Wydział Metali Nieżelaznych	Imię i nazwisko		Rok	Grupa	Zespół
	1.Patryk Kędzia		II	II	1
	2.Damian Krupiński
PRACOWNIA	Temat:				Nr ćwiczenia
FIZYCZNA	Pomiar przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła matematycznego.
WFiIS AGH
Data wykonania	Data oddania	Zwrot do popr.	Data oddania	Data zaliczenia	OCENA
02.10.2014

1. Cel ćwiczenia:

Zaznajomienie się z typowymi metodami opracowania danych pomiarowych przy wykorzystaniu wyników pomiarów dla wahadła prostego

1. Skład układu doświadczalnego:

-przymiar liniowy;

-sekundomierz;

-wahadło proste.

1. Sposób wykonywania ćwiczenia:

-najpierw zmierzyliśmy za pomocą przymiaru liniowego długość nici wahadła mierząc od mocowania nici do wahadła do środka ciężarka

-wprowadziliśmy wahadło w ruch drgający o małym wychyleniu (<3stopnie) i zmierzyliśmy czas 10 okresów za pomocą stopera

-pomiar powtórzyliśmy dziesięciokrotnie.

Wyniki pomiarów

Tabela 1. Pomiar okresu drgań przy ustalonej długości wahadła

długość wahadła		l = 25.75 [cm]
niepewność pomiaru	∆ (l) ≈ 1 [mm]
	Lp.	liczba
		okresów	k
	1	10
	2	10
	3	10
	4	10
	5	10
	6	10
	Średnia wartość	10.47	1.047

Opracowanie wyników pomiaru:

● Nasza tabela poprzednio zawierała błąd gruby. Polegał on na złym obliczeniu okresu T_i oraz licznych błędach wynikających z tego faktu w późniejszych obliczeniach.

● Niepewność pomiaru typu A (standardowe odchylenie średniej)

$$\overset{\overline{}}{T} = \frac{1}{n}\sum_{}^{}T_{i} = 1.047$$

$$u\left( T \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(T_{i} - \overset{\overline{}}{T})}^{2}}{n(n - 1)}} = = \sqrt{\frac{{(1.053 - 1.047)}^{2} + {(1.053 - 1.047)}^{2} + {(1.043 - 1.047)}^{2} + {(1.040 - 1.047)}^{2} + {(1.053 - 1.047)}^{2} + {(1.040 - 1.047)}^{2}}{6(6 - 1)}} \approx 0,0027\ \lbrack s\rbrack$$

●Niepewność standardowa typu B

Δl = 1 [mm]

$$u\left( l \right) = \frac{\text{Δl}}{\sqrt{3}} \approx 0.58\ \lbrack mm\rbrack$$

●Obliczanie przyspieszenia ziemskiego na podstawie uzyskanych wartości:

$$g = \frac{4\pi^{2} \bullet l}{T^{2}} = \frac{{4\pi}^{2} \bullet 0,2575}{{1.047}^{2}} \approx 9.274\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

Gdzie:

l – długość wahadła: 0,2575[m]

T- średnia wartość okresów: 1.047[s]

● Obliczanie niepewności złożonej u_c(g) przy pomocy prawa przenoszenia niepewności:

$$u_{c}\left( g \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{{4\pi}^{2}}{T^{2}}u(l) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{8\pi^{2}l}{T^{3}}u(T) \right\rbrack^{2}} = \sqrt{\left\lbrack \frac{4\pi^{2}}{{1,047}^{2}} \bullet 0,00058 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{8\pi^{2} \bullet 0,2575}{{1,047}^{3}} \bullet 0,0027 \right\rbrack^{2}} \approx 0.052\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

Gdzie:

T - 1.047 [s]

u(T) – 0,0027 [s]

l – 0,2575 [m]

u(l) – 0,00058[m]

● Obliczanie niepewności rozszerzonej:

$$u\left( g \right) = k \bullet u_{c}\left( g \right) = 2 \bullet 0.052 \approx 0.104\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

Gdzie:

k = 2 (zgodnie z normami)

● Sprawdzanie czy uzyskana wartość przyspieszenia ziemskiego jest zgodna, w granicach niepewności rozszerzonej, z wartością tabelaryczną:

$$g = 9,8105 - 9,2735 = 0,537\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

$$0,537\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack > 0,104\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

Po przeprowadzeniu doświadczeniu uzyskaliśmy wynik przyspieszenia ziemskiego równy 9,274. Oznacza to, że pięciokrotnie wyszedł on poza granice niepewności rozszerzonej (0,104). Błąd, który wyniknął w trakcie przeprowadzonego doświadczenia wynika z niedokładnego wychylenia wahadła z punktu równowagi oraz na posługiwania się stoperem.

● Wykres zależności okresu od długości wahadła.

Tabela 2. Pomiar zależności okresu drgań od długości wahadła

Lp.	l [mm]	k	t [s]	Ti [s]	Ti^2 [s^2]
1	215	10	9.38	0.938	0.879
2	257.5	10	10.47	1.047	1.096
3	307.5	10	11.22	1.122	1.259
4	337.5	10	12.33	1.233	1.520
5	407.5	10	13.49	1.349	1.820

●Wykres ${\overset{\overline{}}{T}}^{2}(l)$

● Niepewność pomiaru typu A (standardowe odchylenie średniej)

$$\overset{\overline{}}{T} = \frac{1}{n}\sum_{}^{}T_{i} = 1,138 \approx 1,14$$

$$u\left( T \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(T_{i} - \overset{\overline{}}{T})}^{2}}{n(n - 1)}} = = \sqrt{\frac{{(0.938 - 1.138)}^{2} + {(1.047 - 1.138)}^{2} + {(1.122 - 1.138)}^{2} + {(1.233 - 1.138)}^{2} + {(1.349 - 1.138)}^{2}}{5(5 - 1)}} \approx 0,07\ \lbrack s\rbrack$$

●Obliczanie przyspieszenia ziemskiego na podstawie uzyskanych wartości:

$$g = \frac{4\pi^{2} \bullet l}{{\overset{\overline{}}{T}}^{2}} = \frac{{4\pi}^{2} \bullet 0,307}{{1.138}^{2}} \approx 9.3587\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

Gdzie:

$$\overset{\overline{}}{l} = 307\ \lbrack mm\rbrack$$

$$\overset{\overline{}}{T} = 1.138\ \lbrack s\rbrack$$

● Obliczanie niepewności złożonej u_c(g) przy pomocy prawa przenoszenia niepewności:

$$u_{c}\left( g \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{{4\pi}^{2}}{T^{2}}u(l) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{8\pi^{2}l}{T^{3}}u(T) \right\rbrack^{2}} = \sqrt{\left\lbrack \frac{4\pi^{2}}{{1,138}^{2}} \bullet 0,00058 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{8\pi^{2} \bullet 0,307}{{1,138}^{3}} \bullet 0,07 \right\rbrack^{2}} \approx 1.15\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

Gdzie:

T - 1.138 [s]

u(T) – 0,07 [s]

l – 0,307 [m]

u(l) – 0,00058[m]

● Obliczanie niepewności rozszerzonej:

$$u\left( g \right) = k \bullet u_{c}\left( g \right) = 2 \bullet 1,15 = 2,3\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

Gdzie:

k = 2 (zgodnie z normami)

● Sprawdzanie czy uzyskana wartość przyspieszenia ziemskiego jest zgodna, w granicach niepewności rozszerzonej, z wartością tabelaryczną:

$$g = 9,8105 - 9,3587 = 0,4518\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

$$2,3\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack > 0,4518\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

W niepewności rozszerzonej mieści się wynik przyspieszenia ziemskiego g, który otrzymaliśmy w doświadczeniu. Szczególną uwagę należy zwrócić na to, iż obliczyliśmy tak dużą niepewność zgodnie z danymi, które otrzymaliśmy. Niedokładnie wykonane przez nas pomiary są powodem, przez który otrzymaliśmy tak dużą wartość. Największą trudność przysporzył nam kąt wychylenia wahadła oraz precyzyjne zmierzenie czasu, za pomocą stopera. Gdybyśmy posiadali możliwość pomiaru urządzeniem posiadającym fotokomórkę z pewnością pomiary byłyby dokładniejsze, bardziej precyzyjne.