RACHUNEK WEKTORY

WEKTOR – jest wielkością zdefiniowaną przez:

ROZKŁAD WEKTORA NA SKŁADOWE

Dowolny wektor możemy zapisać w postaci sumy jego rzutów na obie układu współrzędnych.

$$\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{= \ }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{x + \ }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{y = \ Az}\overrightarrow{\mathbf{i}}\mathbf{+ \ Ay}\overrightarrow{\mathbf{j}}\mathbf{= \lbrack Ax\ Ay\rbrack}$$

gdzie: $\overrightarrow{\mathbf{i}}\mathbf{,\ }\overrightarrow{\mathbf{j}}$ są jednostkowymi wektorami (wersolami) o kierunkach i zwrotach pokrywających się z kierunkami i zwrotami osi x i y.

W przestrzeni trójwymiarowej dowolny wektor możemy zapisać w postaci sumy jego na obie układu współrzędnych:

$$\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\ = \ }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{x + \ }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{y\ + \ }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{z\ = \ Az}\overrightarrow{\mathbf{i}}\mathbf{+ \ Ay}\overrightarrow{\mathbf{j}}\mathbf{+ \ Az}\overrightarrow{\mathbf{k}}\mathbf{= \lbrack Ax\ Ay\ Az\rbrack}$$

DODAWANIE WEKTORÓW

A = [Ax,  Ay,  Az]

B = [Bx,  By,  Bz]

$$\mathbf{|A|\ = \ }\sqrt{\mathbf{A}^{\mathbf{2}}\mathbf{x\ + \ }\mathbf{A}^{\mathbf{2}}\mathbf{y\ + \ }\mathbf{A}^{\mathbf{2}}\mathbf{z}}$$

$$\mathbf{|B|\ = \ }\sqrt{\mathbf{B}^{\mathbf{2}}\mathbf{x\ + \ }\mathbf{B}^{\mathbf{2}}\mathbf{y\ + \ }\mathbf{B}^{\mathbf{2}}\mathbf{z}}$$

ODEJMOWANIE WEKTORÓW

A = [Ax,  Ay,  Az]

B = [Bx,  By,  Bz]

$$\mathbf{|A|\ = \ }\sqrt{\mathbf{A}^{\mathbf{2}}\mathbf{x}\mathbf{\ + \ }\mathbf{A}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{\ + \ }\mathbf{A}^{\mathbf{2}}\mathbf{z}}$$

$$\mathbf{|B|\ = \ }\sqrt{\mathbf{B}^{\mathbf{2}}\mathbf{x}\mathbf{\ + \ }\mathbf{B}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{\ + \ }\mathbf{B}^{\mathbf{2}}\mathbf{z}}$$

ILOCZYN SKALARNY

Gdy znamy współrzędne wektorów A = [Ax,  Ay,  Az], B = [Bx,  By,  Bz]

Wynikiem iloczynu skalanego jest liczba (skalar).

ILOCZYN WEKTOROWY

Wektor c jest prostopadły do płaszczyzny w której leżą wektory a i b.

Zwrot powstałego wektora określany zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

• Jeżeli wektor C powstał w wyniku iloczynu wektorowego wektorów A * B.

C= A * B to jego długość |C| (moduł) określona jest wzorem |C|=|A| *| B| * sinα.

• Jeżeli wektor C powstał w wyniku iloczyn wektorowego wektorów A i B.

C= A * B to jego współrzędne C =  [Cx, Cy, Cz] określone są wzorem

C  =  A * B  =  [AyBz  AzBy, AzBx  AxBz, AxBy  AyAx] .

• Powstały wektor jest prostopadły do płaszczyzny, w której leżą mnożne wektory, a jego długość określa wzór |C|=|A| *| B| * sinα.

• Wynikiem jest wektor C  =  A * B  =  [AyBz  AzBy, AzBx  AxBz, AxBy  AyAx].

POCHODNA FUNKCJI

SKOŃCZONĄ GRANICĘ RÓŻNICOWEGO

Nazywamy pochodną funkcji w punkcie

KINEMATYKA

$$\overrightarrow{\mathbf{V}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{r}}}{\mathbf{\text{dt}}}\mathbf{= \ }\operatorname{}\frac{\mathbf{}\overrightarrow{\mathbf{r}}}{\mathbf{}\mathbf{t}}\mathbf{= \ }\operatorname{}\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}\left( \mathbf{t}\mathbf{+}\mathbf{t} \right)\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}}{\mathbf{}\mathbf{t}}$$

gdzie $\overrightarrow{\mathbf{r}}$ jest zmianą wektora wodzącego w czasie $\overrightarrow{\mathbf{t}}$

Składowe wektora prędkości $\overrightarrow{\mathbf{v}}\mathbf{= \lbrack Vx,\ Vy,\ Vz\rbrack}$ wynoszą:

Vx=$\frac{\mathbf{\text{dx}}}{\mathbf{\text{dt}}}$ , Vy=$\frac{\mathbf{\text{dy}}}{\mathbf{\text{dt}}}$ , Vz=$\frac{\mathbf{\text{dz}}}{\mathbf{\text{dt}}}$

• Przyspieszenie chwilowe punktu w ruchu postępowym zdefiniowana jest przez pochodną wektora prędkości po czasie:

$$\overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{v}}}{\mathbf{\text{dt}}}\mathbf{=}\operatorname{}{\frac{\overrightarrow{\mathbf{v}}}{\mathbf{t}}\mathbf{=}}\operatorname{}\frac{\overrightarrow{\mathbf{v}}\left( \mathbf{t + t} \right)\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{v}}\mathbf{(t)}}{\mathbf{t}}$$

gdzie $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ jest zmianą wektora prędkości w czasie $\overrightarrow{\mathbf{r}}$ składowe wektora prędkości

$\overrightarrow{\mathbf{a}}$ =[a_x,  a_y, a_z] wynoszą: a_x=$\frac{\mathbf{d}\mathbf{v}_{\mathbf{x}}}{\mathbf{\text{dt}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{2}}\mathbf{x}}{\mathbf{d}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}$, a_y=$\frac{\mathbf{d}\mathbf{v}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{\text{dt}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{2}}\mathbf{z}}{\mathbf{d}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}$, a_z=$\frac{\mathbf{d}\mathbf{v}_{\mathbf{z}}}{\mathbf{\text{dt}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{2}}\mathbf{z}}{\mathbf{d}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}$

$$\overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{v}}}{\mathbf{\text{dt}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}^{\mathbf{2}}\overrightarrow{\mathbf{r}}}{\mathbf{d}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}$$

PROSTOLINIOWY

JEDNOSTAJNY ZMIENNY

V=const V-ziemia

a=0 a≠0

JEDNOSTAJNIE ZMIENNY

a=const

Ruch jednostajny prostoliniowy

Opis wektorowy Opis skalarny

$\overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{= 0}$ a = 0

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\mathbf{= const}$ v = const

$\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{= \ }{\overrightarrow{\mathbf{r}}}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{v}}\mathbf{t}$ r = r₀ + vt

s = s₀ + vt, s₀=0

s = v*t

v = s/t

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy - ruch ze stałym przyspieszeniem po linii prostej

Opis wektorowy Opis skalarny

$\overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{= const}$ a = const

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\mathbf{=}{\overrightarrow{\mathbf{v}}}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{t}$ v = v₀ + at

$\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{=}{\overrightarrow{\mathbf{r}}}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{v}}\mathbf{t +}\frac{\overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{t}}{\mathbf{2}}$ x = x₀ + v₀t + $\frac{\mathbf{a}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$

x₀

$$\lbrack v\rbrack\ = \ \lbrack m/s\rbrack v = \frac{3m}{s}$$

$$\left\lbrack a \right\rbrack = \ \left\lbrack \frac{m}{s2} \right\rbrack a = 3\frac{m}{s^{2}}\ \ \ (v = m/s,\ t = s)$$

$$a = \frac{v}{t}$$

Ruch jednostajny po okręgu Ruch jednostajnie zmienny po okręgu

Prędkość kątowa w jest stała. Przyspieszenie kątowe ε jest stała.

$\mathbf{w = \ }\frac{\mathbf{\gamma}}{\mathbf{t}}$ ε = const

Nazywamy drogą katową γ = wt $\mathbf{\gamma =}\mathbf{\gamma}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\mathbf{w}_{\mathbf{0}}\mathbf{t +}\frac{\mathbf{\varepsilon}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$

Okres ruchu T: w=w₀+εt

$$\mathbf{T =}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi}}{\mathbf{w}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{f}}$$

$$\mathbf{v =}\frac{\mathbf{s}}{\mathbf{t}}$$	L	O	$$\mathbf{w =}\frac{\mathbf{\gamma}}{\mathbf{t}}$$
v=v0+at	v	w	w=w0+εt
$$\mathbf{x =}\mathbf{x}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{a}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$$	s	γ	$$\mathbf{x =}\mathbf{x}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\mathbf{w}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\varepsilon}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$$
a = const	a	ε	ε = const

I ZASADA DYNAMIKI NEWTONA

Ciało, na które nie działa żadna siła pozostaje w spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością po linii prostej.

Siła wypadkowa Fwyp jest mną wektorową wszystkich sił działających na ciało. Jeżeli Fwyp = 0 to również przyspieszenie ciało a=0, a to oznaczona, że nie zmienia się ani wartość ani kierunek prędkość tzn. ciało jest w nanie spoczynku lub porusza się ze stałej, co do wartości prędkością po linii prostej.

II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA

Tempo zmian pędu ciała jest równe siłę wypadkowej działającej na to ciało.

$$\mathbf{Fwyp =}\frac{\mathbf{\text{dp}}}{\mathbf{\text{dt}}}$$

Pęd ciała definiujemy jako iloczyn jego masy i prędkości

$$\overrightarrow{\mathbf{p}}\mathbf{= m*}\overrightarrow{\mathbf{v}}$$

Dla ciała o stałej masie(m = const) sprawdza się to do iloczynu masy i przyspieszenia ciało.

$\overrightarrow{\mathbf{F}}\mathbf{wyp = m*}\overrightarrow{\mathbf{a}}$ m = const

$$\overrightarrow{\mathbf{a}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{F}}{\overrightarrow{\mathbf{m}}}$$

Jeżeli na ciało działa siła, różna od zera siła wypadkowa Fwyp, to ciało to porusza się ruchem jednostajnie zmiennym (przyspieszonym lub opóźnionym), w którym przyspieszenie a jest wprost proporcjonalne do działającej siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalne do masy tego ciała m.

$$\mathbf{a =}\frac{\mathbf{F}}{\mathbf{m}}$$

Wnioski z I i II zasady dynamiki Newtona

Pierwsza zasada wydaje się być szczególnym przypadkiem drugiej. Przypilnujemy jej jednak wielką wagę za względów historycznych (przełamanie dogmatu Arystolowskiego, że wszystkie ciała muszą się zatrzymać, gdy nie ma sił zewnętrznych) oraz dlatego, że zawiera ważnie prawidło fizyczne: istnienie inercjalnego układu odniesienia.

Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, że jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne to istnieje taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Taki układ nazywamy układem inercjalnym.

Ponieważ każdy ruch musi być opisany względem pewnego układu odniesienia, układy inercjalne są bardzo ważne, że wzglądu na to, że we wszystkich takich układach ruchami ciał rządzą dokładnie te sama prawa. Zazwyczaj przyjmuje się, że są to układy, które spoczywają względem gwiazd stałych, ale układ odniesienia związany z Ziemią w większości zagadnień jest dobrym przybliżeniem układu inercjalnego.

Ponieważ przyspieszenie ciała zależy od przyspieszenia układu odniesienia (obserwatora), w którym jest mierzona, więc druga zasada dynamiki jest słuszna tylko, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Inaczej mówiąc, prawa strona równania F = ma zmieniałaby się w zależności od przyspieszenie obserwatora.

„Pierwsza zasada nie wprowadza żadnego rozróżnienia między ciałami spoczywającymi i poruszającymi się ze stałą prędkością. Każdy z tych stanów może być naturalnym stanem ciała, gdy nie ma żadnych sił. Nie ma także różnicy pomiędzy sytuacją, gdy na ciało nie działa żadna siła i przypadkiem gdy wypadkowa wszystkich sił działających na ciało jest równa zeru.”

III ZASADA DYNAMIKI NEWTONA

Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie, to siła wywierane przez ciało drugie na ciało pierwsze jest równa i przeciwne skierowana do siły, jaką ciało pierwsze działa na drugie.

F₁→F₂=F₂→F₁

$$F\sim\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$$

Siłą proporcjonalności oznaczając przez G, otrzymujemy:

$$\mathbf{F = G}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{1}}\mathbf{m}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{r}^{\mathbf{2}}}$$

G = 6.67 * 10⁻¹¹Nm²/kg²

Równanie powyższe nazywa się prawem powszechnego ciężenia, ponieważ dokładnie to samo prawo stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych. To samo prawo wyjaśnię spadnie ciał na ziemię, tłumaczy nich planet oraz pozwala obliczyć ich masy i okresy obiegu.

I PRAWO KEPLERA:

Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej, ze słońcem w jednym z ognisk taj elipsy.

II PRAWO KEPLERA(prawo równych pół):

Linia łącząca słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu.

III PRAWO KEPLERA(prawo okresów):

Kwadrat okresu obiegu dowolnej planety jest proporcjonalny do sześcianu średniej odległości planety od słońca.

RUCH POSTĘPOWY	RUCH OBROTOWY
a	ε
v	ω
s	γ
$$\overrightarrow{\mathbf{F}}$$	$$\overrightarrow{\mathbf{M}}$$
$$\overrightarrow{\mathbf{p}}$$	$$\overrightarrow{\mathbf{L}}$$

Moment siły

$$\overrightarrow{\mathbf{M}}\mathbf{= \ }\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{*}\overrightarrow{\mathbf{F}}$$

Moment siły – iloczyn wektorowy wektora położenia(ramienia siły) i działającej siły.

M = r * F * sinγ

Moment pędu

$$\overrightarrow{\mathbf{L}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{*}\overrightarrow{\mathbf{p}}$$

Moment pędu – iloczyn wektorowy wektora położenia i pędu.

L = r * p * sinγ

II ZASADA DYNAMIKI W RUCHU OBROTOWYM

$$\overrightarrow{\mathbf{M}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}}{\mathbf{\text{dt}}}$$

Wypadkowy moment siły działający na ciało jest równy zamianom momentu prądu w czasie.

$\overrightarrow{\mathbf{F}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{p}}}{\mathbf{\text{dt}}}$ $\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\overrightarrow{\mathbf{M}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{l}}}{\mathbf{\text{dt}}}$

I ZASADA DYNAMIKI W RUCHU OBROTOWYM

Ciało sztywne, na które nie działa moment siły pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym obrotowym.

III ZASADA DYNAMIKI W RUCHU OBROTOWYM

Jeżeli dwa ciała oddziałują wzajemnie, to moment siły, z jakim działa ciała drugie na ciało pierwsze jest równy i przeciwnie skierowany do momentu siły, z jakim ciało pierwsze działa na drugie.

$$\overrightarrow{\mathbf{M}_{\mathbf{2 \rightarrow 1}}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{-}\mathbf{M}_{\mathbf{1 \rightarrow 2}}}$$

Moment bezwładności ciała sztywnego

$$\mathbf{I =}\sum_{\mathbf{i}}^{}{\mathbf{m}_{\mathbf{i}}\mathbf{r}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{\ \ }}$$

Moment bezwładności układu punktów materialnych

I=∫r²dm

Moment bezwładności dla ciągłego rozkładu masy

Moment bezwładności w ruchu obrotowym jest odpowiednikiem masy w ruchu postępowym

F = m * a M = Iε

TWIERDZENIA STEINERA

Często do obliczenia momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdzeniem Steinera. Podaje ona znaleźć pomiędzy momentu bezwładności I danej osi, a momentem bezwładności I_sr.m. tego ciała względem osi przechodzącej przez jego środek masy i równoległej do danej.

I=I_sr.m.+md²

gdzie m jest masą ciała, a d odległością pomiędzy osiami.

Ruch postępowo – obrotowy

1. (b) (c)

W ruchu pozstępowanym, rysunek (a), wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi prędkościami, natomiast w ruchu obrotowym, rysunek (b), przeciwległe punkty poruszają się z przeciwnym prędkościami, a środek jest nieruchomy. Na rysunek (c) pokazano wynik złożenia (numerowania) odpowiednich wektorów z rysunków (a) i (b).

Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest określenie ruchu punktu, jeżeli znana jest stała siła działające na ten punkt. Zagadnienie jest bardziej złożone, gdy F nie jest stała. Trzeba posługiwać się bardziej skomplikowaną matematyką (całkowanie). Mamy często do czynienie z takimi siłami np. siła grawitacji między dwoma ciałami zależy od ich odległości, siła wywierana przez rozciągnięta sprężynę zależy od stopnia rozciągnięcia.

W najprostszym przypadku, siła F jest stała, a punkt porusza się w kierunku działania siły. Wtedy prace definiujemy jako:

$$\mathbf{W =}\overrightarrow{\mathbf{F}}\mathbf{*}\overrightarrow{\mathbf{s}}\mathbf{= Fscosa}$$

Jednostką pracy w układzie SI jest dżul (J), 1J = 1N * 1m. Często używa się jednostki elektronowolt

1ev = 16*10⁻¹⁹J.

Rozważmy teraz silę będącą funkcję położenia F(x), której kierunek jest zgodny z osią x. Szukamy pracy jaką wykona to siła przy przesuwanie ciała od położenia x₁ do położenia x₂. Jak skorzystać ze wzoru W = Fscosα, czyli co podtawić za F, skoro wartość jej zmienia się.

Zaczynamy od przybliżenia. Dzielimy całkowite przemieszenie na n jednakowych odcinków Δx. Wewnątrz takiego przedziału przyjmujemy, że siła jest stała i możemy teraz policzyć pracę na tym odcinku.

Δx :  ΔWi = FiΔx, gdzie F₁ jest wartością siły na tym odcinku zwróćmy uwagę, że od strony czysto formalnej (geometria) liczenie pracy jest równoważne liczeniu sumy powierzchne prostokątów o szerokości Δx i wysokości FΔ.

$$\mathbf{W =}\sum_{\mathbf{i = l}}^{\mathbf{n}}\mathbf{F}_{\mathbf{i}}\mathbf{\Delta}\mathbf{x}$$

Poprawimy przybliżenie poprze zwiększenie ilość przedziałów, a więc zmniejszenie ich szerokości.

Takie przybliżenie jest lepsze bo siła ma prawie stałą wartość wewnątrz „małych” przedziałów x (pola powierzchni prostokątów bardziej pokrywają.

$$\mathbf{W =}\operatorname{}{\sum_{\mathbf{x}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{x}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{Fx =}\int_{\mathbf{x}\mathbf{1}}^{\mathbf{x}_{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{Fdx}}}}$$

Liczbowo odpowiada to liczeniu pole powierzchni pod krzywą (w zadnym przedziale-granicach).

Rozważmy czas, w jakim wykonywana jest praca. Często interesuje nas szybkość wykonania pracy w nie jej wartość. Jest to moc.

Moc średnia: $\mathbf{\text{\ P}}_{\mathbf{srednia}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{W}}{\mathbf{F}}$

Moc chwilowa:  P = dw/dt

Oczywiście gdy moc jest stała w czasie to P_srednia=P.

Jednostką mocy jest wat. $\mathbf{1}\mathbf{w =}\frac{\mathbf{1}\mathbf{j}}{\mathbf{1}\mathbf{s}}\mathbf{.}$

Dla celów praktycznych używa się kW(kilowatów) lub KM(koni mechanicznych przy czym $\mathbf{1}\mathbf{KM \approx}\left( \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}} \right)\mathbf{\text{kW.}}$

Zakładamy, że kierunek siły F_i przyspieszenia a pokrywa się z kierunkiem osi x. Dla stałego przyspieszenia mamy:

$$\mathbf{x =}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{a}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$$

oraz

$$\mathbf{v =}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{+ at\ \rightarrow a =}\frac{\mathbf{v -}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{t}}$$

$$\mathbf{x =}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{t +}\frac{\mathbf{(v -}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{)}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{t}}$$

$$\mathbf{x =}\frac{\mathbf{2}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{t}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\left( \mathbf{v -}\mathbf{v}_{\mathbf{0}} \right)\mathbf{t}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{t + vt -}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{t}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{t + vt}}{\mathbf{2}}$$

$$\mathbf{x =}\frac{\mathbf{(}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{+ v)}}{\mathbf{2}}\mathbf{*t}$$

Co w połączeniu daje:

$$\mathbf{x =}\frac{\mathbf{(}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{+ v)}}{\mathbf{2}}\mathbf{*t}$$

Wykonana praca jest równa:

Połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości nazywamy energią kinetyczną $\mathbf{E}_{\mathbf{k}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{m}\mathbf{v}^{\mathbf{2}}$.

Praca wykonana przez wypadkową siłę F działającą na punkt materialny jest równa zmianie energii kinetycznej tego punktu.

$$\mathbf{m}\left( \frac{\mathbf{v -}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{t}} \right)\left( \frac{\mathbf{v +}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{2}} \right)\mathbf{t = m}\frac{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ v}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{- v}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}\mathbf{-}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{t}}\mathbf{*t =}$$

$$\mathbf{= m}\frac{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{m}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$$

E_k−E_ko

W=E_k−E_ko=E_k

Jest to twierdzenie o pracy i energii.

Gdy nie ma zmiany wartość prędkości to nie ma zmiany energii kinetycznej tzn. nie jest wykonywana praca (np. siła dośrodkowa) z twierdzenia powyższego wynika, ze jednostki pracy i energii są takie same.

Przesuwamy ciało o masie m z prędkością v w kierunku sprężyny, tak na rysunek.

ZAŁOŻENIA:

• Ruch na płaszczyźnie odbywa się bez tarcia

• Sprężyna jest idealna tzn. spełnia ona prawo Hooke’a: F = −kx, gdzie F jest siła wywieraną przez sprężyną, kiedy jej swobodną koniec jest przemieszczony na odległość x

• Masa sprężyny jest zaniedbywalnie mała w porównanie z masą cała, więc ciała energia kinetyczna w układzie sprężyna ciała jest zgromadzona w tym cała

Wirtualne laboriatum fizyka

P_p=P_k

P_p=P₁*m₁v₁ P_k=(m₁+m₂)v₂

P₂=0

m₁v₁=(m₁+m₂)v₂

Dane: Obliczenie:

m₁=0, 2kg 0, 2 * 0, 065 = 0, 4 * 0, 032

m₂=0, 2kg 0, 0130 = 0, 0130

v₁=0, 065

v₂=0, 032

Przy ścinaku sprężyny, prędkość ciała, a wobec tego i energia kinetyczna maleje aż do zatrzymania ciała. Następnie ciało porusza się w przeciwnym kierunku pod wpływem sprężyny. Prędkość i energia kinetyczna rosną aż do wartości, jaką ciało mało początkowo. Interpretowaliśmy energię kinetyczną jako ruchu (kosztem E_k ). Po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) zdolność ciała do wykonania pracy pozostaje taka sama, jest zachowania. Siła sprężysta wywierania przez idealną sprężynę jest zachowania.

Załóżmy teraz, ze powierzchnia nie jest idealna, gładka, ze mamy do czynienia z tarciem. Ta siła tarcia przeciwstawnia się ruchomi bez względu na to, w którym kierunku porusza się ciało wraca z mniejszą energie kinetyczną. Mówimy, ze siła tarcia ( i inne działają podobnie) są niezachowania.

Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonania przez tę silę nad punktem materialny, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru. Siła jest niezachowawcza jeżeli praca wykonana przez te sile nad punktem materialnym który porusza się po dowolniej drodze zamkniętej nie jest równa zeru.

Siłę nazywamy zachowawcza jeżeli praca wykonania przez nią nad punkiem materialnym poruszającym się miedzy dwoma punktami zależy tylko od tych punktów, a nie od łączącej je drogi. Silę nazywamy niezachowawcza jeżeli praca wykowana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się miedzy dwoma punktami zależy od drogi łączącej te punkty.

Gdy rozpatrywaliśmy siły sprężystości widzieliśmy, ze energia kinetyczna poruszającego się ciała zmieniała się (malała i rosła) podczas ruchu tak, ze w cyklu zamkniętym powracała do początkowej wartości. W tej sytuacji, gdy działają siły zachowawcze do opisania tych zmian celowe jest wprowadzenie pojęcia.

E_k+E_p=0

Wynika z tego, ze każda zmiana energii kinetycznej E_k jest równoważona przez równą co do wartości, a przeciwną co do znaku zmianę energii potencjalnej E_p układu, tak ze ich suma pozostaje przez cały czas stała:

E_k+E_p=const

Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, że dla ciała podlegającego działania siły zachowawczej, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest ciała.

Siła tarcia zmienia energię mechaniczną układu ( zmniejsza ją bo tarcza jest siła rozpraszającej). Pozostaje wyjaśnić co stało się ze straconą energią mechaniczną. Okazuje się, ze zostaje ona przekształcona na energie wewnętrzną V, która objawia się wzrostem temperatury ciała i otoczenia. Zmiana energii wewnętrznej U jest równa rozproszonej energii mechanicznej.

E_k+E_p+U = 0

Różnica w działania siły powierzchniowej na płyn i na ciało stale polega na tym, że dla cieszy siła powierzchnie musi być zawsze prostopadła do powierzchni płyn, podczas, gdy w ciele stałym może mieć dowolny kierunek. Spoczywający płyn nie może równoważyć sil styczny ( warstwy płyn ślizgałyby się po siebie) i dlatego może zmienić kształt i płynąć. Dlatego siłę działającą na płyn opisywać będziemy za pomocą ciśnienia.

Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły parcia działającej na jednostkę powierzchni do wielkości tej powierzchni.

p = F/s

Ciśnienia jest przekazywanie na sztywne ścianki nazywania, a takie na dowolne przekroje płynów prostopadle do tych ścianek i przekrojów w każdym punkcie Ciśnienia jest wielkością skalarną.

Jednostka podstawowa

$$\mathbf{1}\mathbf{Pa =}\frac{\mathbf{1}\mathbf{N}}{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}$$

PASCAL

Inne jednostki:

• bar (1bar = 105Pa),

• atmosfera (1atm = 101325Pa),

• mm Hg (760mm Hg = 1atm).

CISNIENIA HYDROSTATYCZNE

Jest to cieśnienie wywołane ciężarem cieszy. Ciśnienia hydrostatycznie zależy tylko od wysokości słupa cieszy, tj. od głębokości, na której jest mieszane oraz od gęstości cieszy. Na głębokości h ciśnienie hydrostatyczne cieszy o gęstości ρ określa wyrażenie:

p = ρ * g * h

Oprócz ciśnienie hydrostatycznego, na ciecz może działać dodatkowo cieśnienie statyczne, czyli ciśnienie wywierane na ciecz z zewnątrz. Jeżeli na powierzchnią swobodną cieczy działa cieśnienie statyczne p₀ , którym często jest ciśnienie atmosferyczne, to sumą ciśnienia statycznego i hydrostatycznego:

p=p₀*ρ * g * h

ZWIĄZEK TEN NIE TYLKO POKAZUJE, ŻE CIEŚNIENIE ROŚNIE WRAZ Z GŁĘBOKOŚCIĄ, ALE TEŻ, ŻE JEST JEDNOKOWE DLA PUNTÓW O TEJ SAMEJ GŁĘBOKOŚCI.

p=p₀*ρ * g * h

p=p₀Δp₀*ρ * g * h

Δp=Δp₀

Z powyższego równanie wynika, ze zwiększenia na ciecz statycznego cieśnienia zewnętrznego p₀ 0 Δp₀ powoduje zmiane całkowitego ciśnienia p cieszy o Δp=Δp₀. To zdanie ciśnienia nie zależy od głębokości h i jest taka sama w każdym punkcie cieszy. Z powyższego rozumowania wynika prawo Pascala, które głoś, że:

Ciśnienie wywieranie na ciecz rozchodzi się jednakowo we wszystkich kierunkowi i ma w całej swojej objętości tą samą wartość, równą wywieranemu na ciecz cieśnienie.

Ciśnienie to skierowane jest zawsze prostopadłe do ścian nazywania i powierzchni zanurzonych w cieczy ciał – bez względu na ich kształt.

Parcie hydrostatyczne P – siła nacisku jaką płyn wywiera na daną powierzchnię. Siła ta jest normalna do danej powierzchni.

Parcie określone je wzorem:

$$\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{D}}\mathbf{= pd}\overrightarrow{\mathbf{S}}$$

gdzie: $\mathbf{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}$ - wektor powierzchni nieskończenie małego fragmentu do powierzchni s,

p - ciśnienie hydrostatyczne panujące w poziomie, na którym znajduje się powierzchnia dS

PRAWO ARCHIMEDESA

NA CIAŁO CZĘŚCIOWO LUB CAŁKOWICIE ZANURZONE W CIECZY DZIAŁA SIŁA WYPORU SKIEROWANA KU GÓRZE I RÓWNA CIĘŹAROWI CIECZY WYPARTEJ PRZEZ TO CIAŁO.

W=m_cg = ρv_cg

gdzie: W jest siłą wyporu, m_c jest masą wypartej cieczy o objętości v_c i objętości ρ, a g - przyspieszeniem ziemskim.

Siła wyporu, działająca na zanurzone, w cieczy ciało, jest konsekwencją równania opisującego ciśnienie hydrostatyczne:

p = ρgh

Z którego wynika, że dolne części ciała-głębiej zanurzone, doznają ze strony cieczy większego ciśnienia niż górne części, ciała, co powstaje powstanie wypadkowej, skierowanej ku górze siły wyporu.

Dla powierzchni płaskich i stałego ciśnienia w każdym punkcie powierzchni, wzór na parcie upraszcza się do postaci:

P=pS=ρghS

RÓWNANIE BERNOULLIEGO

Równanie to opisuje zależność między ciśnieniem, a prędkością stacjonarnego przepływu cieczy doskonałej (nielepkiej i nieściśliwej) w strudze, w obecności pola grawitacyjnego:

$$\mathbf{p + \rho gh +}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{p}\mathbf{v}^{\mathbf{2}}\mathbf{= const}$$

gdzie:

• p - ciśnienie cieczy,

• v - prędkość cieczy,

• ρ - gęstość cieczy,

• h - wysokość względem poziomu odniesienia,

• g - przyspieszenie ziemskiej

PRAWO STOKESA

Prawo to określa się oporu działającą na kulę o promieniu r, poruszającą się z prędkością v w cieczy o współczynniku lepkości η:

F = 6πηrv

Równanie to spełnione jest dla względnie małych prędkości v, przy których ruch cieczy względem kuli jest laminarny.