Nowy Dokument programu Microsoft Office Word (22)

TEMAT: Wyznaczyć Metodą Różnic Skończonych i Metodą Elementów Skończonych ekstremalne przemieszczenia i siły wewnętrzne dla belki wg schematu



1. ROZWIĄZANIE ZA POMOCĄ METODY ANALITYCZNEJ – ROZWIĄZANIE DOKŁADNE

a) Reakcje podporowe:


X = 0           ⇒           H = 0 kN


Y = 0           ⇒           V = 30 kN


MA = 0        ⇒           M = 70 kNm

b) Siły wewnętrzne:

Siły tnące:


TA − 1 = V = 30 kN


T1 − 2 = V − P = 30 − 10 = 20 kN


T3 = qL = 0 kN 

Momenty zginające:


MA = −M = −70 kNm


$$M_{1} = - M + V\frac{L}{2} = - 40\ kNm$$


$$M_{2} = - q\frac{L^{2}}{2} = - 20\ kNm$$


M3 = 0 kNm

1. METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH

a) Momenty zginające:

b) Dyskretyzacja:

c) Iloraz różnicowy:

Węzeł 1: $\frac{w_{2} - 2w_{1} + w_{0}}{x^{2}} = - \frac{1}{\text{EI}}M(x)$

Węzeł 2: $\frac{w_{3} - 2w_{2} + w_{1}}{x^{2}} = - \frac{1}{\text{EI}}M(x)$

Węzeł 3: $\frac{w_{4} - 2w_{3} + w_{2}}{x^{2}} = - \frac{1}{\text{EI}}M(x)$

Węzeł 4: $\frac{w_{5} - 2w_{4} + w_{3}}{x^{2}} = - \frac{1}{\text{EI}}M(x)$

Węzeł 5: $\frac{w_{6} - 2w_{5} + w_{4}}{x^{2}} = - \frac{1}{\text{EI}}M(x)$

d) Warunki brzegowe wynikające ze sposobu podparcia belki:


w1 = 0


$$\varphi_{1} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\text{dw}}{\text{dx}} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{w_{2} - w_{0}}{2x} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w_{2} = w_{0}$$

$\frac{w_{2} + w_{2}}{x^{2}} = - \frac{1}{\text{EI}}M\left( x \right)\ / \bullet x^{2}$

$\frac{w_{3} - 2w_{2}}{x^{2}} = - \frac{1}{\text{EI}}M\left( x \right)\ / \bullet x^{2}$

$\frac{w_{4} - 2w_{3} + w_{2}}{x^{2}} = - \frac{1}{\text{EI}}M\left( x \right)\ / \bullet x^{2}$

$\frac{w_{5} - 2w_{4} + w_{3}}{x^{2}} = - \frac{1}{\text{EI}}M\left( x \right)\ / \bullet x^{2}$

$\frac{w_{6} - 2w_{5} + w_{4}}{x^{2}} = - \frac{1}{\text{EI}}M\left( x \right)\ / \bullet x^{2}$

$2w_{2} = - \frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right)\ / \bullet \frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w_{2} = - \frac{1}{2}\frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right)\ $

$w_{3} - 2w_{2} = - \frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right)$


$$w_{3} = - \frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right) + 2w_{2}$$

$w_{3} = - \frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right) + 2\left( - \frac{1}{2}\frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right) \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w_{3} = - 2\frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right)$

$w_{4} - 2w_{3} + w_{2} = - \frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right)$


$$w_{4} = - \frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right) + 2w_{3} - w_{2}$$


$$w_{4} = - \frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right) + 2\left( - 2\frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right) \right) - \left( - \frac{1}{2}\frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right) \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w_{4} = - 4,5\frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right)$$

$w_{5} - 2w_{4} + w_{3} = - \frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right)$


$$w_{5} = - \frac{x^{2}}{EI}M\left( x \right) + 2w_{4} - w_{3}$$


$$w_{5} = - \frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right) + 2\left( - 4,5\frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right) \right) - \left( - 2\frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right) \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w_{5} = - 8\frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right)$$

Rozwiązanie:

w1 = 0

$w_{2} = - \frac{1}{2}\frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right)\ $

$w_{3} = - 2\frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right)$

$w_{4} = - 4,5\frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right)$

$w_{5} = - 8\frac{x^{2}}{\text{EI}}M\left( x \right)$

Przyjęto: DWUTEOWNIK IPE 200


I = Iy = 1940 cm4 = 1940 • 10−8 m4


$$E = 210000\ \frac{N}{\text{mm}^{2}} = 210 \bullet 10^{6}\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$


$$x = \frac{L}{2} = \frac{2}{2} = 1\ m$$


x2 = 1 m2

w1 = 0 m

$w_{2} = - \frac{1}{2} \bullet \frac{1}{210 \bullet 10^{6} \bullet 1940 \bullet 10^{- 8}} \bullet \left( - 40 \right) = \ 4,909 \bullet 10^{- 3}\text{\ m}$

$w_{3} = - 2 \bullet \frac{1}{210 \bullet 10^{6} \bullet 1940 \bullet 10^{- 8}} \bullet \left( - 20 \right) = 9,818 \bullet 10^{- 3}\text{\ m}$

$w_{4} = - 4,5 \bullet \frac{1}{210 \bullet 10^{6} \bullet 1940 \bullet 10^{- 8}} \bullet \left( - 5 \right) = 5,523 \bullet 10^{- 3}m$

$w_{5} = - 8 \bullet \frac{1}{210 \bullet 10^{6} \bullet 1940 \bullet 10^{- 8}} \bullet 0 = 0\ m$

2. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

W celu rozwiązania zadania belka zostaje podzielona na elementy skończone e1 i e2:

Macierze sztywności elementów e1 i e2:

Elementy e1 i e2 mają takie same długości, stąd:

dla L=2,0 m

Wektory równoważnych sił węzłowych:

Wartości sił węzłowych odczytano z tablic:

Agregacja:

Macierz globalna F:

Globalna macierz sztywności K:

Globalna macierz przemieszczeń δ:

Ponieważ oraz , powyższe równanie ma postać:

Rozwiązanie układu równań:

Przyjęto: DWUTEOWNIK IPE 200


I = Iy = 1940 cm4 = 1940 • 10−8 m4


$$E = 210000\ \frac{N}{\text{mm}^{2}} = 210 \bullet 10^{6}\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

Obliczenie sił wewnętrznych:


Fe = Fe + Ke • δe

Wykresy momentów zginających pośrodku elementów e1 i e2 wyznaczono korzystając ze znajomości sił tnących.

Wykresy sił wewnętrznych w zadanej belce otrzymane poprzez rozwiązanie metodą elementów skończonych:

Wnioski:

Otrzymane wyniki są do siebie zbliżone.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word (2)
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word (16)
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word (3)
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word (19)
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word (2)
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word 6
Fiza laborka Nowy Dokument programu Microsoft Office Word
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word 2
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word (2)
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word (6)
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word 8
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word
Aniołek Nowy Dokument programu Microsoft Office Word
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word (9)
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word
Nowy Dokument programu Microsoft Office Word

więcej podobnych podstron