Artur Bugajski

Dwójkowy system liczbowy (inaczej: system binarny) – system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwie cyfry: 0 i 1. Powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych. Przyjął się też w informatyce.

Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi podstawy systemu.

Przeliczanie liczby z Systemu dwójkowego na System dziesiętny

  Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w systemach - jaka liczba jest ich podstawą.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Aby przeliczyć liczbę z systemu dwójkowego na dziesiętny musimy skorzystać z poniższego wzoru:

Załóżmy, że chcemy przeliczyć z systemu dwójkowego na dziesiętny liczbę:

10101101

W powyższym wzorze w miejsca x'ów wstawiamy na odpowiednie (kolejne) pozycje kolejne cyfry z przeliczanej liczby. Wyglądało by to tak:

Aby uzyskać ostateczny wynik musimy jeszcze to wszystko wyliczyć. Na pierwszy rzut oka może wydawać się to odrobinę skomplikowane ale przy odrobinie wprawy jest to proces bardzo prosty. Wystarczy zauważyć pewną zależność - każda następna potęga liczby 2 jest od swojego poprzednika dokładnie dwukrotnie większa. np: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 (oczywiście kolejne liczby są tworzone tak samo 256, 512, 1024, 2048, itd.).

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

I już jest trochę prościej, aby jeszcze całą sprawę ułatwić usuńmy z naszego równania wszystkie elementy które nie mają wpływu na jego ostateczny wynik tzn. wszystkie mnożenia przez zero.

Jak widać zostały nam w równaniu mnożenia... ale mnożenie przez 1 nic nie zmienia, więc zróbmy kolejne uproszczenie.

No cóż niewiele zostało z naszego pierwotnego równania. Wystarczy tylko dodać liczby a otrzymany wynik jest naszą "przeliczoną" z systemu dwójkowego na dziesiętny liczbą. W tym wypadku jest to liczba 173.

Jak widać przeliczanie liczb z systemu dwójkowego na dziesiętny polega na dodawaniu odpowiednich potęg liczby 2.

Przeliczanie liczby z Systemu dziesiętnego na System dwójkowy

Przeliczanie z systemu dziesiętnego na dwójkowy jest odrobinę bardziej skomplikowane. Aby z liczby dziesiętnej uzyskać odpowiadającą jej liczbę dwójkową należy dzielić daną liczbę przez 2, wyniki kolejnych dzieleń zapisujemy w słupku reszty z dzieleń zapisujemy po prawej stronie za kreską, kolejne dzielenia wykonujemy do momentu aż uzyskamy wynik z dzielenia mniejszy niż 1.

Teraz wystarczy przepisać uzyskane reszty z dzieleń od dołu do góry: 10101101.