Zadanie projektowe
Zaprojektować regulator PI tak, aby otrzymać przeregulowanie k=20% i maksymalny czas regulacji tr Układem regulacji jest układ statyczny opisywany wzorem.
$$\text{Go}\left( s \right) = \frac{\text{Ko}}{\left( 1 + sT_{1} \right)(1 + sT_{2})}$$
Powyższy model jest to model dokładny o parametrach Ko=1,7s ; T1=50s; T2=80s. W rzeczywistości nie jesteśmy w stanie uzyskać rzeczywistego wzoru opisującego obiekt badany.
Transmitancja obiektu ma postać analitycznej.
Proces projektowania regulatora
Podczas projektowania regulatora będziemy posługiwać się wzorami przybliżonymi opisującymi układ.
$$G\left( s \right) = \frac{K}{\left( 1 + sT1 \right)*\left( 1 + sT2 \right)}\sim\frac{K}{{(1 + sTn)}^{2}}$$
$$Goi = \frac{K}{1 + sT_{n}}*e^{- sT_{0}}$$
Tn – czas zastępczy
T0 – opóźnienie transportowe
Wyliczona transmitancja zastępcza badanego układu:
$$G\left( s \right) = \frac{\text{Ko}}{(1 + sTr)}e^{- sTo} = \frac{1,7}{(1 + s125)}e^{s17,8}$$
Proces przekształcania Transmitancji obiektu, regulatora i całego układu, aby uzyskać nastawy regulacji.
$$Gr = Kp\left( 1 + sTd + \frac{1}{\text{sTi}} \right) = Kp(1 + \left( \frac{\text{sTi}}{4} \right) + \left( \frac{1}{\text{sTi}} \right) = Kp*\frac{\left( 1 + \left( \frac{\text{sTi}}{2} \right) \right)^{2}}{\text{sTi}}$$
Przekształcenie jest to możliwe pamiętając, że $\text{Td} = \frac{\text{Ti}}{4}$
Zebrane transmitancje przybliżona obiektu i przekształcona transmitancja regulatora
$$G_{0} = \frac{K}{\left( 1 + sTn \right)^{2}}$$
$$Gr = Kp*\frac{\left( \left( 1 + s*\left( \frac{\text{Ti}}{2} \right) \right)^{2} \right)}{s*TI}$$
Schemat zamkniętego układu obiektu i regulatora
x – sygnał wejściowy
y – sygnał wyjściowy
e – suma sygnału wejściowego i wyjściowego (sprzężenie zwrotne)
u – sygnał po regulacji przez regulator wysyłany do obiektu regulowanego
Transmitancja otwartego układu regulacji
$$G = Gr*Go = Kp*\left( \frac{\left( 1 + s*\frac{\text{Ti}}{2} \right)^{2}}{s}*Ti \right)*\left( \frac{K}{\left( 1 + sTn \right)^{2}} \right) = \frac{K*Kp}{\text{sTi}}$$
Transmitancja zamkniętego układu regulacji
$$Gz = \frac{G}{1 + G} = \frac{\frac{K*Kp}{\text{sTi}}}{1 + \left( \frac{K*Kp}{\text{sTi}} \right)} = \frac{K*Kp}{sTi + \left( Kp*K \right)} = \frac{1}{\frac{\text{Ti}}{Kp*K}*s + 1}$$
Zakładając, że:
$$Tz = \frac{\text{Ti}}{Kp*K}$$
Ostateczna transmitancja układu regulacji zamkniętego jest następująca:
$$Gz = \frac{1}{sTz + 1}$$
Wyznaczenie wzoru, dzięki któremu zakładając czas regulacji(tr) będziemy mogli dobrać współczynnik wzmocnienia regulatora do tego czasu(tr):
tr = 4 * Tz
$$tr = 4*\left( \frac{\text{Ti}}{Kp*K} \right)$$
$$tr = \frac{4Ti}{Kp*K}$$