Akademia Górniczo-Hutnicza

im. Stanisława Staszica

Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska

Kierunek: Górnictwo i Geologia

Sprawozdanie:

Statystyczny ocena zasobności złoża miedzi KGHM w serii W-R.

Wykonali:

Bartosz Klich

Piotr Więckowski

Mariusz Świętojański

W geologii górniczej do opisu i oceny wartości parametrów złożowych używane są metody statystyki matematycznej oparte na rachunku prawdopodobieństwa z założeniem, że parametry te są zmiennymi losowymi, co pozwala wywnioskować właściwości całego złoża, na podstawie wyodrębnionej części (próbki statystycznej). Celem matematycznego opracowania wyników badań jest określenie przedziałów ich zmienności, ponieważ ośrodek geologiczny nie jest jednorodny, poza tym pomiary charakteryzują się niedokładnościami wynikającymi z samych metod badawczych oraz zaokrągleń wyników.

Opracowanie wyników zaczyna się od zastąpienia obszernego zbioru danych z opróbowań złoża szeregiem parametrów statystycznych odzwierciedlających cechy złoża. Do tych parametrów należą:

Miary położenia: średnia arytmetyczna, mediana i moda;

Miary rozrzutu: wariacja, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności;

Miary skośności: współczynnik asymetrii;

Miary spłaszczenia: współczynnik ekscesu, którego nie liczymy.

Z racji, iż dysponujemy danymi powyżej 30 jednostek (zał. 1), dlatego do wyznaczania parametrów statystycznych używać będziemy szeregu rozdzielczego wraz z graficzną prezentacją wyników w postaci histogramu (zał. 2). Przedziały klasowe histogramu zostały wyliczone z:

$$x = \frac{x_{\max} - x_{\min}}{1 + 3,3*\log n}$$

Histogram jest jednomodalny, asymetrycznie dodatni, prawo asymetryczny, zawiera 8 przedziałów.

Opis poszczególnych parametrów:

Średnia arytmetyczna stanowi podstawę klasyfikacji złóż pod względem zawartości składnika użytecznego wg R. Krajewskiego. Natomiast ze względu na możliwość błędnego określenia z powodu zbyt małej liczby próbek lub błędów analizy chemicznej może dojść do zawyżonych wartości tego parametru, dlatego też nie może być on brany pod uwagę, jako jedyny parametr określający złoże. Średnia miąższość złoża w badanych próbkach wynosi 207,7 [m].

Mediana jest środkową wartością danych uszeregowanych rosnąco lub malejąco i jest rozumiana, jako optymalne przewidywanie wartości za pomocą jednej liczby, w tym przypadku wynosi ona 198,315 [m].

Moda to wartość występująca najczęściej lub wartość środkowa najliczniejszej klasy. Wskazuje, z jakimi wartościami parametrów złożowych można się najczęściej spotkać. Określenie modalności histogramu stanowi informację o jednorodności lub niejednorodności badanego parametru złożowego. Histogramy wielomodalne pomagają wydzielić z ośrodka niejednorodnego części jednorodne ze względu na dany parametr. Moda dla badanych próbek jest równa 200 [m] i jest wartością środkową najliczniejszej klasy. Histogram jest jednomodalny. Wielkość mód pozwala na określenie kolejnego parametru, jakim jest asymetria.

Wielkość asymetrii określa współczynnik asymetrii oraz znak (kierunek) asymetrii. Przy asymetrii dodatniej (prawo asymetrycznej) mediana daje zawsze niższe wartości od średniej asymetrycznej, co pozwala na ostrożniejsze szacowanie nieznanej rzeczywistej wartości średniej parametru w złożu. Ma to znaczenie przy występowaniu w próbkach nielicznej grupy danych o bardzo wysokich (anomalnych) wartościach parametru złożowego znacznie przewyższających wartość średnią np. występowanie samorodków złota. Wtedy do szacowania, jako wartość średnią używa się mediany by zapobiec przeszacowaniu zasobów złoża. Wynosi 0,368348667.

Miarę spłaszczenia opisuje współczynnik ekscesu:

$$g_{2} = \frac{1}{n*s^{4}}*\sum_{i = 1}^{n}{{(x_{i} - x)}^{4} - 3}$$

W naszym przypadku wynosi : -3,2287873

Wariancja to średnie kwadratowe odchylenie badanej cechy od wartości średniej arytmetycznej utożsamiania ze zróżnicowaniem zbiorowości. W tym przypadku wynosi 3282,00 [m].

Odchylenie standardowe to średnie odchylenie wartości badanej cechy od wartości średniej arytmetycznej. Dla badanych próbek wynosi 57,29 [m].

Współczynnik zmienności, jako miara rozrzutu stanowi miarę rozproszenia wartości danego parametru złożowego w badanych próbkach. Umożliwia to porównywanie zmienności różnych parametrów złożowych np. miąższości i zawartości składnika użytecznego lub porównywanie tych samych parametrów przy silnie zróżnicowanych wartościach średnich. Współczynnik zmienności jest ważny przy projektowaniu sieci rozpoznawczej, której gęstość trzeba dopasować do parametru złożowego o największej zmienności. Jest on również istotny przy określaniu minimalnej wielkości próbki pobieranej z urobku wg wzoru H. Czeczotta. Współczynnik zmienności jest podstawą klasyfikacji zmienności złóż wg Baryszewa. Dla analizowanych wynosi on 17,75%, co wg powyższej klasyfikacji oznacza, że złoże to znajduje się w pierwszej grupie złóż o przeciętnej sile zmienności.

Określone wartości parametrów statystycznych dla próbki, jak i postać histogramu, są ściśle związane z konkretnymi warunkami pomiaru wartości parametrów złożowych. Zależą one nie tylko od naturalnej zmienności parametrów złożowych, ale też od kształtu i liczby próbek, a w szczególności od wielkości i orientacji próbek w przestrzeni geologicznej. W przypadku, gdy próbki o kształcie prostokąta orientowane są dłuższym bokiem równolegle do kierunku maksymalnej zmienności złoża anizotropowego, rozrzut wartości parametrów złożowych jest znacznie mniejszy niż w przypadku orientacji próbki krótszym bokiem równolegle do kierunku tej zmienności. Przejawia się to również większym skupieniem histogramu wokół wartości średniej oraz niższymi wartościami parametrów rozrzutu. Dlatego orientacja próbek w złożu powinna być dobierana stosownie do struktury zmienności złoża. Tak samo należy postępować przy planowaniu geometrii sieci rozpoznawczej. Z tego wynika, że wiarygodne porównywanie zmienności parametrów złożowych może się odbywać tylko przy zastosowaniu podobnego typu opróbowania.

Załącznik 1.

1	143,55
2	181,61
3	229,01
4	197,42
5	190,95
6	153,62
7	219,13
8	142,61
9	146,01
10	308,87
11	261,5
12	70,74
13	63,24
14	247,7
15	282,37
16	194,91
17	215,13
18	226,15
19	309,41
20	204,1
21	164,45
22	181,57
23	198,74
24	163,19
25	189,48
26	157,25
27	256,71
28	360,68
29	199,46
30	273,52
31	321,14
32	303,45
33	275,67
34	186,92
35	151,39
36	177,82
37	141,3
38	283,02
39	232,4
40	248,92
41	323
42	242,53
43	218,46
44	195,7
45	184,12
46	155,31
47	204,51
48	257,46
49	176,68
50	202,27
51	176,34
52	145,57
53	163,05
54	163,3
55	219,49
56	180,03
57	235,03
58	169,57
59	298,05
60	215,92
61	172,98
62	203,3
63	131,1
64	280,65
65	197,89
66	243,74
67	142,99
68	326,5
69	215,25
70	170,44
71	140,7
72	204,61
73	166,72
74	182,38
75	193,33
76	209,48
77	270,57
78	170,47
79	169,63
80	245,01

średnia arytmetyczna:	207,7405	m
mediana:	198,315	m
moda:	200	m
odchylenie standardowe:	57,29	m
wariancja:	3282,00
współczynnik zmienności:	27,58	%
współczynnik asymetrii:	0,368348667	m

klasa(przedział)	częstość
1. (0 -40)	0
2. (40-80)	2
3. (80-120)	0
4. (120-160)	12
5. (160-200)	28
6. (200-240)	16
7. (240-280)	10
8. (280-320)	7
9. (320-360)	5

Przedziałowa ocena średnich wartości parametrów złożowych i zasobów złoża.

W statystyce matematycznej występują dwa rodzaje ocen: punktowa i przedziałowa. Ocena punktowa ma na celu odszukanie wyników próbki statystycznej, czyli takiej liczby która zapewnia najlepsze przybliżenie wartości szukanego parametru rozkładu rozpatrywanej zmiennej losowej (np. średnia arytmetyczna). Warto podkreślić, że taka ocena jest ryzykowna z powodu naturalnej zmienności złoża i błędów popełnionych w czasie opróbowań, a także analizy chemicznej próbek. Drugim rodzajem jest ocena przedziałowa, która daje możliwość bezpieczniejszego sposobu oceny średnich wartości przez wyznaczenie przedziałów ufności. W granicy przedziału ufności powinna się mieścić prawdopodobieństwem prawdziwa, nieznana wartość średnia badanego parametru złożowego.

Przy dokonaniu oceny przedziałowej rozróżniono próbkę statystyczną jako dużą (liczba elementów jest większa jak 30). Z twierdzeń granicznych przyjęto, że rozkład średniej arytmetycznej jest bliski rozkładowi normalnemu. Korzystając z powyższych zależności wyznaczono granice przedziału ufności dla wartości średniej wg. wzoru:

$$P\left( \overline{x} - z \times \frac{s}{\sqrt{n}} < m < \overline{x} + z \times \frac{s}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \ \alpha$$

gdzie:

n- liczba punktów opróbowań (80)

m – nieznana, prawdziwa wartość średnia parametru złożowego

z – współczynnik ufności (2)

α – poziom istotności

1-α – dopuszczalne ryzyko błędu

s – odchylenie standardowe (57,29)

$\overline{x}$ – średnia arytmetyczna (207,74)

Zastosowano prawdopodobieństwo dla rozkładu normalnego P=0,95 (z=2)

P (194,92 < m < 220,55) = 0,95

Z ryzykiem błędu 5% można stwierdzić, że nieznana średnia wartość parametru mieści się w przedziale:

(194,92 < m < 220,55)

Aby określić minimalną ilość punktów opróbowania dla złoża, która zapewnia złoża z zadanym dopuszczalnym błędem, wyliczono dopuszczalny bezwzględny błąd oceny średniej wartości parametru ε_b oraz błąd względny ε_w.

$$\varepsilon_{b = \frac{\text{zs}}{\sqrt{n}}}$$

ε_b = 12,81

$$\varepsilon_{w = \frac{\varepsilon\text{b\ }}{x} \times 100\%}$$

ε_w = 6,16%

Wartość błędu względnego wyrażona w procentach pozwala na swobodne porównywanie parametrów wyrażonych w różnych jednostkach. W naszym przypadku E_w= 6% co jest wynikiem na niskim poziomie mieszczącym się w kategorii A (złoże dobrze rozpoznane).

Finalnym krokiem w omawianej analizie statystycznej będzie określenie minimalnej gęstości sieci rozpoznawczej dla złoża kategorii rozpoznania A, czyli o dopuszczalnym błędzie oszacowania zasobów wynoszącym 10%. Przekształcając wyżej wymienione wzory otrzymujemy:

$$n_{\min} = {(\frac{z \times s}{Eb \times x})}^{2}$$

czyli:

n_min= 0,00185

Przy założeniach, że mamy do czynienia ze złożem kategorii rozpoznania A, a prawdopodobieństwo występowania wynosiło 95% możemy wnioskować, iż wykonanie 80 punktów badawczych w celu oszacowania średniej zawartości miedzi w serii złożowej było zbędne. Złe oszacowanie gęstości sieci rozpoznawczej wiążę się ze stratami finansowymi i czasowymi.