Data:	Temat: Wyznaczanie stosunku e⁄m ładunku elektronu do jego masy metodą magnetronu	Ćwiczenie nr: 2
Kierunek studiów:	Wykonujący ćwiczenie:	Ocena:

Wstęp teoretyczny

Ważnymi wielkościami charakteryzującymi elektron są jago ładunek e i  masa m. Poruszająca się w polu elektrycznym i magnetycznym cząstka ma tor ruchu zależny od wzajemnej konfiguracji tych pól, charakteryzujących je parametrów i stosunku q/m (ładunku cząstki do jej masy). Szczególnym przypadkiem jest stosunek e/m dla elektronu i nazywa się go ładunkiem właściwym.

Na elektron o ładunku q, poruszający się z ruchem jednostajnie przyspieszonym w kierunku jednorodnego (czyli jednakowego w każdym miejscu) pola elektrycznego, w którym się znajduje działa siła elektryczna F_el:

$${\overrightarrow{F}}_{\text{el\ }} = q\overrightarrow{E}$$

gdzieto natężenie pola elektrycznego.

Siłę Lorentza, która działa na naładowany elektron w polu magnetycznym opisuje wzór:

$${\overrightarrow{F}}_{L} = q(\overrightarrow{v}\ \times \overrightarrow{B})$$

gdzie q to ładunek cząstki,wektor indukcji magnetycznej, a $\overrightarrow{v}\text{\ \ }$to prędkość cząstki, którą możemy uzyskać z przekształcenia wzoru na energię kinetyczną elektronu:

$$v = \ \sqrt{\frac{2eU_{a}}{m}}$$

Ze wzrostem wartości indukcji magnetycznej elektrony poruszają się po spiralach o coraz mniejszym promieniu krzywizny. Przy pewnej krytycznej indukcji magnetycznej B_k tory elektronów nie osiągają anody i natężenie prądu anodowego zaczyna się stopniowo zmniejszać. Teoretycznie powinien nastąpić zanik prądu anodowego, jednak elektrony  posiadają różne prędkości, a więc w sytuacji krytycznej tylko część elektronów będzie zawracać w kierunku katody, a elektrony wolniejsze będą po torach rozwijających się spiral docierać do anody. Ponieważ wektory prędkości elektronu i indukcji magnetycznej są wzajemnie prostopadłe siła Lorentza jest siłą dośrodkową, dodatkowo gdy q  =  e, wówczas otrzymujemy:

$$\frac{e}{m} = \ \frac{2\text{\ U}_{a}}{B_{k}^{2}\ r^{2}}$$

Tabela pomiarów:

Napięcie anodowe
Ua = 4V
Prąd solenoidu Is [A]
0
0,10
0,20
0,30
0,33
0,36
0,39
0,42
0,45
0,48
0,51
0,54
0,57
0,60

Wykres zależności I_a=f(I_s)

Napięcia krytyczne odczytane z wykresu wnoszą:

I_k = 390 mA, dla U_a = 4V

I_k = 425 mA, dla U_a = 6V

I_k = 510 mA, dla U_a = 8V

I_k = 550 mA, dla U_a = 10V

Obliczenia

$$\frac{e}{m} = \ \frac{2}{\mu_{0}^{2}n^{2}r^{2}}*\frac{U_{a}}{I_{k}^{2}}$$

µ_{0 =} $4\pi 10^{- 7}\ \frac{H}{m}$

r = 0, 810⁻³ m

$= \ \frac{4164}{0,235}\ \approx 17720\ \frac{\text{zw}}{m}$

Dla U_a = 4V

$$\frac{e}{m} = \ \frac{2}{4\pi*10^{- 7}*17720^{2}*{(0,8*10^{- 3})}^{2}}*\ \frac{4}{\left( 390*10^{- 3} \right)^{2}} = 1,65911*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$$

Dla U_a = 6V

$$\frac{e}{m} = \ \frac{2}{4\pi*10^{- 7}*17720^{2}*{(0,8*10^{- 3})}^{2}}*\ \frac{6}{\left( 425*10^{- 3} \right)^{2}} = 2,09564*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$$

Dla U_a = 8V

$$\frac{e}{m} = \ \frac{2}{4\pi*10^{- 7}*17720^{2}*{(0,8*10^{- 3})}^{2}}*\ \frac{8}{\left( 510*10^{- 3} \right)^{2}} = 1,94041*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$$

Dla U_a = 10V

$$\frac{e}{m} = \ \frac{2}{4\pi*10^{- 7}*17720^{2}*{(0,8*10^{- 3})}^{2}}*\ \frac{10}{\left( 550*10^{- 3} \right)^{2}} = 2,08554*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$$

$$\left( \frac{\mathbf{e}}{\mathbf{m}} \right)_{\mathbf{sr}}\mathbf{= 1,94517*}\mathbf{10}^{\mathbf{11}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{C}}{\mathbf{\text{kg}}}$$

Niepewność pomiaru

Niepewność dla miernika wskazowego (u(Ua)):

$$u\left( U_{a} \right) = klasa*\ \frac{\text{zakres}}{100} + dokladnosc\ odczytu$$

zakres = 10V

klasa = 1,5

ilość działek = 50

$$u\left( U_{a} \right) = \ 1,5*\frac{10}{100} + \ \frac{10}{50} = 0,35$$

u(I_s) =  0, 04 *  I_s

u(I_a) =  0, 06 *  I_a

u(I_k) =   0,040 na podstawie wykresu

u(r) =  0, 05  10⁻³ m

$$u_{c}\left( \frac{e}{m} \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial\frac{e}{m}}{\partial U_{a}}*\ U_{a} \right)^{2} + \left( \frac{\partial\frac{e}{m}}{\partial I_{k}}*\ I_{k} \right)^{2} + \left( \frac{\partial\frac{e}{m}}{\partial r}*\ r \right)^{2}}\ $$

$$u_{c}\left( \frac{e}{m} \right) = \sqrt{\left( \frac{2}{\mu_{0}^{2}n^{2}r^{2}I_{k}^{2}}*\ U_{a} \right)^{2} + \left( \frac{4U_{a}}{\mu_{0}^{2}n^{2}r^{2}I_{k}^{3}}*\ I_{k} \right)^{2} + \left( \frac{4U_{a}}{\mu_{0}^{2}n^{2}r^{3}I_{k}^{2}}*\ r \right)^{2}}$$

$$u_{c}\left( \frac{e}{m} \right) = \sqrt{\left( \frac{\frac{e}{m}}{U_{a}}*\ U_{a} \right)^{2} + \left( \frac{2\frac{e}{m}}{I_{k}}*\ I_{k} \right)^{2} + \left( \frac{2\frac{e}{m}}{r}*\ r \right)^{2}}$$

Dla U_a = 4V

$$u_{c}\left( \frac{e}{m} \right) = \ \sqrt{\left( \frac{1,65911*10^{11}}{4}*\ 0,35 \right)^{2} + \left( \frac{2*1,65911*10^{11}}{390*10^{- 3}}*\ 0,040 \right)^{2} + \left( \frac{2*1,65911*10^{11}}{0,8*10^{- 3}}*\ 0,05*10^{- 3} \right)^{2}}$$

$u_{c}\left( \frac{e}{m} \right) =$ $0,42416*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$

Dla U_a = 6V

$$u_{c}\left( \frac{e}{m} \right) = \ \sqrt{\left( \frac{1,65911*10^{11}}{6}*\ 0,35 \right)^{2} + \left( \frac{2*1,65911*10^{11}}{425*10^{- 3}}*\ 0,040 \right)^{2} + \left( \frac{2*1,65911*10^{11}}{0,8*10^{- 3}}*\ 0,05*10^{- 3} \right)^{2}}$$

$u_{c}\left( \frac{e}{m} \right) =$ $0,48905*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$

Dla U_a = 8V

$$u_{c}\left( \frac{e}{m} \right) = \ \sqrt{\left( \frac{1,65911*10^{11}}{8}*\ 0,35 \right)^{2} + \left( \frac{2*1,65911*10^{11}}{510*10^{- 3}}*\ 0,040 \right)^{2} + \left( \frac{2*1,65911*10^{11}}{0,8*10^{- 3}}*\ 0,05*10^{- 3} \right)^{2}}$$

$u_{c}\left( \frac{e}{m} \right) =$ $0,39835*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$

Dla U_a = 4V

$$u_{c}\left( \frac{e}{m} \right) = \ \sqrt{\left( \frac{1,65911*10^{11}}{10}*\ 0,35 \right)^{2} + \left( \frac{2*1,65911*10^{11}}{550*10^{- 3}}*\ 0,040 \right)^{2} + \left( \frac{2*1,65911*10^{11}}{0,8*10^{- 3}}*\ 0,05*10^{- 3} \right)^{2}}$$

$u_{c}\left( \frac{e}{m} \right) =$ $0,40658*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$

$u_{c_{sr}}\left( \frac{e}{m} \right) =$ $0,42954*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$

$$\frac{\mathbf{e}}{\mathbf{m}}\mathbf{= (1,95\ \pm 0,43)*}\mathbf{10}^{\mathbf{11}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{C}}{\mathbf{\text{kg}}}$$

$$\left( \frac{e}{m} \right)_{t} = (1,758882012\ \pm \ 0,00000015)\ \ 10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}\ $$

$$\left( \frac{e}{m} \right) = \ \left( \frac{e}{m} \right) - \left( \frac{e}{m} \right)_{t} = 1,95*10^{11}\frac{C}{\text{kg}} - \ 1,76*10^{11}\frac{C}{\text{kg}} = 0,19*10^{11}\frac{C}{\text{kg}}$$

$$U\left( \frac{e}{m} \right) = 2*u_{c_{sr}}\left( \frac{e}{m} \right) = 2*0,43*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}} = \ 0,86*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$$

Wnioski

Po wykonaniu ćwiczenia otrzymałam przybliżoną wartość stosunku e/m, która wynosi 1,95 · 10¹¹ $\frac{C}{\text{kg}}$. Różni się ona od wartości tablicowej, co jest spowodowane przybliżeniami w obliczeniach, błędami pomiarów, niską precyzją przy wyznaczaniu wartości I_k oraz wieloma innymi czynnikami. Jednakże kiedy weźmiemy pod uwagę niepewność, możemy zapisać, że wartość mieści się w przedziale:

1,52 · 10¹¹ < $\frac{e}{m}\text{\ \ }$< 2,38 · 10¹¹

co jest zgodne z prawdą, ponieważ wartość 1,95 · 10¹¹ znajduje się w jego granicach.

Z tabeli wynika, że przyrost natężenia prądu w solenoidzie powodujący wzrost natężenia pola magnetycznego, jest przyczyną spadku prądu anodowego. Dzieje się tak, ponieważ elektrony pod wpływem pola zmieniają swój tor i nie docierają do anody.