Ćwiczenie M1 – Rezonans akustyczny

1. Wstęp teoretyczny.

Rezonans akustyczny – zjawisko rezonansu polega na tym, że jeśli mamy dwa układy, które mogą drgać, to jeśli istnieje między nimi połączenie umożliwiające rozchodzenie się fali dźwiękowej, to drgania jednego elementu będą przekazywane innemu elementowi. Warunkiem rezonansu jest równość częstotliwości ciała drgającego i pobudzanego do drgań.

Rozchodzenie się dźwięku odbywa się w postaci fali mechanicznej i może mieć miejsce tylko w ośrodku sprężystym.

Fale – są to zaburzenia rozprzestrzeniające się w ośrodku lub przestrzeni. Przenoszą one energię bez przenoszenia materii.

Rozwiązaniem ogólnym równania falowego jest równanie fali harmonicznej:

u = Asin(kx − ωt),

gdzie k jest liczbą falową dla długości fali λ (k=2π/λ), ω jest częstością kołową dla okresu T (ω=2π/T), a A jest amplitudą sinusoidy.

Fala stojąca – jest to fala, której pozycja w przestrzeni pozostaje niezmienna. Może zostać utworzona w ośrodku poruszającym się względem obserwatora lub w przypadku interferencji dwóch fal, które poruszają się w tym samym kierunku, ale mają przeciwne zwroty. Miejsce, w którym amplituda fali osiąga maksimum nazywane jest strzałką, a minimum – węzłem.

Superpozycja dwóch fal – fali pierwotnej określonej wzorem

u₁ = Asin(kx − ωt)

oraz fali

u₂ = Asin(kx+ωt)

wyraża się wzorem

u=u₁ + u₂ = 2 A sin k x cos ω t

Odległość pomiędzy strzałką a węzłem wynosi ¼ długości fali λ.

Aby wyznaczyć prędkość fali, należy wytworzyć w ośrodku falę stojącą o częstotliwości ν i znaleźć kolejne punkty w których występuje rezonans. Odległość l między tymi punktami wynosi ½ długości fali, a więc prędkość wyrażona jest wzorem:

V= 2 l ν.

1. Opis układu doświadczalnego.

Układ doświadczalny stanowi rura, z jednej strony zakończona głośnikiem podłączonym do generatora akustycznego, a z drugiej zakończona ruchomym tłokiem. Komorę rezonansową stanowi przestrzeń między głośnikiem a tłokiem. Wzdłuż rury znajduje się przedziałka milimetrowa.

Doświadczenie zostało wykonane dla trzech częstotliwości: 800 Hz, 1500 Hz i 2300 Hz. Aby wyznaczyć rezonans, tłok został maksymalnie wsunięty do wnętrza rury, a następnie powoli rozsuwany.

1. Opracowanie wyników

Doświadczenie zostało wykonane w temperaturze 24,8

Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną uśrednione zostało pierwsze i ostatnie położenie strzałki dla wszystkich częstotliwości. Następnie policzona została odległość między tymi strzałkami.

	800 Hz	1500 Hz	2300 Hz
X0	8,2 cm	4,5 cm	3,7 cm
Xn	94,1 cm	107,2 cm	107,9 cm
L1	21,48 cm	10,27 cm	6,95 cm

 Wzór na średnią arytmetyczną:

$$\overset{\overline{}}{x} = \ \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$$

Wzór na odległość między strzałkami:

L_{i =} $\frac{\overset{\overline{}}{x_{n}}}{n - 1} - \ \frac{\overset{\overline{}}{x_{0}}}{n - 1}$

n – liczba strzałek, które utworzyły się w rurze

Następnie, korzystając ze wzoru:

V = 2 l ν

wyznaczono prędkość dźwięku i uśredniono go:

	800 Hz	1500 Hz	2300 Hz
V	343,86 m/s	308,10 m/s	319,70 m/s

$\overset{\overline{}}{V}$ = 323,88(6) m/s

Niepewność pomiaru = 1,605

1. Rachunek błędów.

Odchylenie standardowe zostało policzone ze wzoru:

S_x = $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \ x \right)^{2}}{n - 1}}$

Niepewność pomiaru ze wzoru:

u(x) = $\frac{S_{x}}{\sqrt{n}}$

Następnie wyznaczona została niepewność standardowa:

u_c (l) = $\sqrt{\sum_{j = 1}^{r}\frac{\left( \partial f \right)^{2}}{\left( \partial x_{j} \right)^{2}}}\sqrt{u^{2}(x_{j}})$

f = $\frac{\overset{\overline{}}{x_{n}} - \ \overset{\overline{}}{x_{0}}}{n - 1}$

Błędy prędkości V_i oraz błąd prędkości uśrednionej został policzony metodą różniczki zupełnej:

$$\left| V \right| = \ \sum_{i = 1}^{n}\left| \frac{\partial V(x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n})}{\partial x_{i}}x_{i} \right|$$

	800 Hz	1500 Hz	2300 Hz
Sx0	0,070710678	0,158113883	0,187082869
u(xo)	0,035355339	0,079056942	0,093541435
Sxn	0,16583124	0,158113883	0,070710678
u(xn)	0,08291562	0,079056942	0,035355339
uc(l)	0,6074047	0,7261987	0,73680527
delta V	0,429499982	0,513500025	0,521000003

$$\left| \overset{\overline{}}{V} \right| = 0,4880000033333$$

1. Prędkość dźwięku w temperaturze 0.

Prędkość dźwięku w zależności od temperatury można obliczyć ze wzoru:

$$V = \ \sqrt{\frac{\text{χRT}}{\mu}}$$

Jeśli weźmie się pod uwagę skalę Celsjusza, T = 273 + t = $\frac{1}{\alpha}$ + t, wzór ten wygląda:

$$V = \ \sqrt{\frac{\text{χR}}{\mu}(\frac{1}{\alpha} + t)}$$

Oznaczając prędkość fali w temperaturze t = 0 przez V₀ = $\sqrt{\frac{\text{χR}}{\text{μα}}}$ otrzymamy:

$$V = \ V_{0}\sqrt{1 + \alpha t}$$

Czyli

$$V_{0} = \ \frac{V}{\sqrt{1 + \alpha t}}$$

Wynik prędkości w doświadczeniu wynosi (323,9 ± 0,5) m/s oraz t = 24,8 wyznaczono prędkość dźwięku w temperaturze 0 V₀ = 309,25 m/s.

4. Wnioski.

Wynik doświadczenia wynosi 309,25 m/s z błędem względnym 6,6%.