METODY CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

PROJEKTOWANIA REGULATORA

DLA UKŁADÓW SISO

Obecnie rozpatrzymy klasyczne częstotliwościowe

metody sterowania układami o jednym wejściu i

jednym wyjściu (SISO). Skoncentrujemy się na

metodach kształtowania funkcji przejścia układu

otwartego. W przypadku układów

minimalnofazowych bardzo często wystarcza

kształtowanie charakterystyki amplitudowo-

częstotliwościowej Bode’go. W przypadku obiektów

nieminimalnofazowych niezbędne jest kształtowanie

zarówno charakterystyki amplitudowej jak i

charakterystyki fazowej. Ponadto zastosujemy tu

proste metody heurystyczne, na przykład strojenie

regulatora PID.

Kształtowanie charakterystyki

amplitudowej układu otwartego

• Przez transmitancję obiektu G(s) rozumiemy transmitancję

obiektu uogólnionego, w skład którego obok obiektu

włączone są transmitancje opisujące dynamikę wszystkich

elementów automatyki z wyjątkiem regulatora. Układ

otwarty jest opisany przez transmitancję L(s), która z kolei

jest iloczynem transmitancji obiektu G(s) i transmitancji

regulatora K(s):

• Ogólnie transmitancję dowolnego układu można przedstawić

w postaci czynnikowej:

•

• czyli zbudowanej z członów:

•

,

• gdzie wprowadziliśmy częstość znormalizowaną



=



T.

Wykresy Bodego tych członów z wykładnikiem –1

przedstawia rysunek.

)

(

)

(

)

(

s

s

s

K

G

L



 

 





 





































 



2

2

2

1

1

2

1

1

s

T

s

T

s

T

s

s

T

s

T

s

T

k

s

m

m

m

i

N

l

l

l

j













G

1

(1

)

j



 

2

1

[1 2 (

) (

) ]

l

j

j

x

�

+

W + W

Znormalizowane ch-ki

częstotliwościowe

Logartytmiczne ch-ki częstotliwościowe

• Jeśli przedstawimy charakterystyki częstotliwościowe członów w skali

logarytmicznej, to można je aproksymować liniami prostymi, łatwymi do

wykreślenia. Przy podejściu logarytmicznym iloczyny członów (opisanych

funkcjami zespolonymi) zastępuje się sumami (różnicami) ich modułów oraz sumą

(różnicą) ich faz, np. dla funkcji:

• mamy:

• gdzie: , itd., natomiast: itd.

Wykorzystanie powyższych wzorów pozwala na łatwe wykreślenie charakterystyk

Bodego obiektu.

• Jak już wspomniano charakterystyka układu otwartego jest iloczynem

transmitancji obiektu i transmitancji regulatora, czyli: Jeśli

mamy na przykład regulator zapisany w postaci czynnikowej:

• gdzie: , itd., natomiast: itd., to

charakterystyki układu otwartego wyznaczymy w następujący sposób:

• przy czym: , itd., natomiast: .

)

(

)

(

)

(

)

(

3

2

1









j

j

j

j

G

G

G

G



),

(

)

(

)

(

)

(

),

(

)

(

)

(

)

(

3

2

1

3

2

1





































M

M

M

M







j

j

j

e

G

G

)

(

)

(



,

)

(

log

20

)

(

10





j

G

M



).

(

)

(

)

(

s

s

s

K

G

L



)

(

)

(

)

(

)

(

3

2

1









j

j

j

j

K

K

K

K









j

j

j

e

K

K

)

(

)

(



,

)

(

log

20

)

(

10





j

K

N



),

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

),

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1



































































L

L

N

N

N

M

M

M

M

L

j

j

j







e

L

L

)

(

)

(



)

(

log

20

)

(

10





j

L

L

M



Pożądane ch-ki układu zamkniętego

•

Przebieg charakterystyki układu zamkniętego wynika z zadań, które ma wypełniać układ

sterowania oraz z narzuconych kryteriów jakości. Przykładowe pożądane charakterystyki

amplitudowe układu zamkniętego przedstawione są na rysunku.

•

Charakterystyka narysowana linią ciągłą może dotyczyć serwomechanizmu. Początkowe strome

dodatnie nachylenie charakterystyki ma zapewnić minimalne wzmocnienie w zakresie niskich

częstości. Ma to na celu minimalizację uchybu ustalonego. Zgodnie z twierdzeniem o wartości

końcowej uchyb ustalony układu zamkniętego (a tym samym odpowiedź układu przy zerowej

wartości zdanej) wyznaczamy z zależności:

•

Ponieważ charakterystyka T(s)│s=jω dla małych częstości dąży do zera, to pierwszy składnik

uchybu ustalonego dąży do zera. Niestety drugi składnik pozostaje duży. Dlatego powinniśmy

zastosować kompensację zakłócenia, lub minimalizować wpływ zakłócenia przez dodatkowe filtry

korygujące. Jeśli zakłócenia są małe, to wystarczy regulator, który zapewnia funkcję

komplementarnej T(s) wrażliwości narysowaną linią ciągłą.

 

 

   

     

s

s

s

s

s

s

s

s

s

t

d

s

s

s

t

st

ust

z

G

S

w

T

Y

y

y

e

0

0

0

lim

lim

lim





















A(ω)

ω

Ch-ka układu zamkniętego

•

Charakterystyka narysowana linią przerwaną, jest

korzystna w przypadku czujników pomiarowych mających

wewnętrzną pętlę regulacyjną. Tu współczynnik

wzmocnienia powinien być maksymalnie stały w zakresie

całego częstotliwościowego pasma pomiarowego.

Zauważmy, że w zakresie wysokich częstości

charakterystyka amplitudowa dla każdego układu

zamkniętego powinna stromo spadać. W tym zakresie

występują zazwyczaj zakłócenia (szumy układu), których nie

należy wzmacniać. Punkt załamania charakterystyki zależy

przede wszystkim od wymaganego pasma użytkowego

układu i od rodzaju zastosowanych elementów automatyki.

Z elementów elektrycznych możemy, ze względu na ich

stałe czasowe, zbudować układ o znacznie szerszym paśmie

przenoszenia (użytkowym), niż w przypadku zastosowania

elementów pneumatycznych. Należy mieć na uwadze, że im

szersze pasmo przenoszenia, tym większe zużycie energii

przez układ sterowania.

Ch-ka układu otwartego

• Związek pomiędzy wielkością zadaną a wielkością mierzoną określany jest

przez funkcję komplementarnej wrażliwości T=(I+GK)-1GK=(I+L)-1L,
którą dla układu o jednym wejściu i jednym wyjściu można zapisać w
postaci transmitancji:

• Mając narzuconą postać charakterystyk układu zamkniętego w postaci

transmitancji T(s), możemy określić transmitancję układu otwartego L(s):

• Pożądany przebieg tej charakterystyki układu otwartego pokazuje rysunek.

( )

( ) ( )

( )

.

1

( ) 1

( ) ( )

L s

G s K s

T s

L s

G s K s

=

=

+

+

.

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

s

T

s

T

s

K

s

G

s

L







L(s)

< – 40
[dB/dek]

– 20 [dB/dek]

– 40 [dB/dek]

ω

Ch-ka układu otwartego

• Przebieg ten można uzasadnić na bazie kryterium stabilności Nyquista i

wynikających z niego kryteriów zapasu fazy i zapasu modułu. Pierwsza

część charakterystyki ma spadek co najmniej 40 [dB/dek], co pozwala na

zapewnienie małej wartości uchybu statycznego układu zamkniętego.

Niestety ten spadek związany jest, dla układów minimalnofazowych, ze

spadkiem fazy do minus 180o i poniżej. Taki spadek fazy jest

niedopuszczalny w pobliżu częstości przecięcia ωc charakterystyki z linią

0[dB]. Zgodnie z kryterium Nyquista zapas fazy dla tej częstości powinien

wynosić 45-60o, czyli spadek fazy może osiągnąć minus 120-135o. Dlatego

spadek charakterystyki amplitudowej w otoczeniu częstości ωc należy

zmniejszyć się do –20[dB/dek], aby podnieść charakterystykę fazową.

Szerokość tej części charakterystyki powinna być na tyle duża, aby

charakterystyka fazowa zdążyła się podnieść do wymaganej wielkości.

Powyżej tych częstości spadek charakterystyki fazowej ponownie rośnie,

aby wytłumić szumy i ograniczyć pasmo przenoszenia układu. Należy

pamiętać, że zużycie energii na sterownie rośnie wraz ze wzrostem

szerokości pasma przenoszenia. Istotnym jest więc wybór częstości ωc – a

ten wybór zależy od zadań stawianych układowi sterowania.

• Projektowanie regulatora metodą korekcji sprowadza się do takiego doboru

regulatora, aby jego charakterystyki dopełniały charakterystyki obiektu do

pożądanych charakterystyk układu otwartego, a te z kolei miały przebieg

pokazany na rysunku.

Człony korekcyjne

•

Właściwą jakość regulacji w układach śledzących i serwomechanizmach uzyskuje

się poprzez dobór odpowiednich członów korekcyjnych. Uproszczony schemat blokowy

takiego układu pokazano na rysunku . Człon korekcyjny o transmitancji operatorowej

Gk(s) włączony jest szeregowo przed obiekt o transmitancji operatorowej Go(s).

• Zadaniem transmitancji Gk(s) jest ustabilizowanie przebiegu wielkości regulowanej. W

niektórych wypadkach stosowane są prekompensatory o transmitancji Gp(s),

ustawiane przed układem (sygnał w podawany jest na prekompensator). Zadaniem

transmitancji Gp(s) jest dopasowanie układu regulacji np.: do żądanego wzmocnienia

statycznego, czasu regulacji, itd.

•

Powstaje pytanie – jaka powinna być transmitancja członu korekcyjnego Gk(s)? W

pierwszym tomie podręcznika pokazano wpływ współczynnika wzmocnienia członu

proporcjonalnego na położenie charakterystyki amplitudowej i fazowej układu

otwartego (patrz: badanie stabilności metodą logarytmicznego kryterium Nyquista).

Przypomnijmy, że człon proporcjonalny nie ma wpływu na przebieg charakterystyki

fazowej układu (charakterystyka fazowa członu proporcjonalnego jest stała i wynosi

zero). Współczynnik wzmocnienia k członu proporcjonalnego podnosi lub obniża

charakterystykę amplitudową układu otwartego zgodnie z wyrażeniem: L = 20log k

[dB]. Łatwo można wykazać że zadania elementu korekcyjnego nie mogą pełnić człony

różniczkujące (przy różnych e = const, u = 0, ponieważ współczynnik wzmocnienia k =

0), a także całkujące (stałe czasowe musiałyby być duże, co spowodowałoby

spowolnienie działania układu). Pozostaje więc rozważenie, w jaki sposób oddziałują

korektory proporcjonalno- różniczkujące (PD), proporcjonalno-całkujące (PI) oraz

proporcjonalno-całkująco-różniczkujące (PID). Nazwa korektorów związana jest z

nazwami członów połączonych równolegle w jeden korektor.

w

+

–

e

y

Człon korekcyjny PD

• Transmitancję operatorową członu korekcyjnego PD przyjmijmy w

postaci:

• Pokazać charakterystyki korektora PD
•
• Korektor PD o powyższej transmitancji może być zrealizowany jako

pasywny obwód CR, wówczas k  1 , a T/k  T. Charakterystyki

Bodego, dla k = 10 oraz T = 0,5; 1,0; 2,0, wyznaczono korzystając
z oprogramowania Matlab.

s

k

T

Ts

k

s

G

k







1

1

1

)

(

i

1

(t)

C

U

1

(t)

i

2

(t)

R

1

R

2

U

2

(t)

C

R

T

1



1

2

2

1

R R

k

R

+

=

>

Ch-ki członu PD

Charakterystyka fazowa pokazuje, że korektor PD posiada dodatnią fazę w całym zakresie
częstotliwości. Wprowadzenie tego członu do układu spowoduje podniesienie charakterystyki
fazowej układu otwartego. Pozwala to na zwiększenie wzmocnienia (zachowując zapas fazy i
modułu), a tym samym zwiększenie pasma przenoszenia, a więc szybkości działania układu.
Człon ten nosi nazwę członu przyśpieszającego fazę.

Korekcja PI

• Transmitancję operatorową członu korekcyjnego PI przyjmijmy w postaci:

• Korektor PI o powyższej transmitancji może być zrealizowany na pasywnym

obwodzie RC , wówczas k  1 a kT  T. Dla przyjętej transmitancji członu PI, dla

k = 10 T = 1; 10; 25, można sporządzić wykresy logarytmicznej charakterystyki

amplitudowej i fazowej. Przedstawić charakterystyki członu korekcyjnego PI.

kTs

Ts

s

G

k







1

1

)

(

C

U

1

(t)

i(t)

R

1

R

2

1

2

2

1







R

R

R

K

C

R

T

2



Korekcja PI

Charakterystyka fazowa pokazuje, że korektor PI posiada ujemną fazę w całym
zakresie częstotliwości. Człon ten powoduje podniesienie charakterystyki
amplitudowej układu otwartego, czyli zwiększa wzmocnienie tego układu w zakresie
niskich częstotliwości, a to z kolei umożliwia osiągnięcie większej dokładności układu.
Człon ten nosi nazwę członu opóżniającego fazę

.

Korekcja PID

• Korektor proporcjonalno–całkująco–różniczkujący PID uzyskuje się w

wyniku szeregowego połączenia członu opóźniającego fazę oraz
członu przyśpieszającego fazę. Transmitancję operatorową członu
korekcyjnego PID przyjmijmy w postaci:

• Przykład 16.3. Korektor PID
• Przyjmując a) T1 = 0,1, k1 = 20, T2 = 0,2, k2 = 0,02; b) T1 = 0,02,

k1 = 20, T2 = 0,05, k2 = 0,02 i korzystając z oprogramowania

MATLAB wyznaczono przebiegi charakterystyk Bodego

s

T

k

s

T

s

T

k

s

T

s

G

k

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

)

(











Korekcja PID

Można zauważyć, że logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa członu
korekcyjnego PID powstała w wyniku dodania charakterystyk korektorów PI oraz PD.
Charakterystyki członu PID powodują opóźnienie fazy w zakresie niższych częstotliwości
i przyśpieszenie w zakresie wyższych częstotliwości. Jest to korzystne pod warunkiem,
że obniżenie charakterystyki, w zakresie niskich częstotliwości, nie spowoduje
niestabilności. Uzyskane w taki sposób podniesienie, w zakresie wyższych
częstotliwości, umożliwi większe wzmocnienie układu otwartego, a tym samym większą
szybkość działania tego układu.

Regulatory dla obiektów

nieminimalnofazowych

• Aproksymacja Pade stanowi bardzo dogodny do obliczeń sposób

przybliżania transmitancji członu opóźniającego przez pewną

transmitancję wymierną w dowolnie szerokim (ale skończonym) zakresie

częstotliwości. Polega na przedstawieniu transmitancji linii opóźniającej

o opóźnieniu transportowym To w postaci ilorazu:

• Następnie rozkłada się oddzielnie licznik i mianownik powyższego

wyrażenia w szereg potęgowy. Gdy ograniczymy się do wyrazów

liniowych, to mamy:

• Tę aproksymację nazywamy aproksymacją Pade 1-go rzędu. Pozwala

ona sprowadzić transmitancję niewymierną do transmitancji w postaci

wymiernej. Zauważmy, że aproksymacja wprowadza zero leżące w lewej

półpłaszczyźnie (LPP) zmiennej zespolonej s. Układy, w których

występują zera zlokalizowane w LPP nazywamy układami

nieminimalnofazowymi. Jak się okaże później obiekty

nieminimalnofazowe są kłopotliwe w sterowaniu.

2

2

o

o

o

T

s

T

s

sT

e

e

e







2

1

2

1

o

o

sT

T

s

T

s

o









e

Kompromisy przy projektowaniu

• W klasycznym kształtowaniu pętli przy projektowaniu regulatora, przez "kształt

pętli” rozumiemy funkcję przejścia (transmitancję) układu otwartego L = GK

jako wielkość w funkcji częstości. Zrozumienie, jak należy wybrać funkcję

przejścia regulatora K dla układu o jednym wejściu i jednym wyjściu, aby

odpowiednio kształtować pętlę układu otwartego jest cenną wiedzą również na

potrzeby projektowania układów o wielu wejściach i wielu wyjściach. Dlatego w

dwóch dalszych punktach podręcznika omówimy problemy układów o jednym

wejściu i jednym wyjściu.

• Przypomnijmy równanie operatorowe na błąd regulacji: e(s) = w(s) – y(s)

układu zamkniętego w funkcji sygnałów wejściowych: sterującego, wymuszenia

zewnętrznego, szumu:

•

.

• "Idealne sterowanie" ma miejsce gdy: e = w -y = 0 ; tak więc pożądane jest aby:

•

.

• Wyzerujemy dwa pierwsze człony związane z nadążaniem za wartością zadaną

oraz kompensacją wymuszeń zewnętrznych w przypadku, gdy zapewnimy, że:

S≈0 lub, co jest równoważne: T≈1. Ponieważ S=(1+L)-1, to jest oczywiste że L

musi mieć dużą wartość. Z drugiej strony wymaganie na zerową transmisję

szumu (trzeci człon) wskazane jest aby: T≈0 lub, co jest równoważne: S≈1, co

prowadzi do: L≈0. Te rozważania dobrze ilustrują podstawowy problem układów

ze sprzężeniem zwrotnym; konflikt i konieczność kompromisu pomiędzy

podstawowymi celami, które chcemy uzyskać przy pomocy sprzężenia

zwrotnego. W rozważanym przez nas równaniu mamy więc konflikt pomiędzy

nadążaniem za wartością zadaną i odrzucaniem wymuszeń a redukcją wpływu

szumów.

(

)

(

)

(

)

1

1

1

1

1

1

d

e

L w

L G d

L Ln

S

T

S

-

-

-

=- +

+ +

+ +

�

�

�

~0

0

0

e

d

w

n

�

+

+

Kompromisy przy projektowaniu

• Istotnym również jest rozważenie wielkości sygnału sterowania u (który jest

wejściem do układu). Chcielibyśmy, aby u pozostało małe ze względu na

ograniczone źródła energii i mniejsze zużycie elementów automatyki.

Ponadto u jest często zaburzeniem dla innych części projektowanego

układu. (nie można poprawić komfortu w swoim pokoju przez otwarcie okna

ze względu na system klimatyzacji w całym budynku). Dlatego szczególnie

powinniśmy unikać szybkich zmian u. Prawo sterowania dane jest funkcją:

u=K(r-ym); stąd możemy wydedukować, że małemu u odpowiada małe

wzmocnienie regulatora K, a tym samym małe: L=GK.

•

Jako najważniejsze cele układu sterowania, dla których musimy

znaleźć kompromis przy projektowaniu regulatora można zestawić jako

następujące:

• 1. Jakość układu; istotne zmniejszenie wpływu zaburzenia wymaga dużych

wzmocnień regulatora, to jest dużego L .

• 2. Jakość układu; dobre nadążanie za wartością zadaną wymaga dużego L.

• 3. Stabilizacja niestabilnego obiektu – duże L.

• 4. Złagodzenie wpływu szumu na wyjścia układu – małe L.

• 5. Mała wielkość sygnałów wejściowych (sterujących) – małe K i małe L.

• 6. Realizowany fizycznie regulator musi być ściśle właściwy; to znaczy: K→0,

a tym samym L→0 dla wysokich częstości.

• 7. Nominalna stabilność (dla stabilnego obiektu) – L małe (z powodu zer w

prawej półpłaszczyźnie oraz opóźnień czasowych).

• 8. Odporna stabilność (dla stabilnego obiektu) – L małe (z powodu

niepewności parametrów obiektu lub pominiętej dynamiki).

Metodyka kształtowania pętli

sprzężenia zwrotnego

• Przez kształtowanie pętli rozumiemy procedurę projektowania, która

kształtuje explicite wielkość (amplitudę) transmitancji układu

otwartego, L(jω), przy czym: L(s) = G(s)K(s), gdzie K(s) jest

transmitancją (macierzą transmitancji) regulatora w pętli sprzężenia

zwrotnego i tą transmitancję należy wyznaczyć, natomiast G(s) jest

iloczynem wszystkich funkcji przejścia wszystkich pozostałych

elementów automatyki znajdujących się w pętli (obiektu, elementów

pomiarowych elementów wykonawczych). W szczególności, aby

wykorzystać możliwości dane przez układ sterowania, chcielibyśmy

uzyskać duże wartości amplitudy L(jω), w paśmie przenoszenia.

Jednakże ze względu na: opóźnienia czasowe, zera transmitancji

znajdujące się w prawej półpłaszczyźnie (ang. Right Hand Plane zeros –

RHP-zeros), pominięcie członów z wysoko–częstotliwościwą dynamiką,

a także ze względu na ograniczenia energetyczne sygnałów

sterujących wartości wzmocnienia pętli muszą spaść poniżej jedności

dla i powyżej pewnej częstości, którą nazywa się częstością odcięcia

ωc. Tym samym, pomijając problem stabilności, z powyższych

ograniczeń wynika, że wskazanym jest, aby |L(jω)| opadała stromo

wraz z częstotliwością. Miarą szybkości spadku |L(jω)| jest

logarytmiczny współczynnik spadku (pochyłość) N = dlnL/dlnω. Na

przykład, pochyłość N = –1 oznacza, że |L| zmniejsza się 10-krotnie w

przedziale (zwanym dekadą), w którym częstość wzrasta 10-krotnie.

Jeśli wzmocnienie jest mierzone w decybelach [dB], wówczas pochyłość

N = –1 odpowiada spadkowi –20[dB/dek]. Wartość –N w zakresie

wysokich częstości często nazywa się stopniem odcięcia.

Metodyka kształtowania pętli

sprzężenia zwrotnego

• Projektowanie L(s) jest najbardziej decydujące i trudne w przedziale przecięcia, to

znaczy pomiędzy częstością ωc (gdzie |L|=1) i częstością ω180 (gdzie faza: argL=-

180o). Dla zapewnienia stabilności niezbędnym jest, aby wzmocnienie pętli było

mniejsze niż 1 przy częstości ω180, to znaczy: L(jω180)<1 .Tym samym, aby uzyskać

szerokie pasmo przenoszenia (szybką odpowiedź układu) chcemy, aby ωc a więc i

ω180 było duże, czyli aby przesunięcie fazowe L było małe. Niestety, jest to

sprzeczne z wymogiem, aby |L| gwałtownie zmniejszał się wraz z częstością. Dla

przykładu, transmitancja L = 1/sn (o pochyłości N = –n na wykresie logarytmicznym)

ma fazę L = -n*90o. Aby zapewnić zapas fazy 45o charakterystyka fazowa powinna

spełniać warunek L >–135o, a tym samym nachylenie L nie może przekraczać N = 1,5.

W dodatku, jeśli bardziej zwiększymy pochyłość w zakresie niższych lub wyższych

częstotliwości, to te działanie doda niepożądane przesunięcie fazowe na dla

pośrednich częstości.

• Sytuacja ulega dalszemu pogorszeniu, gdy pojawia się człon opóźniający lub zera w

LHP. W tych przypadkach mamy dodatkowe przesunięcie fazowe bez pożądanego

dodatkowego ujemnego nachylenia amplitudy L. Te dodatkowe przesunięcie fazowe

dla częstości odcięcia ωc może sięgać –30o lub je przekraczać.

• Podsumowując, pożądane nachylenie charakterystyki |L(s)| w otoczeniu częstości

odcięcia ωc powinno wynosić –1, natomiast poza rejonem częstości odcięcia powinno

wynosić –2 lub więcej. Ponadto dla regulatora właściwego musimy zapewnić, aby

L=GK miało nachylenie odcięcie co najmniej tak strome jak G. Dla niskich częstości,

pożądany kształt L zależy od charakteru wartości zadanych i zewnętrznych wymuszeń,

dla których został zaprojektowany układ sterowania. Jeśli na przykład rozważamy

skokowe zmiany wartości zadanej lub wymuszeń, które mają wpływ na odpowiedź

układu, to jest dopuszczalne nachylenie L wynoszące N = –1 w przedziale niskich

częstości. Jeśli wartości zadane lub wymuszenia zmieniają się w sposób narastający, to

wymagana jest pochyłość N = –2. W praktyce dodaje się w regulatorze odpowiednią

ilość członów całkujących aby zapewnić pożądane działanie układu zamkniętego w

zakresie niskich częstości, a w szczególności jego charakterystyki nadążne. Jako

zasadę w serwomechanizmach (układach nadążnych) stosuje się następujące prawo.

Astateczność-zerowanie uchybu

• Transmitancja L(s) powinna zawierać przynajmniej jeden człon

całkujący na każdy człon całkujący zawarty w sygnale r(s).

• Dowód: Niech gdzie jest nie zerowe i

ograniczone a nI jest liczbą członów całkujących w

transmitancji L(s) – czasami nI jest nazywane typem systemu.

Rozpatrzymy sygnał wymuszający postaci r(s) = 1/ . Na

przykład jeśli r(t) jest skokiem jednostkowym, wtedy r(s) = 1/s

(nr = 1), a jeśli r(t) jest wymuszeniem liniowo narastającym

(skokiem prędkości) wtedy r(s) = 1/s2 (nr = 1). Ostateczna

postać z transformaty Laplace`a wynosi:

• W naszym przypadku, błąd regulacji wynosi:

• i aby uzyskać zerowe odchylenie (i.e. ) żądamy

aby w pierwszym wyrażeniu a następnie liczymy

uchyb zgodnie z drugim wyrażeniem.

I

n

s

s

s

/

)

(

ˆ

)

(

L

L



r

n

s

)

(

lim

)

(

lim

0

s

t

s

t

se

e









(s)

s

s

s

r

s

s

I

r

I

n

n

n

L

L

e

ˆ

)

(

)

(

1

1

)

(















0

)

(







t

e

r

I

n

n 

Warunki nałożone na układ otwarty

• Ostatecznie zostały określone warunki, jakie musi spełnić

transmitancja układu otwartego:

• Wzrost częstotliwości przecięcia, ωc, gdzie

• Kształt charakterystyki odpowiednie nachylenie

w określonym przedziale częstotliwości. Zazwyczaj chcemy, aby

nachylenie wynosiło N = –1 w rejonie przecięcia, a następnie

wzrastało dla wyższych częstotliwości. Wymagane nachylenie dla

niższych częstotliwości zależy od rodzaju zakłóceń lub sygnału

wymuszającego.

• Typ systemu, definiowany liczbą zawartych członów całkujących w

transmitancji L(s).

• W rozdziale 16.4, zastanawialiśmy się jak określić kształt pętli,

kiedy wartość zadana jest głównym parametrem regulacji.

Projektowanie pętli sprzężenia zwrotnego jest typową powtarzalną

procedurą gdzie konstruktor wykreśla z następnie zmienia

po wyliczeniu zapasu modułu i fazy, szczytów funkcji wrażliwości i

komplementarnej funkcji wrażliwości (MT i MS), bada odpowiedź

skokową, amplitudę sygnału wejściowego itd. Procedura ta została

przedstawiona na przykładzie.

.

1

)

(



c

j



L

),

(



j

L

)

(



j

L

)

(



j

L

Przykład. Obiekt

nieminimalnofazowy

• Badany układ opisany jest transmitancją:

• którego zero transmitancji znajduje się w prawej półpłaszczyźnie zespolonej i

ma wartość z1 = 0,5. Ponieważ zero leży w prawej półpłaszczyźnie zmiennej

zespolonej s, to obiekt jest nieminimalnofazowy. Zastosować regulator klasy PID

do sterowania powyższym obiektem.

• Zaczniemy od badania układu po zastosowaniu regulatora proporcjonalnego o

wzmocnieniu Kc. Program obliczeń w Matlabie ma następującą postać.

• %Program do obliczenia charakterystyk układu zamkniętego z regulatorem

K(s)=Kc

• clc;clear;clf

• s=zpk('s');

• for K=0.5:0.5:2.5;

• G=5*(-s+1)/((2*s+1)*(10*s+1));

• T=feedback(K*G,1);

• hold on;

• figure(1);

• step(T,25);

• hold off;

• end;

• grid;legend('K=0.5','K=1','K=1.5','K=2','K=2.5 (niestabilny)');

5(

1)

( )

(2 1)(10 1)

s

G s

s

s

- +

=

+

+

Odpowiedź skokowa

Badanie stabilności

•

%Badanie stabilności układu otwartego (wyznaczanie zakresu wartości

•

%wzmocnienia dla którego układ L=K*G jest stabilny (L - open-loop function)

•

G=5*(-s+1)/((2*s+1)*(10*s+1));

•

K=1;

•

L=G*K;

•

figure(2);

•

rlocus(L);

•

sgrid;

•

%Badanie stabilności układu otwartego-częstotliwościowe kryterium normy

•

%|L(jω)|<1, oraz zapas fazy i modułu stabilności (gain and phase margins)

•

G=5*(-s+1)/((2*s+1)*(10*s+1));

•

K=1;

•

L=G*K;

•

figure(3);

•

margin(L);

•

grid;

•

Położenie biegunów i zer układu otwartego L(s)=K(s)*G(s) z regulatorem K(s)=1, oszacowanie

zakresu wzmocnień dla układu stabilnego

Zapas modułu i fazy

•

Rys. Charakterystyka Bode’go układu otwartego L(s)=K(s)*G(s) z regulatorem K(s)=1,
oszacowanie zapasu modułu i fazy

Układ z regulatorem PI

• Aby wyeliminować uchyb ustalony i skrócić proces przejściowy (a tym samym

poszerzyć pasmo przenoszenia) wprowadzimy regulator PI.

Charakterystyki Bode’go: funkcji układu otwartego L0(s), wrażliwości S0(s),
komplementarnej wrażliwości T0(s) i sterownia R0(s) – dla regulatora

Układ z regulatorem PI

Rys. Charakterystyka skokowa, jednostkowa układu zamkniętego z regulatorem

1

( ) 1

15

PI s

s

= +

Układ z regulatorem PID

Rys. Charakterystyka Nyquista: funkcji układu otwartego L

0

(s) i funkcji wrażliwości S

0

(s) z regulatorem

1

( ) 1

15

PI s

s

= +

Wprowadzenie regulatora typu PI pozwoliło zlikwidować uchyb ustalony. Jednakże w dalszym ciągu proces

przejściowy trwa stosunkowo długo przy dużym przeregulowaniu.

Przykład. Kształtowanie pętli

sprzężenia zwrotnego dla procesu

nieminimalnofazowego

• Niech przykładowy proces układu o jednym wejściu i jednym wyjściu

opisany jest transmitancją (a) z poprzedniego przykładu

• Zero w prawej półpłaszczyźnie zespolonej ogranicza osiągalną

szerokość pasma, a także przedział przecięcia (zawarty między

częstotliwościami wc i w180) do około 0.5 rad/s. Chcemy aby system

miał jeden człon całkujący (system 1 typu), dlatego też rozsądnym

przybliżeniem jest transmitancja układu otwartego o nachyleniu – 1

dla niskich częstotliwości, a następnie zwiększenie nachylenia dla

częstotliwości większych od 0.5 rad/s. Dlatego pożądana jest

następująca transmitancja obiektu i układu otwartego:

•

• Przedstawić podstawowe charakterystyki układu otwartego i układu

zamkniętego.

• Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa transmitancji

L(s) jest pokazana na rys. dla Kc = 0.05. Wzmocnienie regulatora Kc

zostało dlatego tak wybrane, gdyż układ otwarty w tym przypadku

posiada odpowiednie zapasy modułu i fazy. Asymptotyczne nachylenie

wynosi –1 w paśmie do 3 [rad/s], gdzie się zmienia na –2. Regulator

zapewniający zadaną transmitancją układu otwartego ma postać:

•

;

)

1

10

)(

1

5

(

)

1

2

(

3

)

(











s

s

s

s

G

)

1

33

,

0

)(

1

2

(

)

1

2

(

3

)

(











s

s

s

s

s

c

K

L

,

)

1

33

,

0

)(

1

2

(

)

1

5

)(

1

10

(

)

(













s

s

s

s

s

c

s

K

K

05

,

0



c

K

Układ z regulatorem K(s)

Frequency (rad/sec)

P

ha

se

(

de

g)

;

M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Bode Diagrams

-40

-30

-20

-10

0

10

Gm=7.9588 dB (at 0.41231 rad/sec), Pm=48.448 deg. (at 0.20372 rad/sec)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-300

-200

-100

0

,

)

1

33

,

0

)(

1

2

(

)

1

5

)(

1

10

(

)

(













s

s

s

s

s

c

s

K

K

)

1

33

,

0

)(

1

2

(

)

1

2

(

3

)

(











s

s

s

s

s

c

K

L