Wprowadzenie

Źródłami pola elektrostatycznego są nieruchome ładunki elektryczne rozmieszczone

w przestrzeni. Ładunki oddziałują na siebie siłami. Siły te określa prawo Coulomba :

$$\overrightarrow{\mathbf{F}_{\mathbf{q}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}\mathbf{\pi}\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{0}}\mathbf{\varepsilon}}\frac{\mathbf{\text{Qq}}}{\mathbf{r}^{\mathbf{2}}}$$

gdzie:

ε₀ - stała dielektryczna próżni

ε - przenikalność względna dielektryka, w którym znajdują się ładunki.

r - odległość między ładunkami

Pole elektrostatyczne w dowolnym punkcie w przestrzeni określa potencjał ϕ(x, y, z) -

funkcja skalarna oraz natężenie pola E(x, y, z) - funkcja wektorowa.

Natężenie pola elektrostatycznego wytworzonego przez ładunek Q definiuje się jako:

$$\overrightarrow{\mathbf{E}}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{\mathbf{F}}}{\mathbf{q}_{\mathbf{0}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}\mathbf{\pi}\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{0}}\mathbf{\varepsilon}}\frac{\mathbf{Q}}{\mathbf{r}^{\mathbf{2}}}$$

Na podstawie znajomości natężenia pola można obliczyć potencjał pola:

$$\mathbf{\varphi =}\left( \mathbf{x,y,z} \right)\mathbf{= \varphi}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{0,}}\mathbf{y}_{\mathbf{0}}\mathbf{z}_{\mathbf{0}} \right)\mathbf{-}\int_{\mathbf{x}_{\mathbf{0}}\mathbf{,}\mathbf{y}_{\mathbf{o,}}\mathbf{z}_{\mathbf{o}}}^{\mathbf{x,y,z}}\overrightarrow{\mathbf{E}}\mathbf{\bullet}\overrightarrow{\mathbf{\text{ds}}}$$

Gdzie ds jest elementem drogi łączącej punkty x₀, y₀ ,z₀ i x, y, z .

Punkt określony współrzędnymi x₀, y₀, z₀ jest punktem odniesienia, a φ(x_0,y₀z₀)

potencjałem w punkcie odniesienia.

Wybór punktu odniesienia i potencjału w tym punkcie są zwykle dowolne, a potencjał

pola elektrostatycznego jest określony z dokładnością do stałej. Znając potencjał pola

elektrostatycznego można obliczyć natężenie tego pola:

E(x, y, z) = −grad ϕ(x, y, z)

Modelem pola elektrostatycznego może być pole elektryczne w przestrzeni wypełnionej

jednorodnym materiałem o określonej, zwykle niedużej przewodności elektrycznej.

Gęstość prądu w przestrzeni o stałej oporności właściwej ρ określa prawo Ohma:

$$\mathbf{j =}\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{\rho}}$$

Obliczając dywergencję obu stron tego równania otrzymujemy:

$$\mathbf{div\ j =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\rho}}\mathbf{\text{\ div\ E}}$$

Dla prądu stacjonarnego div j = 0, zatem div E = 0 , czyli div(− grad ϕ) = −∆ϕ = 0

Wynika z tego, że potencjał pola w materiale o niewielkiej przewodności wypełniający

przestrzeń wokół elektrod kondensatora spełnia równanie Laplace’a ∆ϕ = 0, takie jak

w przypadku pola elektrostatycznego w przestrzeni bez ładunków. Linie

ekwipotencjalne takiego pola mają w obu przypadkach taki sam przebieg i są

ortogonalne do linii sił pola.