Wyznaczenie stosunku $\frac{\mathbf{C}_{\mathbf{p}}}{\mathbf{C}_{\mathbf{v}}}$ dla powietrza

Nr Pom.	Wskazania manometru przed Rozprężeniem adiabatycznym	Wskazania manometru po Ogrzaniu izochorycznym	Ki=$\frac{C_{p}}{C_{v}}$
	W ramieniu	Różnica wysokości	W ramieniu
	lewym	prawym
	H1[mm]	H2[mm]	H[mm]
1.	589	300	289
2.	575	311	264
3.	590	295	295
4.	610	277	333
5.	600	285	315
6.	601	286	325
7.	566	321	245
8.	600	286	314
9.	585	303	282
10.	624	263	361
Średnia wartość stosunku Cp do Cv dla powietrza	K= 1,306

Sprawozdanie z ćwiczenia 28

1. Wstęp

W doświadczeniach z gazami posługujemy się pojęciami molowego ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu gazu – C_p i molowego ciepłą właściwego przy stałej objętości gazu.

Celem tego ćwiczenia jest zbadanie stosunku molowego ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do molowego ciepła właściwego przy stałej objętości gazu.

Przemiany gazowe

Równoczesna zmianę wszystkich parametrów parametrów opisuje równanie stanu. Zwykle ustalamy jeden z parametrów. Otrzymujemy wówczas następujące przemiany :

Przemiana izotermiczna T = const.	pV = const. p1*V1 = p2*V2 Iloczyn ciśnienia i objętości gazu przy stałej temperaturze jest wielkością stałą – prawo Boyle’a – Mariotte’a.
Przemiana izobaryczna p = const.	V/T = const. ; p1/T1 = p2/T2 Ciśnienie danej masy gazu jest proporcjonalne do jego temperatury bezwzględnej jeśli nie zachodzą zmiany objętości – prawo Charlesa.
Przemiana izochoryczna V = const.	p/T = const. ; p1/T1 = p2/T2 Ciśnienie danej masy gazu jest proporcjonalne do jego temperatury bezwzględnej jeśli nie zachodzą zmiany objętości - prawo Charlesa
Przemiana adiabatyczna Jest to proces, w którym gaz nie wymienia ciepła z otoczeniem	p*V^K = const. p1*V^K1 = p2V^K2 K = $\frac{Cp}{\text{Cv}}$

C_p - ciepło molowe w stałym ciśnieniu,

C_v - ciepło molowe w stałej objętości,

p - ciśnienie,

V - objętość,

T - temperatura.

1. Wykonanie ćwiczenia

Do wykonania ćwiczenia potrzebne jest nam :

• szklane naczynie o pojemności kilkudziesięciu litrów,

• zawór pozwalający na napompowanie powietrza do żądanego ciśnienia i połączenie szklanego naczynia z powietrzem,

• hydrostatyczny słupek cieczy,

• pompka.

1. Tworzymy układ i sprawdzamy czy działa poprawnie

2. Pompujemy pompką powietrze sprężając je do takiego ciśnienia, wyższego od ciśnienia atmosferycznego o równej wartości ciśnienia hydrostatycznego słupka cieczy o wysokości wynoszącej od 100 do 140 mm

3. Zamykamy zawór i czekamy kilka minut, aż gaz powoli ogrzeje się i ustali się wartość ciśnienia, odczytujemy wartości w prawym i lewym ramieniu.

4. Ustalamy różnicę poziomów w rurce manometrycznej H = H₁ – H₂ .

5. Otwieramy szybko zawór na czas około 2 sekund, do czasu wyrównania poziomów w lewym i prawym ramieniu powodując adiabatyczne rozprężenie powietrza.

6. Ponownie odczytujemy poziomy wody w rurkach i obliczmy różnice poziomów h = h₁ – h₂.

7. Ze wzoru : K$\mathbf{=}\frac{\mathbf{H}}{\mathbf{H - h}}$ obliczmy K.

8. te same czynności powtarzamy 10 razy a wyniki zapisujemy w tabelce.

K = $\frac{\mathbf{C}\mathbf{p}}{\mathbf{C}\mathbf{v}}$

3.Obliczenia

Pomiar nr 1 :

Wskazania manometru przed rozprężeniem adiabatycznym :

• w ramieniu lewym H₁ – 589 mm,

• w ramieniu prawym H₂ – 300 mm

różnica wysokości H = H₁ – H₂ = 589 – 300 = 289 [mm].

Wskazania manometru po ogrzaniu izochorycznym :

• w ramieniu lewym h₁ – 454 mm,

• w ramieniu prawym h₂ – 435 mm,

różnica wysokości h = h₁ – h₂ = 275 – 245 = 30 [mm].

$\mathbf{k}\mathbf{1}\mathbf{\ = \ }\frac{\mathbf{H}}{\mathbf{H\ h}}\mathbf{\ = \ }\frac{\mathbf{289}}{\mathbf{289 - 30}}\mathbf{\ = \ 1,07}\mathbf{\pm 0,}\mathbf{008}$

Pomiar nr 2 :

Wskazania manometru przed rozprężeniem adiabatycznym :

• H₁ – 575 mm,

• H₂ – 311 mm,

H = 575 – 311 = 264 [mm].

Wskazania manometru po ogrzaniu izochorycznym :

• h₁ – 474 mm,

• h₂ – 414 mm,

h = 474 – 414 = 60 [mm].

k₂ = 1,29±0,016

Pomiar nr 3 :

Wskazania manometru przed rozprężeniem adiabatycznym :

• H₁ – 590 mm,

• H₂ – 295 mm,

H = 590 – 295= 295 [mm].

Wskazania manometru po ogrzaniu izochorycznym :

• h₁ – 475 mm,

• h₂ – 412 mm,

h = 475 – 412 = 63 [mm].

k₃ = 1,27±0,013

Pomiar nr 4 :

Wskazania manometru przed rozprężeniem adiabatycznym :

• H₁ – 610 mm,

• H₂ – 277 mm,

H = 610 – 277 = 333[mm].

Wskazania manometru po ogrzaniu izochorycznym :

• h₁ – 473 mm,

• h₂ – 414 mm,

h = 473 – 414 = 59 [mm].

k₄ = 1,22±0,01

Pomiar nr 5 :

Wskazania manometru przed rozprężeniem adiabatycznym :

• H₁ – 600 mm,

• H₂ – 285 mm,

H = 600 – 285 = 315 [mm].

Wskazania manometru po ogrzaniu izochorycznym :

• h₁ – 470 mm,

• h₂ – 418 mm,

h = 470 – 418 = 52 [mm].

k₅ = 1,20±0,011

Pomiar nr 6 :

Wskazania manometru przed rozprężeniem adiabatycznym :

• H₁ – 601 mm,

• H₂ –286mm,

H = 601 – 286 = 325 [mm].

Wskazania manometru po ogrzaniu izochorycznym :

• h₁ – 471 mm,

• h₂ – 416 mm,

h = 471 – 416 = 55 [mm].

k₆ = 1,20±0,01

Pomiar nr 7 :

Wskazania manometru przed rozprężeniem adiabatycznym :

• H₁ – 566 mm,

• H₂ – 321 mm,

H = 566 – 321 = 245 [mm].

Wskazania manometru po ogrzaniu izochorycznym :

• h₁ – 470 mm,

• h₂ – 420 mm,

h = 470 – 420 = 50 [mm].

k₇ = 1,26±0,016

Pomiar nr 8 :

Wskazania manometru przed rozprężeniem adiabatycznym :

• H₁ – 600 mm,

• H₂ – 286 mm,

H = 600 – 286 = 314 [mm].

Wskazania manometru po ogrzaniu izochorycznym :

• h₁ – 470 mm,

• h₂ – 417 mm,

h = 470 – 417 = 53 [mm].

k₈ = 1,20±0,011

Pomiar nr 9 :

Wskazania manometru przed rozprężeniem adiabatycznym :

• H₁ – 585 mm,

• H₂ – 303 mm,

H = 585 – 303 = 282 [mm].

Wskazania manometru po ogrzaniu izochorycznym :

• h₁ – 469 mm,

• h₂ – 420 mm,

h = 469 – 420 = 49 [mm].

k₉ = 1,21±0,012

Pomiar nr 10 :

Wskazania manometru przed rozprężeniem adiabatycznym :

• H₁ – 624 mm,

• H₂ – 263 mm,

H = 624 – 263 = 361 [mm].

Wskazania manometru po ogrzaniu izochorycznym :

• h₁ – 475 mm,

• h₂ – 414 mm,

h = 475 – 414 = 61 [mm].

k₁₀ = 1,20±0,009

Średnia wartość stosunku C_p do C_v dla powietrza wynosi :

$$\mathbf{k}_{\mathbf{sr}}\mathbf{\ = \ }\frac{\mathbf{1,07 + 1,29 + 1,27 + 1,22 + 1,20 + 1,20 + 1,25 + 1,20 + 1,21 + 1,20}}{\mathbf{10}}\mathbf{= 1,211}$$

Rachunek błędu

Błąd bezwzględny: Δk_i = | k –k_i |

Δk₁ = | 1,211 – 1,07 | = 0,141

Δk₂ = | 1,211 – 1,29 | = 0,079

Δk₃ = | 1,211 – 1,27 | = 0,059

Δk₄ = | 1,211 – 1,22 | = 0,009

Δk₅ = | 1,211 – 1,20 | = 0,011

Δk₆ = | 1,211 – 1,20 | = 0,011

Δk₇ = | 1,211 – 1,25 | = 0,039

Δk₈ = | 1,211 – 1,20 | = 0,011

Δk₉ = | 1,211 – 1,21 | = 0,001

Δk₁₀ = | 1,211 – 1,20 | = 0,011

$\mathbf{k =}\sqrt{\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\left( \mathbf{}\mathbf{k}_{\mathbf{i}} \right)^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n}\left( \mathbf{n - 1} \right)}}$ =$\sqrt{\frac{\left( 0,141 \right)^{2} + \left( 0,079 \right)^{2} + \left( 0,059 \right)^{2} + \left( 0.009 \right)^{2} + \left( 0,011 \right)^{2}*4 + \left( 0,039 \right)^{2} + \left( 0,001 \right)^{2}}{10\left( 10 - 1 \right)}}\mathbf{=}\sqrt{3,521111111*10^{- 4}}\mathbf{=}0,01876462393\mathbf{\approx}0,019$

Błąd bezwzględny wynosi 0,0188

Błąd procentowy wynosi : 0,0188*100% = 1,88%

Można również policzyć błąd pojedynczego pomiaru:

$\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{k}}\mathbf{=}\left| \frac{\mathbf{h}}{\mathbf{H}\left( \mathbf{H - h} \right)} \right|\mathbf{H +}\left| \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{H - h}} \right|\mathbf{h}$ ,

gdzie ΔH = H₁ +  H₂   ,     h = h₁ + h₂  ,    H₁ =  H₂ = h₁ = h₂ 1mm  − −dokladnosc odczytyania poziomu cieczy na manometrze

ΔH=1mm+1mm=2mm , Δh=1mm+1mm=2mm

Przykład:

dla drugiego pomiaru wyniesie on: $\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{k}}\mathbf{=}\left| \frac{\mathbf{60}}{\mathbf{264}\left( \mathbf{264 - 60} \right)} \right|2\mathbf{+}\left| \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{264 - 60}} \right|2 \approx 0,012$

Wniosek

Po wykonaniu tego doświadczenia współczynnik K wynosi 1,211, a w rzeczywistości 1,3. Wartość współczynnika K dla powietrza suchego według tablic wynosi 1.403, pod ciśnieniem 760mm Hg, oraz w temperaturze 15°. Natomiast warunki, w których zostało przeprowadzone ćwiczenie z pewnością były inne, dlatego też wynik doświadczenia odbiega od wartości umieszczonej w tablicach.

Mój błąd mógł wynikać z powodu :

• nieszczelności zaworu,

• niedokładności skali manometru, dla której przyjęliśmy błąd :

Δh1=Δh2 =1mm

• błędu odczytu na manometrze.

.

Ostateczna wartość współczynnika K otrzymana w ćwiczeniu wynosi :

K = 1.211 ± 0.019