Literatura

 Ostasiewicz S., Rusnak Z., Siedlecka U., Statystyka.

Elementy teorii i zadania, Wydawnictwo Akademii
Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław 1997

 Sobczyk M. Statystyka. PWN, Wydanie dowolne.
 Trzpiot G., Kończak G.: Statystyka opisowa i

matematyczna z arkuszem kalkulacyjnym EXCEL.
Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w
Katowicach, Katowice 2008.

 Trzpiot G., Kończak G.: Metody statystyczne z

wykorzystaniem programów komputerowych.
Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w
Katowicach, Katowice 2004.

Rozkłady empiryczne

Rozkłady empiryczne

Średnia arytmetyczna

 Szereg szczegółowy

 Szereg rozdzielczy punktowy

średnia arytmetyczna ważona

 Szereg przedziałowy

średnia arytmetyczna ważona









n

i

i

x

n

x

1

1

n

n

gdzie

n

x

n

x

k

i

i

i

k

i

i















1

1

1

n

n

gdzie

n

x

n

x

k

i

i

i

k

i

i















1

1

^

1

Średnia harmoniczna

 Szereg szczegółowy

 Szereg rozdzielczy









n

i

i

H

x

n

x

1

1

n

n

gdzie

x

n

n

x

k

i

i

k

i

i

i

H















1

1

X

i

: km/h; szt/h; zł/m

2

; zł/kg; os/km

2

;

n

i

: km; szt; zł; zł; os

Średnia geometryczna

 Szereg szczegółowy

 Szereg rozdzielczy

n

n

x

x

x

g













2

1

n

n

gdzie

x

x

x

g

k

i

i

n

n

n

n

k

k

















1

1

2

2

1



Gdzie x

i

- indeks

Dominanta

(modalna,

moda,

wartość

najczęstsza) – jest to wartość cechy statystycznej,
która w danym rozkładzie empirycznym występuje
najczęściej

D

Dominanta

Cena

[zł]

ni

gi

5 - 10

5

5

1

10 - 20

20

10

2

20 - 30

35

10

3,5

30 - 50

40

20

2

suma

100

100

i

x



D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

x

n

g

gdzie

x

g

g

g

g

g

g

x

D

























)

(

)

(

1

1

1

zł

D

25

10

)

2

5

,

3

(

)

2

5

,

3

(

2

5

,

3

20















KWARTYLE

Przykład Q

1

Czas rozmowy

[min]

ni

cumni

Poniżej 5

5

5

5 - 10

15

20

10 - 30

25

45

30 i więcej

5

50

suma

50

Pozycja Q

1

0,25*50=12

,5

min

5

,

7

5

15

5

5

,

12

5











Q









Q

Q

i

d

x

n

cumn

n

x

Q











1

Przykład Q

2

Czas rozmowy

[min]

ni cumni

Poniżej 5

5

5

5 - 10

15

20

10 - 30

25

45

30 i więcej

5

50

suma

50

50

Pozycja Q

2

0, 5*50=25

min

14

20

25

20

25

10











Q









Q

Q

i

d

x

n

cumn

n

x

Q











1

Przykład Q

3

Czas rozmowy

[min]

ni cumni

Poniżej 5

5

5

5 - 10

15

20

10 - 30

25

45

30 i więcej

5

50

suma

50

50

Pozycja Q

3

0, 75*50=37,5

min

24

20

25

20

5

,

37

10











Q









Q

Q

i

d

x

n

cumn

n

x

Q











1

Rozstęp

Charakteryzuje obszar zmienności badanej cechy

R = x

max

- x

min

Miary klasyczne - wariancja

n

n

gdzie

n

x

x

n

x

s

k

i

i

i

k

i

i

















1

1

2

2

)

(

1

)

(

2

1

2

)

(

1

)

(











n

i

i

x

x

n

x

s

n

n

gdzie

n

x

x

n

x

s

k

i

i

i

k

i

i



















1

1

2

2

)

(

1

)

(

Wariancja

jest

to

średnia

arytmetyczna

kwadratów odchyleń poszczególnych wartości
cechy od średniej arytmetycznej

Dla szeregu
szczegółowego:

Dla szeregu rozdzielczego punktowego:

Dla szeregu rozdzielczego
przedziałowego:

Miary klasyczne – odchylenie
standardowe

)

x

(

s

)

x

(

s

2



Odchylenie standardowe określa przeciętne
zróżnicowanie poszczególnych wartości cechy od
średniej arytmetycznej

Miary klasyczne – odchylenie
przeciętne

n

n

gdzie

n

|

x

x

|

n

)

x

(

d

k

i

i

i

k

i

i

















1

1

1

|

x

x

|

n

)

x

(

d

n

i

i











1

1

n

n

gdzie

n

|

x

x

|

n

)

x

(

d

k

i

i

i

k

i

i





 











1

1

1

Dla szeregu
szczegółowego:

Dla szeregu rozdzielczego punktowego:

Dla szeregu rozdzielczego
przedziałowego:

Odchylenie przeciętne określa przeciętne
zróżnicowanie poszczególnych wartości cechy od
średniej arytmetycznej

Miary klasyczne – współczynnik
zmienności

%

x

)

x

(

s

)

x

(

V

100







Współczynnik zmienności wyraża względne
zmiany wartości badanej cechy w stosunku do
jej poziomu przeciętnego

Na ogół współczynnik zmienności stosuje się
w porównaniach zróżnicowania :

- kilku zbiorowości pod względem tej samej
cechy

- tej samej zbiorowości pod względem kilku
różnych cech

%)

100

)

(

)

(

(







x

x

d

x

V

d

Miary pozycyjne

 Odchylenie

ćwiartkowe

 Pozycyjny

współczynnik
zmienności

2

1

3

Q

Q

Q





%

Me

Q

V

Q

100





Asymetria rozkładu

asymetria prawostronna

symetria

asymetria lewostronna







x

Me

D

D

Me

x







D

Me

x







Klasyczny współczynnik
asymetrii

W szeregu

 szczegółowym

 rozdzielczym

punktowym

 rozdzielczym

przedziałowym

n

n

gdzie

n

)

x

x

(

n

)

x

(

M

k

i

i

i

k

i

i

















1

1

3

3

1

3

3

3

)]

(

[

)

(

)

(

x

s

x

M

x 



3

1

3

1

)

x

x

(

n

)

x

(

M

n

i

i











n

n

gdzie

n

)

x

x

(

n

)

x

(

M

k

i

i

i

k

i

i



















1

1

3

3

1

Pozycyjny współczynnik

asymetrii

)

Q

Me

(

)

Me

Q

(

)

Q

Me

(

)

Me

Q

(

A

Q

1

3

1

3















1

1







Q

A

Me=Q

2

Q

1

Q

3

x

min

x

max

Miary asymetrii (skośności)

)

(x

s

D

x

A

s







1

1







s

A

Współczynnik skośności
Pearsona

Dla rozkładów symetrycznych

Dla rozkładów z asymetrią
prawostronną

Dla rozkładów z asymetrią
lewostronną

0



s

A

0



s

A

0



s

A

0

)

(

3



x



0

)

(

3



x



0

)

(

3



x



0



Q

A

0



Q

A

0



Q

A

Przykład

Stawka godzinowa

[zł]

 

Odsetek pracowników

 

zakład I zakład II zakład III

10 - 20

10

5

10

20 - 30

20

35

25

30 - 40

40

25

25

40 - 50

20

25

35

50 - 60

10

10

5

Przykład– Zakład I

Stawka

godzinowa

[zł]

wi

 
xi^

xi^*wi

(xi^-

śrx)^2*wi

10 - 20

10

15

150

4000

20 - 30

20

25

500

2000

30 - 40

40

35

1400

0

40 - 50

20

45

900

2000

50 - 60

10

55

550

4000

100

3500

12000

zł

w

x

x

i

k

i

^

i

35

100

3500

100

1

1













2

1

2

2

120

100

12000

100

1

zł

w

)

x

x

(

)

x

(

s

i

k

i

^

i















zł

,

)

x

(

s

95

10

120



Przykład – Zakład II

Stawka godzinowa

[zł]

wi

 

xi^

xi^*wi

(xi^-śrx)^2*wi

10 - 20

5

15

75

2000

20 - 30

35

25

875

3500

30 - 40

25

35

875

0

40 - 50

25

45

1125

2500

50 - 60

10

55

550

4000

100

3500

12000

zł

w

x

x

i

k

i

^

i

35

100

3500

100

1

1













2

1

2

2

120

100

12000

100

1

zł

w

)

x

x

(

)

x

(

s

i

k

i

^

i















zł

,

)

x

(

s

95

10

120



Przykład -

Zakład III

Stawka godzinowa

[zł]

 

wi

 

xi^

xi^*wi

(xi^-śrx)^2*wi

10 - 20

10

15

150

4000

20 - 30

25

25

625

2500

30 - 40

25

35

875

0

40 - 50

35

45

1575

3500

50 - 60

5

55

275

2000

100

3500

12000

zł

w

x

x

i

k

i

^

i

35

100

3500

100

1

1













2

1

2

2

120

100

12000

100

1

zł

w

)

x

x

(

)

x

(

s

i

k

i

^

i















zł

,

)

x

(

s

95

10

120



Przykład

Miary asymetrii

zakład I zakład II zakład III

0

0,23

-0,23

0

0,09

-0,09

0

0,68

-0,68

Q

A

s

A

struktura płac -zakład I

0

10

20

30

40

50

10 - 20

20 - 30

30 - 40

40 - 50

50 - 60

stawka zł/godz

o

d

se

te

k

p

ra

co

w

n

ik

ó

w

struktura płac -zakład II

0

5

10

15

20

25

30

35

40

10 - 20

20 - 30

30 - 40

40 - 50

50 - 60

stawka zł/godz

o

d

se

te

k

p

ra

co

w

n

ik

ó

w

struktura płac -zakład III

0

5

10

15

20

25

30

35

40

10 - 20

20 - 30

30 - 40

40 - 50

50 - 60

stawka zł/godz

o

d

se

te

k

p

ra

co

w

n

ik

ó

w

zł

x 35





)

(

3

x



Przykład

struktura płac -zakład I

0

10

20

30

40

50

10 - 20

20 - 30

30 - 40

40 - 50

50 - 60

stawka zł/godz

o

d

se

te

k

p

ra

co

w

n

ik

ó

w

struktura płac -zakład II

0

5

10

15

20

25

30

35

40

10 - 20

20 - 30

30 - 40

40 - 50

50 - 60

stawka zł/godz

o

d

se

te

k

p

ra

co

w

n

ik

ó

w

struktura płac -zakład III

0

5

10

15

20

25

30

35

40

10 - 20

20 - 30

30 - 40

40 - 50

50 - 60

stawka zł/godz

o

d

se

te

k

p

ra

co

w

n

ik

ó

w

D

Me

x







D

Me

x













x

Me

D

Przykład

Przeprowadź

wszechstronną

analizę

struktury

czytelników pewnej biblioteki pod względem liczby
przeczytanych książek

Liczba

przeczytanych

książek

Liczba

czytelników

1

44

2

42

3

22

4

6

5

2

6

1

117

rozkład liczby przecytanych książek

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1

2

3

4

5

6

liczba przeczytanych ksiązek

lic

zb

a

cz

yt

el

n

ik

ó

w

Przykład – miary
klasyczne

2

117

234

1

1













i

k

i

i

n

x

n

x

06

,

1

117

124

)

(

1

)

(

1

2

2















i

k

i

i

n

x

x

n

x

s

03

1

06

1

,

,

)

x

(

s





%

,

%

,

)

x

(

V

47

51

100

2

03

1







23

1

117

144

1

1

3

3

,

n

)

x

x

(

n

)

x

(

M

i

k

i

i















13

,

1

]

03

,

1

[

23

,

1

)]

x

(

s

[

)

x

(

M

)

x

(

3

3

3

3







96

4

117

580

1

1

4

4

,

n

)

x

x

(

n

)

x

(

M

i

k

i

i















41

4

03

1

96

4

4

4

4

,

]

,

[

,

)]

x

(

s

[

)

x

(

M

K





Przykład – miary pozycyjne

Liczba

przeczytanych

książek

Liczba

czytelników cum ni

1

44

44

2

42

86

3

22

108

4

6

114

5

2

116

6

1

117

117

3

2

1

1

75

87

3

5

58

25

29

1















]

,

[

]

,

[

]

,

[

x

Q

;

x

Me

;

x

Q

;

D

1

2

1

3

2

1

3











Q

Q

Q

%

%

V

Q

50

100

2

1







0

1

2

2

3

1

2

2

3

1

3

1

3































)

(

)

(

)

(

)

(

)

Q

Me

(

)

Me

Q

(

)

Q

Me

(

)

Me

Q

(

A

Q

97

0

03

1

1

2

,

,

)

x

(

s

D

x

A

s













Analiza zależności

Współczynnik korelacji liniowej
Pearsona









1

1,

)

y

(

s

)

x

(

s

)

y

,

x

cov(

r

xy

Gdzie dla szeregu wyliczającego kowariancja
między x i y:

)

y

y

)(

x

x

(

n

)

y

,

x

cov(

i

n

i

i















1

1

2

1

1

)

x

x

(

n

)

x

(

s

n

i

i





















n

i

i

)

y

y

(

n

)

y

(

s

1

2

1

Stopień zależności

%

*

r

d

xy

100

2



Stopień zależności zmiennych określamy
często współczynnikiem determinacji

Współczynnik korelacji rang
Spearmana

Współczynnik

korelacji

kolejnościowej

(współczynnik korelacji rang) wykorzystujemy
w przypadku gdy:

- próba jest mała,
- cechy mają charakter jakościowy i istnieje
możliwość ich uporządkowania.



















1

1

1

6

1

2

1

2

,

)

n

(

n

)

V

V

(

r

n

i

y

x

s

%

*

r

d

s

100

2



Przykład

Na podstawie podanych informacji określ siłę i
kierunek zależności między wykształceniem X:
P- podstawowe,

Z – zawodowe,

S – średnie,

W – wyższe),

a liczbą przeczytanych czasopism w tygodniu -
y.

Przykład

x

y

P

0

Z

2

W

3

P

1

S

3

Z

1

W

4

P

2

S

2

S

1



















1

,

1

)

(

6

1

3

1

2

n

n

V

V

r

n

i

y

x

s

d=54,67%

74

,

0

10

10

43

*

6

1

3









s

r

V

x

9

6,5
1,5

9
4

6,5
1,5

9
4
4

55

V

x-

V

y

-1

1,5

-1

1

1,5

-1,5

0,5

4

-1
-4

0

(V

x

-V

y

)

2

1

2,25

1
1

2,25
2,25
0,25

16

1

16
43

V

y

10

5

2,5

8

2,5

8
1
5
5
8

55