,209s ± 0,001s	3,956s ± 0,001s
C2	1,508s ± 0,001s	2,718s ± 0,001s
C3	0,692s ± 0,001s	1,254s ± 0,001s
C4	0,458s ± 0,001s	0,832s ± 0,001s
C5	0,333s ± 0,001s	0,611s ± 0,001s
C6	0,250s ± 0,001s	0,324s ± 0,001s
		Wartości obliczone
				Dla R=R1	Dla R=R1+R2
C1		1,255195091s ± 2,943029279s	2,510390181s ± 5,886058558s
C2		0,8813071913s ± 2,06638226s	1,762614383s ± 4,1327642s
C3		0,4005941779s ± 0,9392646636s	0,8011883557s ± 1,878529327s
C4		0,2670627852s ± 0,6261764424s	0,5341255705s ± 1,252352885s
C5		0,181602694s ± 0,4257999808s	0,3632053879s ± 0,8515999616s
C6		0,08813071913s ± 0,206638226s	0,1762614383s ± 0,413276452s

Obliczam błąd stałej RC metodą różniczki zupełnej:

Tabela 7.

Zależność okresu od stałej czasowej RC.

	Stała RC	Błąd stałej RC	Okres T [s]	Błąd okresu T [s]
R1+R2, C1:	18,8	3,854	2,510390181	5,886058558
R1+R2, C2:	13,2	2,706	1,762614383	4,1327642
R1, C1:	9,4	1,927	1,255195091	2,943029279
R1, C2:	6,6	1,353	0,8813071913	2,06638226
R1+R2, C3:	6,0	1,23	0,8011883557	1,878529327
R1+R2, C4:	4,0	0,82	0,5341255705	1,252352885
R1, C3:	3,0	0,615	0,4005941779	0,9392646636
R1+R2, C5:	2,72	0,5576	0,3632053879	0,8515999616
R1, C4:	2,0	0,41	0,2670627852	0,6261764424
R1, C5:	1,36	0,2788	0,181602694	0,4257999808
R1+R2, C6:	1,32	0,2706	0,1762614383	0,413276452
R1, C6:	0,66	0,1353	0,08813071913	0,206638226

Metoda najmniejszych kwadratów do WYKRESU 15:

;

Zatem:

Zatem:

b) DYSKUSJA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI:

Wielkościami mierzonymi w tym ćwiczeniu są napięcie oraz czas. Błąd napięcia jest równy dokładności odczytu, czyli w naszym przypadku 5 V. Błąd napięcia gaśnięcia i zapłonu żarówki jest również równy 5 V, ponieważ z obliczeń wyszło mi, że błąd systematyczny jest tu zdecydowanie dominujący.

Z czasem jest już trochę inaczej. Do obliczeń przyjęłam błąd czasu równy dokładności stopera, jednak w praktyce powinien być on dużo większy, gdyż można brać jeszcze pod uwagę czas reakcji człowieka, który wynosi ok. 0,2 s.

Z błędami mamy również do czynienia, przy liczeniu błędu okresu ze wzoru:

.

Potrzebne nam są tu jeszcze błędy kondensatora i opornika. Wynoszą one odpowiednio: 20% i 5% wartości zmierzonych tych wielkości.

Na wykresach nie zawsze zaznaczone zostały błędy czasu lub okresu, ponieważ są to zbyt małe wartości, aby zostały dostrzeżone na wykresach. Zostały jednak zaznaczone błędy napięcia. Na wykresach zbiorczych nie zaznaczałam błędów dla lepszej widoczności tych wykresów.

Wszystkie błędy wielkości liczonych w trakcie tego raportu zostały policzone metodą różniczki zupełnej, czego pełen tok przedstawiam w punkcie 5a tego raportu.

c) PREZENTACJA OTRZYMANYCH WYNIKÓW:

Wszystkie wyniki starałam się zbierać w tabelach, ponumerowanych i zatytułowanych, które znajdują się w punkcie 5a.

d) WNIOSKI:

Różnica napięć zapłonu i gaśnięcia neonówki mieści się w granicach błędu, widzimy więc, że nie są to wielkości bardzo się od siebie różniące.

Analizując wykresy zależności okresów drgań relaksacyjnych od napięcia zasilania, widzimy, że im wyższe napięcie panuje w układzie, tym mniejsza jest wartość okresu. Zbierając wszystkie te dane na wykresie zbiorczym można zauważyć, że okres ten nie zależy tylko od napięcia panującego w układzie, ale również od kondensatora, który jest podłączony do układu. Mianowicie: okres jest tym większy, im większą pojemność ma kondensator podłączony do układu.

Porównując wyniki zmierzonych i policzonych okresów drgań relaksacyjnych można zauważyć spore rozbieżności. Wielkości policzone ze wzoru:
są dużo mniejsze aniżeli wielkości zmierzone bezpośrednio. Jednak błędy wielkości policzonych z powyższego wzoru są bardzo duże i w każdym przypadku przekraczają wartość samego wyniku, co świadczy o małej dokładności podanej metody. O wiele lepsza wydaje mi się druga metoda tu zastosowana, a dokładniej ta polegająca na mierzeniu czasu odpowiadającego 10 okresom i podzielenie tego wyniku na 10.

Analizując wykresy przedstawiające przebiegi drgań relaksacyjnych można zauważyć, że napięcie ma największą wartość dla najkrótszego czasu. Tak jest dla wszystkich kondensatorów. Aby jednak zobaczyć, że przebieg drgań relaksacyjnych zależy od pojemności kondensatora w rozważanym układzie należy zebrać dane na jednym zbiorczym wykresie. Po zrobieniu tego łatwo zauważyć, że im większa pojemność rozważanego kondensatora, tym wykres bardziej przesunięty w kierunku dodatnim osi odciętych.

Na koniec, sporządziłam wykres zależności okresu od stałej czasowej RC. Okazało się, że jest to linia prosta w przybliżeniu, dlatego policzyłam współczynniki tej linii prostej w układzie współrzędnych. W tym celu posłużyłam się metodą najmniejszych kwadratów (inaczej regresji liniowej). Tok obliczeń i wyniki przedstawione są w punkcie 5a.

602

- 8 -

---