| WIiTCh Grupa 15 | Zespół nr |
Data wykonania: | |
|---|---|---|---|
Nr ćwiczenia: 4 |
Wyznaczanie modułu Younga Metodą rozciągania drutu i strzałki ugięcia pręta. |
Ocena: |
Podpis: |
Wyznaczanie modułu Younga.
Teoria.
Wyznaczanie modułu Younga przez pomiar rozciąganie drutów. Według prawa Hook’a stosunek ciśnienia do wywołanego przez nie odkształcenia jest dla niewielkich odkształceń wielkością stałą, zwaną współczynnikiem sprężystości. W przypadku rozciągania prętów miarą odkształcenia jest stosunek przyrostu długości do długości pierwotnej l, zwany wydłużeniem względnym :
.
Ciśnienie p jest to stosunek siły rozciągającej P do powierzchni przekroju pręta S:
Współczynnik proporcjonalności E nosi nazwę modułu Younga. Jest to stała materiałowa (zależna od temperatury):
Celem wyznaczenia E należy zmierzyć: P, S, l, .
Opis przyrządu.
Do pomiaru E używamy zazwyczaj drutów długości kilku metrów. Jeden koniec drutu zamocowujemy w uchwycie górnego wspornika, drugi obciążamy szalką do nakładania odważników. Do pomiaru używamy czujnika mechanicznego, pozwalającego mierzyć niewielkie długości z dokładnością 0,0005 mm, zamocowanego w uchwycie dolnego wspornika. Przymocowana do drutu żelazna ramka naciska na czujnik podczas wydłużenia drutu. Ciężar masywnej ramki wystarcza zazwyczaj do wyprostowania drutu.
Po odczytaniu położenia wskazówki czujnika dodajemy na szalkę ciężar P i robimy ponowny odczyt. Różnica odczytów to przyrost długości .
Długość l mierzymy taśmą mierniczą, średnicę drutu D mikromierzem, mierząc D w kilku miejscach w kierunkach do siebie prostopadłych i biorąc średnią.
Pole przekroju:
.
Wykonanie ćwiczenia i opracowanie wyników:
Zadanie 1.
Wyznaczanie modułu Younga przez rozciąganie drutu.
Obciążamy drut kolejno ciężarami F i mierzymy odpowiadające im wydłużenia , względem uprzednio ustawionego zera. Wyniki pomiarów umieszczamy w tabelce.
Tabela 1.
| Lp. | D [mm] | D [m] |
|---|---|---|
| 1 | 0,6 | 0,0006 |
| 2 | 0,6 | 0,0006 |
| 3 | 0,6 | 0,0006 |
| 4 | 0,6 | 0,0006 |
| średnia | 0,6 | 0,0006 |
Tabela 2.
2.
| Lp. | m [kg] | F=mg [N] | [mm] | [m] |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,5 | 4,9053 | 0,28 | 0,00028 |
| 2 | 1 | 9,8105 | 0,58 | 0,00058 |
| 3 | 1,5 | 14,7157 | 0,85 | 0,00085 |
| 4 | 2 | 19,6210 | 1,1 | 0,0011 |
| 5 | 2,5 | 24,5262 | 1,36 | 0,00136 |
| 6 | 3 | 29,4315 | 1,61 | 0,00161 |
| 7 | 3,5 | 34,3367 | 1,89 | 0,00189 |
| 8 | 4 | 39,2420 | 2,15 | 0,00215 |
l=3,1 [m]
Opracowanie wyników do zadania 1:
1.) Na podstawie danych zawartych w tabeli sporządzamy wykres zależności przyrostu długości od siły wydłużającej nanosząc na niego prostokąty niepewności ( wykres załączony do sprawozdania ).
Punkty pomiarowe powinny się układać na prostej y= ax+b (gdzie ).
Obliczyć, a i , ze wzorów regresji liniowej.
| lp | xi | yi | xi-śrx | yi-śry | (xi-śrx)yi | (xi-śrx)^2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4,9053 | 0,00028 | -17,1684 | -0,0009 | -0,0048 | 294,7531 |
| 2 | 9,8105 | 0,00058 | -12,2631 | -0,0006 | -0,0071 | 150,3842 |
| 3 | 14,7158 | 0,00085 | -7,3579 | -0,0004 | -0,0063 | 54,1383 |
| 4 | 19,6210 | 0,0011 | -2,4526 | -0,0001 | -0,0027 | 6,0154 |
| 5 | 24,5263 | 0,00136 | 2,4526 | 0,0001 | 0,0033 | 6,0154 |
| 6 | 29,4315 | 0,00161 | 7,3579 | 0,0004 | 0,0118 | 54,1383 |
| 7 | 34,3368 | 0,00189 | 12,2631 | 0,0007 | 0,0232 | 150,3842 |
| 8 | 39,2420 | 0,00215 | 17,1684 | 0,0009 | 0,0369 | 294,7531 |
| suma | suma | suma | suma | suma | ||
| 176,5890 | 0,00982 | 0,0000 | 0,0544 | 1010,5821 | ||
| Ei | Ei^2 | |||||
| -2,33333E-05 | 5,44E-10 | |||||
| 1,2619E-05 | 1,59E-10 | |||||
| 1,85714E-05 | 3,45E-10 | |||||
| 4,52381E-06 | 2,05E-11 | |||||
| 4,7619E-07 | 2,27E-13 | |||||
| -1,35714E-05 | 1,84E-10 | |||||
| 2,38095E-06 | 5,67E-12 | |||||
| -1,66667E-06 | 2,78E-12 | |||||
| suma | ||||||
| 1,26E-09 |
2.) Obliczamy wartość modułu Younga dla masy maksymalnej.
Z wzoru:
4.) Obliczamy niepewność względną wyznaczonej wartości E, a następnie niepewność średnią kwadratową lub maksymalna pomiaru ( niepewności maksymalne są równe potrojonej wartości odchyleń standardowych ).
Obliczamy rozrzut d:
Za niepewność pomiarową przyjmujemy niepewność systematyczną:
5.) Porównujemy otrzymaną wartość z wartością tablicową, pamiętając że wartości te mają charakter orientacyjny, gdyż zależą od składu oraz obróbki termicznej i mechanicznej materiału.
Wartość modułu Younga dla stali wg tablic wynosi 2,00 – 2,20 x 1011 [N/m2]. Wyliczona przez nas wartość mieści się w podanym zakresie
Zadanie 2.
Wyznaczanie modułu Younga przez pomiar strzałki ugięcia pręta.
Tabela 4.
Położenie „0” – 13,4 [cm]
| Lp. | F [N] | Odczyt czujnika [cm] | [cm] | [m] | m [dkg] | m[kg] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,0981 | 13,1 | 0,3 | 0,003 | 1 | 0,01 |
| 2 | 0,1962 | 12,7 | 0,7 | 0,007 | 2 | 0,02 |
| 3 | 0,4905 | 11,7 | 1,7 | 0,017 | 5 | 0,05 |
| 4 | 0,9811 | 10,1 | 3,3 | 0,033 | 10 | 0,1 |
| 5 | 1,9621 | 6,8 | 6,6 | 0,066 | 20 | 0,2 |
| 6 | 2,4526 | 5,1 | 8,3 | 0,083 | 25 | 0,25 |
| Stała: | Y | |
|---|---|---|
| 2l/(2l+3s) | 1 | 0,0025 |
| 0,8425 | 2 | 0,0059 |
| 3 | 0,0143 | |
| 4 | 0,0278 | |
| 5 | 0,0556 | |
| 6 | 0,0699 |
Stała :
Tabela 3.
| Lp. | d[mm] | d [m] | h [mm] | h [m] | l [cm] | l [m] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 15 | 0,015 | 3 | 0,003 | 76,3 | 0,763 |
| 2 | 15 | 0,015 | 3 | 0,003 | 76,2 | 0,762 |
| 3 | 15 | 0,015 | 3 | 0,003 | 76,2 | 0,762 |
| 4 | 15 | 0,015 | 3 | 0,003 | 76,3 | 0,763 |
| średnia | 15 | 0,015 | 3 | 0,003 | 76,25 | 0,7625 |
| Lp. | s [cm] | s [m] |
|---|---|---|
| 1 | 9,5 | 0,095 |
| 2 | 9,5 | 0,095 |
| 3 | 9,5 | 0,095 |
| 4 | 9,5 | 0,095 |
| 5 | 9,5 | 0,095 |
| 6 | 9,5 | 0,095 |
| średnia | 9,5 | 0,095 |
Opracowanie wyników do zadania 2.
1.) Na podstawie wyników z tabeli 4 wykonujemy wykres zależności Y=f(F) ( wykres załączony do sprawozdania ).
2.) Metodą graficzna lub regresji liniowej obliczamy współczynnik a, nachylenia prostej uzyskanej z punktów pomiarowych oraz niepewność pomiaru .
| lp | xi | yi | xi-śrx | yi-śry | (xi-śrx)yi | (xi-śrx)^2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,0981 | 0,0025 | -0,9320 | -0,0268 | -0,0023 | 0,8686 |
| 2 | 0,1962 | 0,0059 | -0,8339 | -0,0234 | -0,0049 | 0,6954 |
| 3 | 0,4905 | 0,0143 | -0,5396 | -0,0150 | -0,0077 | 0,2912 |
| 4 | 0,981 | 0,0278 | -0,0491 | -0,0015 | -0,0014 | 0,0024 |
| 5 | 1,9621 | 0,0556 | 0,9320 | 0,0263 | 0,0518 | 0,8687 |
| 6 | 2,4526 | 0,0699 | 1,4225 | 0,0406 | 0,0994 | 2,0236 |
| suma | suma | suma | suma | |||
| 6,1805 | 0,176 | 0,1349 | 4,7499 | |||
| Ei | Ei^2 | |||||
| -0,0515 | 0,0027 | |||||
| -0,0234 | 0,0005 | |||||
| -0,015 | 0,0002 | |||||
| -0,0015 | 0 | |||||
| 0,0263 | 0,0007 | |||||
| 0,0406 | 0,0016 | |||||
| suma | suma | |||||
| -0,0245 | 0,0058 |
3.) Do tego wzoru :
podstawiamy wartości i obliczamy E.
4.) liczymy niepewność pomiaru , a następnie porównujemy go z wartością modułu Younga uzyskaną metodą poprzednią,
Badamy rozrzut h:
Za niepewność pomiarową przyjmujemy niepewność systematyczną.
Obliczamy rozrzut d:
Za niepewność pomiarową przyjmujemy niepewność systematyczną.
Badamy rozrzut l:
| Lp. | L[m] | (li-lśr) |
|---|---|---|
| 1 | 0,763 | 0,0005 |
| 2 | 0,762 | -0,0005 |
| 3 | 0,762 | -0,0005 |
| 4 | 0,763 | 0,0005 |
[m]
Za niepewność pomiarową przyjmujemy niepewność przypadkową
Wnioski:
Z przeprowadzonego doświadczenia wnioskujemy, że otrzymane wyniki są zbliżone do tablicowych. Metoda pomiaru strzałki ugięcia pręta jest bardziej dokładna niż metoda pierwsza