Hydraulika i Hydrologia Test wiedzy (IV) 18.02.11

1. Opis przestrzenny i materialny. Dlaczego stosujemy ? Czy istnieją inne sposoby doboru współrzędnych w opisie zjawisk kontinualnych ? Objaśnij ?

Opis materialny stosujemy podczas opisu ciał fizycznych które się nie odkształcają. Wykorzystujemy przy tym nieskończenie małe [dx,dy,dz] których odległość między sobą jest zawsze taka sama. W hydraulice nie możemy użyć opisu materialnego z tego względu ,że po pewnym czasie od początkowej chwili, odległość między tymi samymi cząstkami będzie inna ( im większa droga przepływu, tym możliwa jest większa różnica w odległości) i nie będziemy mogli określić ich położenia, Dlatego w hydraulice stosujemy opis przestrzenny (nie interesuje nas pojedyncza cząstka)

1. Jak działa na ściankę woda stojąca, jak przepływająca ?

Woda stojąca na każdą ściankę działa w kierunku prostopadłym do ścianki (normalna do ścianki i w przeciwną stronę z innym zwrotem działa ciśnienie wody).

Gdy woda zaczyna przepływać to do tego członu, który nadal pozostaje(ciśnienie nadal działa prostopadle) dochodzi składowa styczna wynikająca z tarcia (wzajemnej lepkości).

1. Jak wpływa masa wody przepływająca przez rurę na potrzebną różnicę ciśnień ? Precyzyjnie.

$$h_{p} + \frac{p_{p}}{\text{ρg}} + \frac{V_{sr}^{2}}{2g} = h_{k} + \frac{p_{k}}{\text{ρg}} + \frac{V_{sr}^{2}}{2g} + h_{\text{str}}$$

$$\frac{p_{p} - p_{k}}{\text{ρg}} = h_{k} - h_{p} + \lambda\left( Re,\varepsilon \right)\frac{L}{d}\frac{V_{sr}^{2}}{2g}$$

Im szybszy jest przepływ tym więcej masy przepływa, a więc różnica ciśnień jest proporcjonalna do kwadratu prędkości.

1. Należy porównać obliczanie przepływów w kanałach otwartych i rurach pod wpływem różnicy ciśnień.

Kanał otwarty:

Opieramy się na wzorach Chezy i Manninga

Wzór Chezy:

$v_{\text{sr}} = C\sqrt{I \bullet r_{h}}$

prędkość średnia jest to współczynnik razy pierwiastek ze spadku hydraulicznego i promienia hydraulicznego

I = i

I  - spadek hydrauliczny jest równy i-spadkowi dna jeżeli jest stacjonarny i niezależny od czasu

Wzór Maninga:

Oznacza, że aproksymacja stałej C jest załatwiona przez:

$$C = \frac{{r_{h}}^{\frac{1}{6}}}{h}$$

r_h –promień hydrauliczny

h-miara chropowatości

$$r_{h} = \frac{S(h)}{L_{z}(h)}$$

Promień hydrauliczny jest to stosunek pola przekroju strumienia do obwodu zwilżonego zależnego od napełnienia

$${Q\left\lbrack \frac{\text{kg}}{s} \right\rbrack}_{}^{} = \rho \bullet S(h) \bullet v_{\text{sr}}$$

ρ − gestosc

S(h) − pole zalezne od napelnienia

V_sr − predkosc srednia

Liczenie w rurach pod wpływem różnicy ciśnień

1. (2)

Mamy rurę o stałym przekroju( dla ułatwienia). Dla dwóch przekrojów piszemy trójmian Bernoulli:

$$h_{1} + \frac{p_{1}}{\text{ρg}} + \frac{v_{\text{srI}}^{2}}{2g} = h_{2} + \frac{p_{2}}{\text{ρg}} + \frac{v_{\text{srII}}^{2}}{2g} + h_{\text{str}}$$

gdy rura nie jest dziurawa to :  v_srI = v_srII = v_sr

h_str zawiera czesc wyniku z armatury

$$h_{\text{str}} = \zeta_{\text{wl}} \bullet \frac{v_{\text{sr}}^{2}}{2g} + \lambda(\text{Re},\varepsilon) \bullet \frac{L}{d} \bullet \frac{v_{\text{sr}}^{2}}{2g}$$

λ liczy sie ze wzorow lub wykres darcy

1. Jak ilościowo uwzględniamy wpływ chropowatości ścianek na przepływ ciśnieniowy a jak na grawitacyjny.

Ciśnieniowy:

$\varepsilon = \frac{k\lbrack mm\rbrack}{d\lbrack mm\rbrack}$

$$H + \frac{p_{1}}{\text{ρg}} + \left( \frac{Q}{\text{ρS}} \right)^{2}\frac{1}{2g} = H + \frac{p_{2}}{\text{ρg}} + \left( \frac{Q}{\text{ρS}} \right)^{2}\frac{1}{2g} + h_{\text{str}}$$

$$\frac{p_{1}}{\text{ρg}} = \frac{p_{2}}{\text{ρg}} + h_{\text{str}}$$

$$\frac{p_{1} - p_{2}}{\text{ρg}} = h_{\text{str}}$$

$$\frac{p_{1} - p_{2}}{\text{ρg}} = \lambda\left( Re,\varepsilon \right)\frac{L}{d}\left( \frac{Q}{\text{ρS}} \right)^{2}\frac{1}{2g}$$

$Re = \left( \frac{Q}{\text{ρS}} \right)\frac{d}{\nu}$ ν – lepkość kinematyczna

Na przepływ laminarny ε nie wpływa.

W przepływie turbulentnym wraz ze wzrostem chropowatości ε rośnie λ,

a więc rośnie różnica ciśnień

Grawitacyjny:

$$r_{h} = \ \frac{S}{L_{Z}}$$

Wzór Chezy: $V_{sr} = C\sqrt{r_{h}I}$

Wzór Manninga: $C = \frac{1}{n}r_{h}^{\frac{1}{6}}$

$$V_{sr} = \frac{\sqrt{i}}{n}r_{h}^{2/3}$$

Współczynnik chropowatości ścian i dna kanału n ma miano [s/$m_{}^{\frac{1}{3}}$]

Gdy chropowatości n rośnie, prędkość średnia maleje.

Gdy chropowatości n maleje, prędkość średnia rośnie.

1. Jak wpływa różnica wysokości końcowego oraz początkowego przekroju rury na ciśnieniowy a jak na grawitacyjny przepływ ?

Ciśnieniowy:

$$h_{p} + \frac{p_{p}}{\text{ρg}} + \frac{V_{sr}^{2}}{2g} = h_{k} + \frac{p_{k}}{\text{ρg}} + \frac{V_{sr}^{2}}{2g} + h_{\text{str}}$$

$$\frac{p_{p} - p_{k}}{\text{ρg}} + h_{p} - h_{k} = h_{\text{str}}$$

$$\frac{p_{p} - p_{k}}{\text{ρg}} + h_{p} - h_{k} = \lambda\left( Re,\varepsilon \right)\frac{L}{d}\frac{V_{sr}^{2}}{2g}$$

Analizując przypadki, gdy różnica h_p −  h_k:

- rośnie > lewa strona równania rośnie, więc rośnie także V_śr > więcej przepływa

- maleje > lewa strona równania maleje, więc maleje także V_śr > mniej przepływa

Grawitacyjny:

Wzór Chezy: $V_{sr} = C\sqrt{r_{h}I}$

Wzór Manninga: $C = \frac{1}{n}r_{h}^{\frac{1}{6}}$

$$V_{sr} = \frac{\sqrt{i}}{n}r_{h}^{2/3}$$

Gdzie: $i = \sqrt{\frac{h_{p} - h_{k}}{L}}$

Analizując przypadki, gdy różnica h_p −  h_k:

- rośnie => przepływ płynie szybciej

- maleje => przepływ płynie wolniej

- gdy  h_p <  h_k => przepływ się skończy

1. Jak obliczyć czas opróżniania zbiornika kulistego, do połowy wypełnionego wodą, przez otwór w dnie ? (nie będzie – podobno jest w jakiejś książce)

2. Które elementy układu dostarczającego wodą mieszkańcom są niezbędne, a które możemy pominąć. I dlaczego ?

Niezbędne są:

- zbiornik wody surowej

- sieć dystrybucyjna

- przewód tranzytowy

- ujęcie wody – nie wiem czy to tu

Pominąć możemy:

- pompy (jeśli wysokość usytuowania zbiornika w stosunku do sieci zapewni dopływ wody do mieszkańców)

- stacje uzdatniania

- zbiornik wody czystej

1. Jak zmieni strumień masy, dwukrotne zwiększenie chropowatości w przepływie ciśnieniowym a jak w grawitacyjnym ?

Przepływ cisnieniowy:

Stąd wynika że jeśli E rośnie 2 razy to strumień masy Q2 będzie mniejszy od Q1 (Q1 strumien masy bez zwiększenia chropowatości, Q2 strumien masy po zwiększeniu chropowatości)

1. Dlaczego model udaru hydraulicznego w rurze sztywnej z nieściśliwą wodą jest nieadekwatny ?

Dlatego, że daje zawyżone wielkości ciśnienia w fali uderzeniowej w zjawisku udaru.

Co koryguje:

1. Ścianki są odkształcalne

Ściśliwość wody jest tak duża, że kiedy ona się objawia to jednocześnie objawia się odkształcenie rury. Gdy jest mniejsze ciśnienie rura ma mniejszą średnice, gdy dochodzi do udaru następuje powiększenie średnicy (jest to mikroskopowe)

1. W wodzie są mikropęcherzyki gazu ( gazem jest powietrze albo para wodna) i o ile ciało w postaci cieczy jest bardzo źle ściśliwe to gaz jest bardzo ściśliwy i powracająca fala napotyka na mniej ściśliwy ośrodek bo ciecz jest słabo ściśliwa, ale zawiera ona powietrze( banieczki i mimo że jest ich niewiele mają istotny wpływ na mierzoną wartość zmiany objętości pod wpływem ciśnienia, a to z kolei $\frac{p}{\rho}$ decyduje o prędkości fali

2. Sama woda jest ściśliwa. Miarą ściśliwości jest $\sqrt{\frac{p}{\rho}}$ - daje to prędkość wody rzędu 1500m/s (prędkość fali uderzeniowej w wodzie). Jak się wytwarza zjawisko udaru jest bardzo krótko utworzone to w nim uczestniczy tylko ta strefa do której fala uderzeniowa przybyła, czyli jak mamy 0,001s to mamy 0,001*1500 i zostaje 1,5m, jak to jest 0,01 to 15, jak 0,1 to 150, ale jak 0,01 s to jest powolny proces. Więc udar jest osłabiony przez fale w wodzie

Model jest nieadekwatny ponieważ daje zawyżone liczby jako określenie ciśnienia które powstałoby w takim zjawisku gwałtownego przerwania przepływu, a przyczyną jest nieuwzględnienie efektów I, II i III

1. Dlaczego do opisu przepuszczalności gruntu stosujemy model identycznych kulek ? Jak zrealizować pośrednie upakowanie kulek ?

Grunt jest bardzo złożoną strukturą, składa się z cząstek o różnych średnicach. Aby opisać taki grunt posłużono się pojęciem średnicy miarodajnej. Jest to średnica , dla której wartości filtracyjne gruntu realnego i tego utworzonego z cząstek o średnicy miarodajnej są identyczne.

Model najluźniejszego upakowania kulek przedstawia poniższy schemat:

Model bardziej gęsto upakowanej struktury kulek przedstawia poniższy schemat (tworzy się go poprzez przesunięcie poziome kolejnych warstw):

Strukturę najbardziej upakowaną można utworzyć rozważając przestrzeń trójwymiarową (między każde sąsiednie cztery kule jednej warstwy umieszczamy jedną kule kolejnej warstwy):

1. Należy objaśnić i obliczyć współczynnik porowatości objętościowej dla struktury najgęściej upakowanych kulek.

Współczynnik porowatości objętościowej jest to zawartość objętości porów w jednostce objętości gruntu.

- objętość porów -objętość badanej próbki

Współczynnika porowatości objętościowej dla struktury najgęściej upakowanych kulek Lechu sam nie potrafi policzyć:P

1. Wymieniono część ściany pływalnie w kształcie koła o promieniu R m. Grubość wymienionej ścianki c cm. Po upływie doby wyciekło Q kilogramów wody. Środek wymienionego fragmentu znajdował się R/2 m pod powierzchnią wody. Temperatura ok. 3°C. Jaka jest przepuszczalność materiału użytego do naprawy? Jak ją obliczyć?

R/2

c-grubość

temp około 3^oC=>1,8*10^-6m/s²

kinematyczny współczynnik

lepkości ν

Jak więcej wody to więcej popłynie

$$d\left\lbrack V \right\rbrack\left\lbrack \frac{cm^{3}}{s} \right\rbrack = \bullet rdr100d\alpha \bullet \frac{1}{c} \bullet \frac{p_{o} + \rho g \bullet 0,01 \bullet \left( R + \text{rsinα} \right) - p_{o}}{1,0325 \bullet 10^{5}\text{Pa}} \bullet \frac{10^{- 6}}{{1,8 \bullet 10}^{- 6}}$$

$$V = \bullet \frac{1}{c} \bullet \frac{\rho g \bullet 10^{- 2}}{1,0325 \bullet 10^{5}} \bullet \frac{1}{1,8} \bullet \int_{0}^{R}{\int_{0}^{2\pi}{\text{rdrdα}(R + 0,01 \bullet rsin\alpha)}}$$

Δ- przepuszczalność w darcy

c , r, R- cm

1. Górna krawędź trójkątnego fragmentu ścianki, która przepuszcza wodę znajduje się niezmiennie a/2 pod powierzchnią wody. Grubość 0,04a. Temperatura wody ok.21°C. Jak precyzyjnie liczyć przesiąkającą masę wody, jeśli otacza powietrze atmosferyczne?

$$21C\sim\nu = 10^{- 6}\frac{m^{2}}{s}$$

$$p_{1}{= p}_{0} + \rho g\left( \frac{a}{2} + z \right)$$

D [darcy] – przepuszczalność wg Darcy

$$\text{obj}\left\lbrack \frac{\text{cm}^{3}}{s} \right\rbrack = \text{D\ dz\ dy}\frac{p_{0} + \rho g\left( \frac{a}{2} + z \right) - p_{0}}{1,0325 \bullet 10^{5}\text{Pa}} \bullet \frac{10^{- 6}}{10^{- 6}} \bullet \frac{1}{0.04a \bullet 10^{2}}$$

$$\text{obj}\left\lbrack \frac{\text{cm}^{3}}{s} \right\rbrack = \left\{ \int_{0}^{a}{\text{dz}\int_{0}^{z}{\text{dy}\left( \frac{a}{2} + z \right)}} \right\} \bullet \frac{\rho g \bullet D \bullet 10^{4}}{4a \bullet 1,0325 \bullet 10^{5}\text{Pa}}$$

$$\text{obj}\left\lbrack \frac{\text{cm}^{3}}{s} \right\rbrack = \left\{ \int_{0}^{a}{\text{dz}\left( \frac{\text{az}}{2} + z^{2} \right)} \right\} \bullet \frac{\rho g \bullet D \bullet 10^{4}}{4a \bullet 1,0325 \bullet 10^{5}\text{Pa}}$$

$$\text{obj}\left\lbrack \frac{\text{cm}^{3}}{s} \right\rbrack = \left\{ \frac{a^{2}}{4} + \frac{\text{za}^{3}}{3} \right\} \bullet \frac{\text{ρg} \bullet D \bullet 10^{4}}{4a \bullet 1,0325 \bullet 10^{5}\text{Pa}}$$

1. Tekst jak 14.

$$21C\sim\nu = 10^{- 6}\frac{m^{2}}{s}$$

$$p_{1}{= p}_{0} + \rho g\left( \frac{a}{2} + z \right)$$

D [darcy] – przepuszczalność wg Darcy

$$\text{obj}\left\lbrack \frac{\text{cm}^{3}}{s} \right\rbrack = \text{D\ dz\ dy}\frac{p_{0} + \rho g\left( \frac{a}{2} + z \right) - p_{0}}{1,0325 \bullet 10^{5}\text{Pa}} \bullet \frac{10^{- 6}}{10^{- 6}} \bullet \frac{1}{0.04a \bullet 10^{2}}$$

$$\text{obj}\left\lbrack \frac{\text{cm}^{3}}{s} \right\rbrack = \left\{ \int_{0}^{a}{\text{dz}\int_{0}^{a - z}{\text{dy}\left( \frac{a}{2} + z \right)}} \right\} \bullet \frac{\rho g \bullet D \bullet 10^{4}}{4a \bullet 1,0325 \bullet 10^{5}\text{Pa}}$$

$$\text{obj}\left\lbrack \frac{\text{cm}^{3}}{s} \right\rbrack = \left\{ \int_{0}^{a}{\text{dz}\left( \frac{a(a - z)}{2} + {(a - z)}^{2} \right)} \right\} \bullet \frac{\rho g \bullet D \bullet 10^{4}}{4a \bullet 1,0325 \bullet 10^{5}\text{Pa}}$$

2. Obliczyć wypływ przez otwór (chyba poziom wody był przy górnej krawędzi otworu)

x² + z² = 0

z = z₁ + rsinα

$$Q = \mu\int_{0}^{R}{\int_{0}^{\pi}\sqrt{2g}} \bullet \sqrt{z_{1} + r\sin\alpha} \bullet r\ d\alpha\ dr + 2 \bullet \int_{0}^{b}{\int_{0}^{z_{1}}\sqrt{2g}} \bullet \sqrt{z}\text{\ dz\ dx}$$

Jak wpływa trzykrotne powiększenie średnicy wewnętrznej na różnice ciśnień potrzebną do zrealizowania przepływu.

a)

b)

P_1b

Dla a):

$$h_{} + \frac{p_{1a}}{\text{ρg}} + \left( \frac{Q \bullet 4}{\rho \bullet \pi \bullet d^{2}} \right)^{2} \bullet \frac{1}{2g} = h_{} + \frac{p_{2a}}{\text{ρg}} + \left( \frac{Q \bullet 4}{\rho \bullet \pi \bullet d^{2}} \right)^{2} \bullet \frac{1}{2g} + h_{\text{strA}}$$

p_1a − p_2a = ρ • g • h_strA

Dla b)

$$h_{} + \frac{p_{1b}}{\text{ρg}} + \left( \frac{Q \bullet 4}{\rho \bullet \pi \bullet {(3d}^{)2}} \right)^{2} \bullet \frac{1}{2g} = h_{} + \frac{p_{2b}}{\text{ρg}} + \left( \frac{Q \bullet 4}{\rho \bullet \pi \bullet {(3d)}^{2}} \right)^{2} \bullet \frac{1}{2g} + h_{\text{strB}}$$

p_1b − p_2b = ρ • g • h_strB

a)

$$h_{\text{strA}} = \lambda\left( \text{Re},\varepsilon \right) \bullet \frac{L}{d} \bullet \left( \frac{Q \bullet 4}{\rho \bullet \pi \bullet d^{2}} \right)^{2} \bullet \frac{1}{2g}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{Re} = \frac{d \bullet Q \bullet 4}{\rho \bullet \pi \bullet d^{2} \bullet \nu}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\varepsilon = \frac{k}{d}\text{\ \ \ \ \ \ \ }$$

b)

$$h_{\text{strB}} = \lambda(3\text{Re},\frac{1}{3}\varepsilon) \bullet \frac{L}{d} \bullet \left( \frac{Q \bullet 4}{\rho \bullet \pi \bullet {(3d)}^{2}} \right)^{2} \bullet \frac{1}{2g}$$

Różnica ciśnień jest 81 razy mniejsza, ale to trzeba jeszcze poprawić przez wielkość λ

20 Otwór rys. 2 z kartki

Zad rys. 1 z kartki Poziom lustra wody powyżej górnej krawędzi otworu