1) Obliczenia wstępne:
Wyznaczenie reakcji w podporach:
Zx = Pa − Rax = 0 = > Rax = Pa = 1, 2kN
Zy = Rb + Ray − Pr = 0 = > Rb = Pr − Ray = −1, 25kN
$$\sum_{}^{}M_{b} = - 650 \bullet P_{r} + 400 \bullet R_{\text{ay}} = 0 = > \ R_{\text{ay}} = \frac{650 \bullet P_{r}}{400} = 3,25kN$$
Wał jest skręcany momentem pochodzącym od silnika:
$$N = M_{s} \bullet \omega = M_{s} \bullet \frac{3000 \bullet 2\pi}{60} = > \ \ M_{s} = \frac{N}{100\pi} = 25,46Nm$$
Wyznaczenie rozkładu momentów gnących:
0 > x1 > 0, 25m,
Mg(x1) = −Pr • x1
0, 25m > x2 > 0, 65m ,
Mg(x2) = −Pr • x2 + Ray • (x2−0,25)
Rozkład momentów gnących:
Zakładam materiał C60:
kgj = 162MPa,ksj = 105MPa.
$$\alpha = \frac{k_{\text{gj}}}{k_{\text{sj}}} = \frac{162}{105} = 1,54$$
Naprężenia zastępcze:
$$\sigma_{z} = \sqrt{\left( \frac{\text{Mg}}{W_{x}} \right)^{2} + {(\alpha\frac{\text{Ms}}{W_{o}})}^{2}}$$
Ponieważ Mg > 2Ms
$$M_{z} = \sqrt{\text{Mg}^{2} + {(\frac{\alpha}{2}Ms)}^{2}}$$
$$M_{\text{z\ max}} = \sqrt{{\text{Mg}_{\max}}^{2} + {(\frac{\alpha}{2}Ms)}^{2}} = \sqrt{{( - 500)}^{2} + {(\frac{1,54}{2}25,46)}^{2}} = 500,5Nm$$
Rozkład momentu zastępczego:
Wyznaczenie średnicy teoretycznej wałka:
Ponieważ przewarzające są naprężenia gnące średnice teoretyczną wyznaczam według wzoru:
$$\sigma_{z} = \sqrt{\frac{\text{Mz}}{W_{x}}} \leq k_{\text{gj}},\ \ \ \ W_{x} = \frac{\pi d^{3}}{32}\ = > \ \ d = \sqrt[3]{\frac{32Mz}{\pi k_{\text{gj}}}}$$
Zarys teoretyczny wałka:
Wstępny dobór średnic wałka:
Średnice od lewej:
d1 = 16mm,
d2 = 20mm,
d3 = 24mm,
d4 = 20mm,
d5 = 16mm,
d6 = 12mm,
2) Obliczenia sprawdzające:
Sprawdzam sztywność wałka:
Rozkład momentów gnących z kierunku lewo na prawo:
Mg(x) = −Pr • x + Ray • (x−0,25)
Rozkład momentów gnących z kierunku prawo na lewo:
Mg(x) = −Rb • (x − 0, 2)+Ray • (x−0,6)
Kąt ugięcia:
$$EJ_{y}\frac{\text{dW}}{\text{dx}} = \int_{}^{}{\text{Mg}\left( x \right)dx = \int_{}^{}{\left( - Pr \bullet x + R_{\text{ay}} \bullet \left( x - 0,25 \right) \right)\text{dx}}}$$
$$EJ_{y}\frac{\text{dW}}{\text{dx}} = - \frac{\Pr}{2}x^{2} + \frac{R_{\text{ay}}}{2}\left( x - 0,25 \right)^{2} + C$$
Strzałka ugięcia:
$$EJ_{y}W = \int_{}^{}{\frac{\text{dW}}{\text{dx}}\text{dx\ }} = - \frac{\Pr}{6}x^{3} + \frac{R_{\text{ay}}}{6}\left( x - 0,25 \right)^{3} + Cx + D$$
Przyjmuje moduł Younga dla stali E = 216 • 105 MPa
Moment bezwładności dla przekroju kołowego:
$$J_{y} = \frac{\pi d^{4}}{64}$$
Warunki brzegowe:
1) x = 0, 65m, W = 0
$$0 = - \frac{\Pr}{6}x^{3} + \frac{R_{\text{ay}}}{6}\left( x - 0,25 \right)^{3} + Cx + D = - \frac{2000}{6}{0,65}^{3} + \frac{3250}{6}\left( 0,65 - 0,25 \right)^{3} + C0,65 + D$$
2) x = 0, 25m , W = 0
$$0 = - \frac{\Pr}{6}x^{3} + Cx + D = - \frac{2000}{6}{0,25}^{3} + C0,25 + D$$
D = 5, 2 − 0, 25C
Po podstawieniu:
0 = −91, 54 + 34, 67 + 0, 65C + 5, 2 − 0, 25C
$$C = \frac{51,67}{0,4} = 129,175$$
D = 5, 2 − 0, 25C = −27, 09
Równanie linii ugięcia belki:
$$EJ_{y}W = - \frac{\Pr}{6}x^{3} + \frac{R_{\text{ay}}}{6}\left( x - 0,25 \right)^{3} + 129,175x - 27,09$$
Równanie kąta ugięcia belki:
$$EJ_{y}\frac{\text{dW}}{\text{dx}} = - \frac{\Pr}{2}x^{2} + \frac{R_{\text{ay}}}{2}\left( x - 0,25 \right)^{2} + 129,175$$
Wartości strzałki i kąta ugięcia dla poszczególnych średnic wału:
Dopuszczalna wartość strzałki ugięcia dla wału pędnego wynosi: Wdop = 0, 0002 do 0, 0003 L gdzie L- długość wału.
Wdop = 0, 000255m
Wartość strzałki ugięcia jest za duża dla średnicy d1 = 0, 016m więc zwiększam średnice d1 do 20mm
Wyznaczenie kąta ugięcia w miejscu osadzenia łożysk:
x = 0, 25m ,
W=0
$$\frac{\text{dW}}{\text{dx}} = \left( - \frac{\Pr}{2}x^{2} + 129,175 \right) \bullet \frac{64}{\pi\left( 0,025 \right)^{2} \bullet 161 \bullet 10^{11}} = 2,2 \bullet 10^{- 9}\text{rad}$$
Tolerancja dla łożysk kulkowych wynosi 2-10’ więc nie ma przeszkód do stosowania łożyska kulkowego.
Obciążenie Łożyska:
Siła osiowa działająca na łożysko:
Fo = Ray = 3, 25kN
Określam nośność Łożyska:
C = Rayfhfd
Zakładam trwałość łożyska na Lh = 5000h
$$f_{h} = \sqrt[3]{\frac{\text{Lh}}{500}} = \sqrt[3]{\frac{5000}{500}} = 2,15$$
Prędkość obrotowa wału wynosi $n = 3000\frac{\text{obr}}{\min}$
$$f_{d} = \sqrt[3]{\frac{n}{33,3}} = \sqrt[3]{\frac{3000}{33,3}} = 4,48$$
Nośność łożyska :
C = 3, 25 • 2, 15 • 4.48 = 31, 3 kN
Dobieram Łożysko:
Ponieważ oprócz sił promieniowych występują siły osiowe dobierał łożysko kulkowe skośne:
Nośność Łożyska:
C = 39kN
Wymiary łożyska:
Łożyska będą zamocowane za pomocą nakrętki łożyskowej KMFE ze śrubą blokującą:
Rozmiar śruby blokującej:
M5 moment dokręcenia 4 Nm.
Wyznaczenie kąta ugięcia dla podpory przesuwnej:
x = 0, 65m,
$$\frac{\text{dW}}{\text{dx}} = \left( - \frac{\Pr}{2}x^{2} + \frac{R_{\text{ay}}}{2}\left( x - 0,25 \right)^{2} + 129,175 \right) \bullet \frac{64}{\pi\left( 0,012 \right)^{2} \bullet 161 \bullet 10^{11}} = 0,0015\ rad = 0,085 = 5,1'$$
Kąt ugięcia mieści się w granicach zastosowania łożyska kulkowego.
Siła osiowa działająca na łożysko:
Fo = Rb = 1, 25kN
Określam nośność Łożyska:
C = Rayfhfd
Zakładam trwałość łożyska na Lh = 5000h
$$f_{h} = \sqrt[3]{\frac{\text{Lh}}{500}} = \sqrt[3]{\frac{5000}{500}} = 2,15$$
Prędkość obrotowa wału wynosi $n = 3000\frac{\text{obr}}{\min}$
$$f_{d} = \sqrt[3]{\frac{n}{33,3}} = \sqrt[3]{\frac{3000}{33,3}} = 4,48$$
Nośność łożyska :
C = 1, 25 • 2, 15 • 4.48 = 12, 04 kN
Dobieram Łożysko:
2 Łożysko kulkowe jednorzędowe, uszczelki z obu stron
Nośność zespołu Łożysk:
C = 1, 62 • CL = 1, 62 • 9, 85 = 15, 8 kN
Wymiary:
Łożysko zostanie zamocowane za pomocą pierścienia osadczego:
Dobieram uszczelnienie typu A simmering:
Dla podpory stałej: A 25x45x10
Drgania wału:
Szacuje ciężar wału:
Gęstość stali : $7,86\frac{g}{\text{cm}^{3}}$
Objętość wałka :
V = 1351, 1cm3
Masa wałka:
m = ρ • V = 1351, 1 * 7, 86 = 10, 62 kg
Siła powodująca ugięcie wałka:
Fu = m • g = 104, 2N
Reakcje w podporach:
Ra = Rb = 52, 09N
Rozkład momentu gnącego:
Mg(x) = Ra • x2 − mg • (x−0,425)
Kąt ugięcia:
$$EJ_{y}\frac{\text{dW}}{\text{dx}} = \int_{}^{}{\text{Mg}\left( x \right)dx = \int_{}^{}{\left( Ra \bullet x_{2} - mg \bullet \left( x - 0,425 \right) \right)\text{dx}}}$$
$$EJ_{y}\frac{\text{dW}}{\text{dx}} = \frac{\text{Ra}}{2}x^{2} - \frac{\text{mg}}{2}\left( x - 0,425 \right)^{2} + C$$
Strzałka ugięcia:
$$EJ_{y}W = \int_{}^{}{\frac{\text{dW}}{\text{dx}}\text{dx\ }} = \frac{\text{Ra}}{6}x^{3} - \frac{\text{mg}}{6}\left( x - 0,425 \right)^{3} + Cx + D$$
Warunki brzegowe:
1) x = 0, W = 0
$$0 = \frac{\text{Ra}}{6}x^{3} + Cx + D\ \ = > D = 0$$
2) x = 0, 85m , W = 0
$$0 = \frac{\text{Ra}}{6}x^{3} - \frac{\text{mg}}{6}\left( x - 0,425 \right)^{3} + Cx + D = \frac{52,09}{6}{0,85}^{3} - \frac{104,2}{6}\left( 0,85 - 0,425 \right)^{3} + C0,85 + 0$$
C = −4
Równanie na strzałkę ugięcia ma postać :
$$EJ_{y}W = \frac{\text{Ra}}{6}x^{3} - \frac{\text{mg}}{6}\left( x - 0,425 \right)^{3} - 4x$$
Wyliczam wartość strzałki dla x=0,425m
$$J_{y} = J_{y} = \frac{\pi d^{4}}{64} = \frac{\pi{0,025}^{4}}{64} = 1.9 \bullet 10^{- 8}$$
E = 216 • 105 MPa
$$EJ_{y}W = \frac{\text{Ra}}{6}x^{3} - \frac{\text{mg}}{6}\left( x - 0,425 \right)^{3} + 0,76x = \frac{52,09}{6}{0,425}^{3} - 4*0,425$$
W = 2, 52
Obliczam wartość prędkości krytycznej:
$$\omega_{\text{kr}} = \sqrt{\frac{g}{W}} = \sqrt{\frac{9,81}{2,87 \bullet 10^{- 16}}} = 3,9\frac{\text{rad}}{s} = 1470\frac{\text{obr}}{\min}$$
Wał będzie pracował na parametrach nad krytycznych.
Wyliczenie kata skręcenia wału:
$$\varphi_{s} = Ms\sum_{}^{}\frac{l}{GJ_{o}}$$
G = 82, 5 • 109 MPa,
Ponieważ moment skręcający jest niewielki obliczenia kontu skręcania wału pomijam.
3) Końcowe kształtowanie wału:
Obliczenia wpustu mocującego sprzęgło silnika do wału:
Dobieram wpust:
Materiał E295:
Pdop = 109MPa
ktj = 46MPa
Siła działająca na wpust:
$$F = \frac{2M_{s}}{d}$$
Obliczenie długości wpustu L z warunku na docisk powierzchniowy:
$$p = \frac{F}{A} \leq P_{\text{dop}}\ \ \ \ \ \ F = \frac{2M_{s}}{d}\ \ \ \ \ \ A = t_{1} \bullet L \bullet$$
$$l \geq \frac{2M_{s}}{dt_{1}P_{\text{dop}}}\ \ \ = > \ \ \ l \geq 9,7mm$$
Dobieram długość czynną wpustu l = 10mm długość całkowita wpustu L=15mm
Sprawdzam dobraną długość wpustu z warunku na ścinanie:
$$\delta_{t} = \frac{F}{A} \leq k_{\text{tj}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ F = \frac{2M_{s}}{d}\ \ \ \ \ \ A = bl$$
$$\delta_{t} = \frac{2M_{s}}{d \bullet b \bullet l} = 38,3kPa\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \delta_{t} \leq k_{\text{tj}}$$
Warunek wytrzymałościowy jest spełniony.
Obliczanie wpustu do zamocowania wrzeciona obrabiarki na wale:
Siła działająca na wpust:
$$F = \frac{2M_{s}}{d}$$
Obliczenie długości wpustu L z warunku na docisk powierzchniowy:
$$p = \frac{F}{A} \leq P_{\text{dop}}\ \ \ \ \ \ F = \frac{2M_{s}}{d}\ \ \ \ \ \ A = t_{1} \bullet L \bullet$$
$$l \geq \frac{2M_{s}}{dt_{1}P_{\text{dop}}}\ \ \ = > \ \ \ l \geq 6,7mm$$
Dobieram długość czynną wpustu l = 8mm długość całkowita wpustu L=14mm
Sprawdzam dobraną długość wpustu z warunku na ścinanie:
$$\delta_{t} = \frac{F}{A} \leq k_{\text{tj}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ F = \frac{2M_{s}}{d}\ \ \ \ \ \ A = bl$$
$$\delta_{t} = \frac{2M_{s}}{d \bullet b \bullet l} = 66,3kPa\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \delta_{t} \leq k_{\text{tj}}$$
Warunek wytrzymałościowy jest spełniony. |