Spis treści:

1.Przedstawić podstawowe cele i zadania wytrzymałości materiałów 2

2. , 3. Wyjaśnić pojęcie – materiał jednorodny, materiał niejednorodny. 2

2. Wyjaśnij pojęcie „Materiał jednorodny” 2

4. Wyjaśnij pojęcie „materiał izotropowy” 2

5. Wyjaśnić pojęcie materiał anizotropowy 2

6. Wyjaśnij pojęcie ‘materiał ortotropowy’. 2

7. Wyjaśnij pojęcia – siły i przemieszczenia ogólne. 3

8.Wyjaśnić pojęcie- odkształcenie wzdłużne. 6

9.Wyjaśnij pojęcie – odkształcenie postaciowe 6

10. Wyjaśnij pojęcia ‘naprężenia styczne, naprężenia normalne, naprężenia zastępcze’ 7

12.Wyjaśnic pojęcie odkształcenie wzdłużne 8

13. Omów siły zewnętrzne i wewnętrzne. 8

14. Zjawisko rozciągania (model konstrukcji, sztywność, siły wewnętrzne, naprężenia, odkształcenia, przemieszczenia). 8

16. Zjawisko zginania 8

17. Zjawisko skręcania (model konstrukcji, sztywność, siły wewnętrzne, naprężenia, odkształcenia, przemieszczenia) 12

18. Wyjaśnić pojęcie sztywności na ściskanie, zginanie i skręcanie. 13

19. Omówić prawo Hooke’a 15

20. Omówić zasadę de Saint-Venanta. 15

21.Wyjaśnij pojęcia naprężenia dopuszczalne (współczynniki bezpieczeństwa) 16

23. Odkształcenia i naprężenia wywołane temperaturą 17

24.Pojęcie momentu bezwładności figury płaskiej. 17

25. Czego dotyczy twierdzenie Steinera? 17

26.Wyznaczenie współrzędnych środka ciężkości figury płaskiej. 18

27 . Wyjaśnić pojęcie główne momenty bezwładności figury. 18

28. Wyznaczanie głównych osi przekroju. 18

29. Wyznaczenie momentu bezwładności przekroju względem osi obróconych o dowolny kąt. 19

30. Równanie różniczkowe linii ugięcia belki. 22

31. Zależności różniczkowe między obciążeniem ciągłym, siłą tnącą, momentem gnącym, kątem obroty i przemieszczeniem w belkach. 22

34. wymienić znane hipotezy wytrzymałościowe 22

36. Obliczanie konstrukcji zginanej z równoczesnym skręcaniem [rdzeń przekroju]. 23

37. Naprężenia zredukowane. 23

1.Przedstawić podstawowe cele i zadania wytrzymałości materiałów

Wytrzymałość materiałów jest nauką stosowaną, zajmującą się badaniem zjawisk występujących w ciałach rzeczywistych, odkształcalnych poddanych określonemu obciążeniu. Opierając się na prawach mechaniki ciał stałych nauka ta uwzględnia zdolność ciał do odkształceń pod wpływem działających sił.
Wytrzymałość materiałów obejmuje swoim zakresem badanie sił i ustalenie zależności pomiędzy odkształceniami ciał a siłami stanowiącymi obciążenie tych ciał. Podstawowym celem wytrzymałości materiałów jest stworzenie podstaw teoretycznych dla praktyki inżynierskiej.

2. , 3. Wyjaśnić pojęcie – materiał jednorodny, materiał niejednorodny.

Materiał jednorodny ciała to taki, którego interesujące nas właściwości fizyczne

są takie same w każdej jego części. Jeżeli ciało nie spełnia tego warunku, to jego materiał uważamy za niejednorodny. Z pojęcia jednorodność wynika, że w uproszczonym modelu materiał wypełnia objętość ciała w sposób ciągły. Przy analizie takiego ciała można wówczas stosować pojęcia i cały aparat analizy matematycznej, jak różniczkowanie i całkowanie.

2. Wyjaśnij pojęcie „Materiał jednorodny”

Jest to materiał bez różnic we właściwościach fizycznych, np. takich jak: rozszerzalność cieplna, w danym punkcie we wszystkich kierunkach właściwości fizyczne są takie same [np.stal]
To materiał złożony z jednego rodzaju materiału w każdym przekroju mający tą samą fazę, jakość. [przeciwieństwo materiał niejednorodny – sęk w drewnie, wytrącenia bainityczne w stali]

4. Wyjaśnij pojęcie „materiał izotropowy”

Materiał izotropowy-materiał wykazujący jednakowe własności mechaniczne, niezależnie od kierunku działania sił. Wyjątek pod tym względem stanowi drewno, jako materiał o budowli włóknistej.

5. Wyjaśnić pojęcie materiał anizotropowy

Materiał którego właściwości mechaniczne są różne w różnych kierunkach ( np. drewno )

6. Wyjaśnij pojęcie ‘materiał ortotropowy’.

Materiał ortotropowy

Jeżeli materiał ma 3 płaszczyzny symetrii, wówczas materiał nazywany jest materiałem ortotropowym

Mówimy, że materiał jest ortotropowy, jeżeli jego właściwości mechaniczne są unikalne i niezależne w kierunkach trzech prostopadłych do siebie osi. Przykładami materiałów ortotropowych są: drewno, wiele kryształów oraz metale walcowane.

Na przykład właściwości mechaniczne drewna w danym punkcie są opisywane w kierunkach: podłużnym, promieniowym i stycznym. Oś podłużna (1) jest równoległa do kierunku włókien, oś promieniowa (2) jest normalna do słojów rocznych, natomiast oś styczna (3) jest styczna do słojów rocznych.

7. Wyjaśnij pojęcia – siły i przemieszczenia ogólne.

Istota metody opiera się na pozbawieniu rozpatrywanego, obciążonego układu nadliczbowych więzów, dbając jednak przy tym o to, aby pozostał on geometrycznie niezmienny. W miejsce myślowo usuniętych więzów wstawiamy niewiadome siły. Następnie, aby zachować kinematyczną identyczność układu rzeczywistego z nowym, nazywanym dalej układem podstawowym, określamy sumaryczne przemieszczenia po kierunkach działania tych sił. Ponieważ w rzeczywistości w tych miejscach istniały więzy, przemieszczenia te są równe zero. Układając te wnioski w równania możemy obliczyć wartości nadliczbowych niewiadomych, a zatem otrzymujemy układ wyznaczalny z równań równowagi. Układ podstawowy, który na ogół jest układem statycznie wyznaczalnym, musi spełniać również warunki zgodności geometrycznej (identyczność wymiarów) i statycznej (identyczność obciążeń) z układem rzeczywistym.

8.Wyjaśnić pojęcie- odkształcenie wzdłużne.

Odkształcenie w kierunku przykładanego obciążenia lub wzdłuż tej samej osi, w której jest przykładane obciążenie.

9.Wyjaśnij pojęcie – odkształcenie postaciowe. Odkształcenie postaciowe to zmiana kształtu (odkształcenie) ośrodka ciągłego przy zachowaniu długości odcinków równoległych do osi układu współrzędnych.
Przykładem odkształcenia postaciowego może być ścinanie lub skręcanie
Można mówić o odkształceniu postaciowym tylko w odniesieniu do konkretnego układu odniesienia. Przy jego zmianie odkształcenie może okazać się odkształceniem liniowym bądź ich złożeniem.

10. Wyjaśnij pojęcia ‘naprężenia styczne, naprężenia normalne, naprężenia zastępcze’

Naprężeniem normalnym nazywamy stosunek wartości siły normalnej N do pola przekroju S

Naprężeniem stycznym nazywamy stosunek wartości siły stycznej T do pola przekroju S

Rozróżniamy dwa rodzaje prostych stanów naprężeń:
– naprężenia normalne, leżą w płaszczyźnie działania sił(równolegle do działającej siły), prostopadłe do płaszczyzny ciała na które działa siła.

Naprężenia normalne są zwyczajowo oznaczane symbolem „” (sigma) wraz z indeksem odpowiadającym rodzajowi naprężeń, zazwyczaj:
σ_r ­– naprężenia rozciągające,
σ_c ­– naprężenia ściskające,
σ_g ­– naprężenia zginające.

– naprężenia styczne, prostopadłe do płaszczyny działania sił i równoległe do płaszczyzny ciała na które działa siła.

Naprężenia styczne są zwyczajowo oznaczane symbolem „” (tau) wraz z indeksem odpowiadającym rodzajowi naprężeń, zazwyczaj:
_t – naprężenia tnące,
_t – naprężenia skręcające.

Warunek wytrzymałościowy naprężeń normalnych na rozciąganie, lub ściskanie ma postać:

gdzie:
 – naprężenia normalne w [Pa]
,F – siła  w [N],
S – przekrój na który działa siła F wyrażony w [m²],

k – naprężenia dopuszczalne na rozciąganie (k_r), ściskanie (k_c) w [Pa] dostępne tutaj>

Warunek wytrzymałościowy naprężeń normalnych na zginanie ma postać:

gdzie:
_g – naprężenia normalne zginające w [Pa],
M – moment zginający przekrój  w [Nm],
W_x – wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie [m³],
k_g – naprężenia dopuszczalne na zginanie w [Pa] dostępne tutaj>

Warunek wytrzymałościowy naprężeń stycznych na ścinanie ma postać:

gdzie:
τ_t – naprężenia styczne w [Pa],
F – siła  w [N],
S – przekrój na który działa siła F wyrażony w [m²],
k_t – naprężenia dopuszczalne na ścinanie w [Pa] dostępne tutaj>

Warunek wytrzymałościowy naprężeń stycznych na skręcanie ma postać:

gdzie:
_s – naprężenia styczne skręcające w [Pa],
M – moment skręcający przekrój  w [Nm],
W_o – wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie [m³],

k_s – naprężenia dopuszczalne na skręcanie w [Pa] dostępne tutaj>

13. Omów siły zewnętrzne i wewnętrzne.

Siły zewnętrzne – w wytrzymałości materiałów to siły działające na ciało - konstrukcje lub jej element. Siły zewnętrzne dzieli się na:
*Siły czynne – P_i przyłożone na powierzchni ciała i pochodzące od zewnętrznych obciążeń, oraz siły przyłożone wewnątrz ciała, na przykład siła grawitacji G (ciężar ciała) lub siła bezwładności.
*Siły bierne – reakcje w miejscu styku konstrukcji z podłożem lub elementu z innym elementem w węźle R_i.

Siły wewnętrzne – siły występujące pomiędzy elementami układu ciał. Nazwa wewnętrzne odróżnia je od oddziaływań zewnętrznych, pochodzących spoza tego układu.W wytrzymałości materiałów są to siły pojawiające się wewnątrz ciała, pod wpływem działania sił zewnętrznych. Stąd też siły wewnętrzne traktuje się jako siły bierne a obciążenia zewnętrzne jako siły czynne.

14. Zjawisko rozciągania (model konstrukcji, sztywność, siły wewnętrzne, naprężenia, odkształcenia, przemieszczenia).

Model ciała jest ciałem jednorodnym i izotropowym(właściwości we wszystkich kierunkach są identyczne).

Siły wewnętrzne tworzą układ zrównoważony i dlatego nie można ich wyznaczyć z warunków równowagi całego ciała. Siły te stanowią oddziaływania między poszczególnymi elementami ciała.

W celu ujawnienia sił wewnętrznych stosuje się metodę przecięć.

Pod wpływem sił zewnętrznych elementy konstrukcyjne zmieniają swoje pierwotne kształty i wymiary. Zmiany te jednoznacznie określają odkształcenia liniowe i odkształcenia postaciowe.

Przy osiowym rozciąganiu i ściskaniu w przekrojach poprzecznych pręta występują tylko naprężenia normalne . Na podstawie zasady de Saint-Venanta przyjmuje się, że niezależnie od sposobu przyłożenia obciążenia w poszczególnych przekrojach poprzecznych pręta naprężenia normalne są rozłożone równomiernie (= const).

$$\sigma = \frac{F}{A}\ \lbrack\frac{N}{m^{2}}\rbrack$$

15. Zjawisko zginania

Podstawowe pojęcia przy zginaniu

Weźmy pod uwagę pręt, zaś w jego dowolnym przekroju poprzecznym za punkt redukcji przyjmijmy środek tego przekroju. Jeżeli w tym przekroju układ sił sprowadza się tylko do jednej składowej momentu zginającego Mg, to mamy do czynienia z czystym zginaniem (rys. 2.14a). Jeżeli występuje również siła styczna (tnąca) (rys. 2.14b), to mamy przypadek zginania z udziałem sił poprzecznych.

Jeżeli siły czynne (obciążenia zewnętrzne) i siły bierne (reakcje) działające na pręt zginany leżą w jednej płaszczyźnie, to płaszczyznę tę nazywamy płaszczyzną zginania.

Gdy płaszczyzna zginania pokrywa się z płaszczyzną główną zawierającą oś pręta (czyli zawierającą środki ciężkości przekrojów poprzecznych pręta), to przypadek taki nazywamy zginaniem prostym w odróżnieniu od zginania ukośnego (oś pręta staje się krzywą przestrzenną). Pręty pracujące głównie na zginanie nazywamy belkami.

związki między siłą tnącą, momentem gnącym i obciążeniem ciągłym:

16. Zjawisko skręcania (model konstrukcji, sztywność, siły wewnętrzne, naprężenia, odkształcenia, przemieszczenia)

Zjawisko skręcania występuje najczęściej w wałach maszynowych i jest spowodowane działaniem dwóch par sił o momentach równych, lecz o przeciwnych kierunkach, przy czym pary ich działają prostopadle do osi walu. Na rysunku poniżej jedna z par działa na prawym, swobodnym końcu walu, a druga — na lewym,

Skręcanie

umocowanym końcu — jako przeciwdziałanie. pierwszej pary sil.

Moment pary sił Ms = F * a, zwany momentem skręcającym, powoduje odkształcenie skręcanego wału.

Odkształcenie przy skręcaniu wału polega na tym, że linie podłużne na jego powierzchni, równoległe do osi walu (np. linia AB), zamieniają się w linie śrubowe (A.B1), gdyż ich punkty końcowe B przesuwają się do położenia B1. Takie odkształcenie zachodzi w całym przekroju walu, ale niejednakowo: im bliżej osi walu, tym przesunięcie ,(odkształcenie) jest mniejsze. Odkształceniu towarzyszy naprężenie, które przy skręcaniu ma charakter naprężenia stycznego (podobnie jak przy ścinaniu) i jest największe na powierzchni wału, a zmniejsza się przy zbliżaniu do jego osi. Naprężenie dopuszczalne przy skręcaniu k, przyjmuje się w przybliżeniu równe naprężeniu dopuszczalnemu przy ścinaniu kt.

W praktyce spotykamy się również z przypadkami bardziej złożonymi. Na przykład wał korbowy silnika samochodowego podlega jednocześnie zginaniu i skręcaniu, wiertło— jednoczesnemu skręcaniu, zginaniu i ściskaniu albo wybaczeniu, hak urządzenia dźwigniowego — jednoczesnemu zginaniu i rozciąganiu. Mówimy wówczas o tzw. wytrzymałości złożonej, której jednak nie będziemy tu rozpatrywać.

17. Wyjaśnić pojęcie sztywności na ściskanie, zginanie i skręcanie.

Z prawa Hooke'a wynika zależność pomiędzy odkształceniem liniowym po kierunku osi X i naprężeniem

normalnym w postaci

Wyrażenie EA nazywa się sztywnością rozciągania (ściskania) przekroju

Warunek sztywności na zginanie:

Strzałka ugięcia obliczona według zasady superpozycji dla danego obciążenia belki musi być mniejsza lub co najwyżej równa od dopuszczalnej strzałki ugięcia, którą zakładamy w zależności od przeznaczenia konstrukcji.

Warunek sztywności na zginanie dla belki obciążonej jak na szkicu:

Zależności wielkości mechanicznych występujących w warunku sztywności na zginanie:

moduł sprężystości wzdłużnej ( E [ Pa ] – moduł Younga ) zależy od gatunku materiału i dobieramy go z tablic wytrzymałościowych,

moment bezwładności rozważanej figury względem osi ( J [ m⁴ ] ) zależy od kształtu figury płaskiej i osi względem której go obliczamy – możemy go obliczyć albo dobrać z tablic wytrzymałościowych.

Iloczyn GI₀ zwany jest sztywnością na skręcanie.
I₀ - biegunowy moment bezwładności
G - moduł Kirchhoffa

19. Omówić prawo Hooke’a

Prawo Hooke'a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke'a jest rozciąganie statyczne pręta. Względne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E

gdzie:

F – siła rozciągająca,

S – pole przekroju,

Δl – wydłużenie pręta,

l – długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:

gdzie:

– odkształcenie względne,

  – naprężenie

20. Omówić zasadę de Saint-Venanta.

21.Wyjaśnij pojęcia naprężenia dopuszczalne (współczynniki bezpieczeństwa)

Poszczególne elementy konstrukcyjne w czasie pracy przenoszą pewne obciążenia. W elementach tych panują więc naprężenia, które nazywamy naprężeniami rzeczywistymi.

      Naprężenia, które mogą występować w materiale bez obawy naruszenia warunku wytrzymałości i warunku sztywności, nazywamy naprężeniami dopuszczalnymi.
Oznaczamy je literą k z odpowiednim indeksem dolnym, charakteryzującym rodzaj odkształcenia:
      k_r - naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu,
      k_c - naprężenie dopuszczalne przy ściskaniu,
      k_g - naprężenie dopuszczalne przy zginaniu,
      k_t - naprężenie dopuszczalne przy ścinaniu,
      k_s - naprężenie dopuszczalne przy skręcaniu.

Liczbę n oznaczającą, ile razy naprężenie dopuszczalne jest mniejsze od granicy wytrzymałości (dla materiałów kruchych) lub od granicy plastyczności (dla materiałów plastycznych), nazywa się współczynnikiem bezpieczeństwa.

W przypadku rozciągania materiałów kruchych

                 

Dla materiałów plastycznych

                 

gdzie: R_m - granica wytrzymałości na rozciąganie, otrzymana w wyniku prób wytrzymałościowych, R_e - granica plastyczności.

23. Odkształcenia i naprężenia wywołane temperaturą

Warunkiem wystąpienia trwałych odkształceń i naprężeń własnych jest przyrost temperatury tak

wysoki, aby odpowiadające mu odkształcenia cieplne λ były większe od odkształceń εe ,

odpowiadających granicy plastyczności Re. Pojawia się zatem składowa plastyczna εp. Dla stali

konstrukcyjnych przyrost ten wynosi ok. 100-200 st.C, dla stopów aluminium ok. 20-50 st.C,

zależnie od ich wytrzymałości.

24.Pojęcie momentu bezwładności figury płaskiej.

Moment bezwładności tzn. miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym, charakteryzująca rozkład masy w ciele, definicja ta jest dobra gdy ciało stanowi figurę płaską rozpatrywaną tylko w dwóch osiach współrzędnych x i y.
Momentem bezwładności figury względem osi x jest
I_x = ∫_Ay²dA
Momentem bezwładności figury względem osi y jest

I_y = ∫_Ax²dA

Momentem dewiacyjnym figury względem prostokątnego układu osi x i y jest

I_xy = ∫_AyxdA

Z definicji momentów bezwładności wynika, że mogą być one tylko dodatnie. Natomiast moment dewiacyjny może być dodatni, ujemny lub równy zero.

W przypadku równoległego przesunięcia osi układu korzystamy z twierdzenia Steinera, wyrażonego poniższymi wzorami:

I_x = I_xc + A * a²

I_y = I_yc + A * b²

I_xy = I_xcI_yc + A * a * b

gdzie osie x_c i y_c są osiami centralnymi, natomiast b i a są współrzędnymi punktu C w układzie Oxy. Z rysunku wynika, że są to odległości między osiami.

Moment bezwładności ciała płaskiego względem osi prostopadłej do jego płaszczyzny równa się sumie momentów bezwładności względem dwóch osi wzajemnie prostopadłych, leżących w jego płaszczyźnie.

Biegunowy moment bezwładności jest sumą osiowych momentów  bezwładności względem dwóch prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun.

25. Czego dotyczy twierdzenie Steinera?

Moment bezwładności ciała materialnego względem dowolnej osi równy jest sumie momentu bezwładności względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między tymi osiami.

Wzór Steinera dla momentów bezwładności J względem dowolnej osi z, równoległej do osi centralnej z_c , gdy odległość między tymi osiami wynosi a.

J_z = J_zc + Fa²

Dla momentów odśrodkowych, dewiacyjnych

J_yz = J_yczc + Fab

26.Wyznaczenie współrzędnych środka ciężkości figury płaskiej.

Obliczanie współrzędnych środka ciężkości traktuje się jako zagadnienie dwuwymiarowe, gdyż współrzędna zc = 0.

Współrzędne środka ciężkości figury płaskiej wyznaczamy ze wzorów

gdzie A - pole powierzchni figury płaskiej w m2.

27 . Wyjaśnić pojęcie główne momenty bezwładności figury.

W każdym punkcie układu materialnego istnieją co najmniej trzy prostopadłe osie takie, że momenty dewiacyjne w utworzonym przez nie kartezjańskim układzie współrzędnych są równe zeru. Osie te nazywamy głównymi osiami bezwładności, a osiowe momenty względem nich głównymi momentami bezwładności. W skrócie główne momenty bezwładności figury są to momenty wyznaczone względem głównych osi bezwładności czyli tych względem których moment dewiacji jest równy zero.

28. Wyznaczenie momentu bezwładności przekroju względem osi obróconych o dowolny kąt.

39. Równanie różniczkowe linii ugięcia belki.

f= dV/dF=1/EIʃMg(dMg/dF)dx

jezeli a=b to ɵc=o

30. Zależności różniczkowe między obciążeniem ciągłym, siłą tnącą, momentem gnącym, kątem obroty i przemieszczeniem w belkach.

31. wymienić znane hipotezy wytrzymałościowe

-Hipoteza największych naprężeń normalnych Rankine’a najważniejsze są te naprężenia które mają największe wartości zbliżone do maksymalnych naprężeń granicy plastyczności

-Hipoteza największego wydłużenia względnego Saint-Venanta w dwóch kostkach będzie jednakowy stan naprężeń gdy największe odkształcenia względne kostek będą jednakowe. W kostce rozciąganej naprężeniami σ_pl maksymalne wydłużenie względne wynosi ξ= σ_pl/E . Naprężenia obciążające może być większe o 43% od granicy plastyczności i materiał nie ulegnie odkształceniu.

-Hipoteza największych naprężeń tnących Coulomba uplastycznienie próbki nie następuje po przekroczeniu granicznych naprężeń σ_pl tylko przez działanie największych naprężeń stycznych

-Hipoteza energetyczna Hubera-Misesa koska sześcienna zanurzona w wodzie –działaja jednakowe naprężenia. Energia ta wpływa na zmianę objętości kostki, nie powoduje zmiany kształtu. Ta metoda jest najpowszechniej stosowana, najbardziej zbliżona do materiałów rzeczywistych

-Naprężenia zredukowane określa się je w zależności od przyjętej hipotezy, stan naprężeń jest równoważny z naprężeniami przy zwykłym rozciąganym. Obliczenia wytrzymałościowe dla dowolnego przestrzennego stanu naprężeń sprowadzają się do sprawdzenia warunku σ_red<k_rc

32. Obliczanie konstrukcji zginanej z równoczesnym skręcaniem [rdzeń przekroju].

Energie sprężystą można wyznaczyć jako pracę sił wewnętrznych, którą dla przypadków prostych wygląda następująco:

Zginanie >> $\frac{\text{dV}}{\text{dx}} = \frac{1}{2}*\frac{\text{Mg}^{2}}{\text{EI}}$ >> $V = \ \int_{}^{}\frac{\text{Mg}^{2}}{2\text{EI}}\text{dx}$

Skręcanie >> $\frac{\text{dV}}{\text{dx}} = \frac{1}{2}*\frac{\text{Ms}^{2}}{GI_{0}}$ >> $V = \ \int_{}^{}\frac{\text{Ms}^{2}}{2GI_{0}}\text{dx}$

Więc energia sprężysta dla konstrukcji jednocześnie zginanej i skręcanej równa się:

V=V₁+V₂

V=$\int_{}^{}\frac{\text{Mg}^{2}}{2\text{EI}}\text{dx} + \int_{}^{}\frac{\text{Ms}^{2}}{2GI_{0}}\text{dx}$

Gdzie:

Mg – moment gnący,

Ms – moment skręcający,

E – moduł Younga,

G – moduł Kirchhoffa,

I – moment bezwładności względem centralnych osi.

Z twierdzenia Casigliano nie jest potrzebne wyrażenie na energię, lecz pochodna cząstkowa tej energii względem siły uogólnionej F_i.

$F_{i} = \ \frac{\text{dV}}{dF_{i}} = \ \frac{dV_{1}}{dF_{i}} + \frac{dV_{2}}{dF_{i}} = \frac{d}{dF_{i}}\left( \int_{0}^{l}{\frac{\text{Mg}^{2}}{2\text{EI}}\text{dx}} \right) + \frac{d}{dF_{i}}\left( \int_{0}^{l}{\frac{\text{Ms}^{2}}{2GI_{0}}\text{dx}} \right) = \frac{1}{\text{EI}}\int_{0}^{l}{\text{Mg}*\frac{\text{dMg}}{dF_{i}}\text{dx} + \frac{1}{GI_{0}}\int_{0}^{l}{\text{Ms}*\frac{\text{dMs}}{dF_{i}}\text{dx}}\ }$

33. Naprężenia zredukowane.

Naprężeniem zredukowanym σ_zred nazywamy takie naprężenie otrzymane po zastosowaniu przyjętej hipotezy wytrzymałościowej dla danego trójkierunkowego stanu naprężeń, które jest równoważne z naprężeniem przy zwykłym rozciąganiu. Wartość naprężeń wynikająca z hipotezy Hubera najlepiej się pasuje do wyników doświadczeń dotyczących materiałów plastycznych wykazujących jednakowe własności na rozciąganie i ściskanie(np. stale, aluminium itp.)