kwadratura numeryczna – Proste metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. Aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach. Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały, ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać krok do szybkości zmienności funkcji. | Prosty wzór trapezów
|
---|---|
Kwadratury złożone newtona-cotesa. W przypadku, gdy przybliżoną wartość całki otrzymano ze zbyt małą dokładnością (metodą prostą trapezów lub Simpsona), wówczas stosuje się kwadratury złożone. Algorytm obliczenia przybliżonej wartości całki metodą złożoną jest następujący: 1.Przedział całkowania [a,b] dzielimy na pewną liczbę równych podprzedziałów, 2.W każdym podprzedziale stosujemy kwadraturę niskiego rzędu (np. metodą prostą trapezów lub prostą Simpsona) 3.Sumujemy otrzymane wyniki . Kwadraturę, która jest sumą kwadratur na podprzedziałach, nazywamy kwadraturą złożoną. | Wzór złożony Simpsona: Przedział całkowania [a,b] dzielimy na m równych części o długości :
gdzie: $x_{k} = a + k \bullet \frac{h}{2},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k = 0,1,\ldots,2 \bullet m$ W każdym podprzedziale stosujemy prosty wzór Simpsona
Wyniki sumujemy i otrzymujemy
|
Wzór złożony Trapezów: Przedział całkowania [a,b] dzielimy na m-części, każda o długości
W każdym podprzedziale stosujemy prosty wzór trapezów
I wyniki sumujemy. Otrzymujemy:
Gdzie xk = a + k • h, k = 0, 1, …, m |