18. Definicja całki Riemanna i jej interpretacja geometryczna. Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna.

Niech f bÄ™dzie funkcjÄ… na przedziale ograniczonym [a,b]. Punktami a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n = b, gdzie n ϵ N, podzielmy przedziaÅ‚ [a,b] na n przedziałów częściowych <x_{i − 1}, x_i> odpowiednio o dÅ‚ugoÅ›ciach x_i = x_i − x_{i − 1}, i=1,2,…,n. PodziaÅ‚em tego przedziaÅ‚u jest zbiór P = {x₀, …, x_n}. LiczbÄ™ δ(P) = max{x_i : 1 ≤ i ≤ n} nazywamy Å›rednicÄ… podziaÅ‚u P. W każdym przedziale częściowym obieramy dowolny punkt ${\overset{\overline{}}{x}}_{i}$, czyli $x_{i - 1} \leq {\overset{\overline{}}{x}}_{i} \leq x_{i}.$

Def. Niech będzie dana funkcja f:[a,b]→R. Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem:

$$\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}} = \operatorname{}{\sum_{i = 1}^{k}{f\left( {\overset{\overline{}}{x}}_{i} \right)x_{i}}}$$

O ile, że po prawej stronie znaku równości granica jest właściwa oraz nie zależy od sposobu podziałów P przedziału [a,b], ani od sposobów wyboru punktów pośrednich ${\overset{\overline{}}{x}}_{i}$, gdzie 1 ≤ i ≤ n

Warunek konieczny całkowalności: Jeżeli f jest funkcją całkowalną na przedziale <a,b> to f jest funkcją ograniczoną na tym przedziale.

Warunki wystarczające całkowalności: (Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna)

1. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale <a,b> to jest całkowalna w sensie Riemanna.

2. Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale <a,b> i ma w nim skończoną liczbę punktów nieciągłości to jest całkowalna w sensie Riemanna.

Przykład funkcji, która nie jest całkowalna w sensie Riemanna:

$$f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} 0,\ \ \text{dla}\ R\backslash Q \\ 1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ \text{xϵQ} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Q- zbiór liczb wymiernych

f nie jest całkowalna na żadnym przedziale [a,b], a<b. Nie jest ponieważ, biorąc punkty pośrednie wymierne, a drugie niewymierne, jedne sumy całkowe są 1, a drugie 0, więc nie istnieje granica. Granica by istniała gdyby nie zależało to od wyboru punktów pośrednich.

Interpretacja geometryczna: Niech f będzie funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale <a,b>. Weźmy pod uwagę figurę D ograniczoną liniami: y=0, y=f(x), x=a, x=b (rys. poniżej), czyli

D = {(x,y)ϵR²â€„: a ≤ x ≤ b,  0 ≤ y ≤ f(x)}.

Polem trapezu jest:

|D| = ∫_a^bf(x)dx