WIL	Jarosz Adrian Arkadiusz	Zespół: 9
14	Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego	ćw. 1

I. Wstęp teoretyczny

Grawitacja – jedno z czterech podstawowych oddziaływań występujących w przyrodzie. Każde ciało bez względu na jego naturę podlega ciążeniu powszechnemu, które zależy od masy poszczególnych ciał i odległości między nimi. Zasięg oddziaływania grawitacyjnego jest nieskończony. Matematyczny zapis prawa powszechnego ciążenia wyraża się następująco, gdzie G jest stałą grawitacji, m₁ i m₂ to poszczególne masy, a r jest odległością między nimi:

$$F = G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$$

Przyspieszenie ziemskie – przyspieszenie ciał swobodnie spadających na Ziemię, które jest wynikiem oddziaływania grawitacyjnego. Wartość przyspieszenia ziemskiego zależy od szerokości geograficznej oraz od wysokości nad poziom morza. Wartość przyspieszenia normalnego na powierzchni Ziemi można wyliczyć z prawa powszechnej grawitacji Newtona, gdzie G – stała grawitacyjna, M_z- masa ziemi, R_z – promień ziemi:

$$g = G\frac{M_{z}}{R_{Z}^{2}}$$

.

Wahadło Matematyczne – jest idealizacją wahadła fizycznego (analizujemy tutaj ruch drgający punktu materialnego, a nie bryły) w którym punkt materialny jest zawieszony na cienkiej i nieważkiej nici. Przy dostateczny małych wychyleniach z położenia równowagi (do 5^O) możemy okres wahadła wyrazić w następujący sposób, gdzie T to okres, l długość wahadła, a g to przyspieszenie ziemskie:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

II. Plan pracy

1. Zapoznanie się przyrządami eksperymentalnymi oraz ich parametrami

2. Mierzymy dziesięciokrotnie czas 10 okresów wahadła

3. Mierzymy pięciokrotnie długość nici

4. Mierzymy suwmiarką średnicę kulki

III. Opracowanie wyników

1. seria pomiarów

Zestawiamy tabelkę zawierającą wyniki z pierwszej serii pomiarów:

l.p	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10T [s]	18.2	17.9	17.9	17.9	18.1	18.1	18.2	18.3	18.2	17.9
T [s]	1.82	1.79	1.79	1.79	1.81	1.81	1.82	1.83	1.82	1.79

Obliczamy wartość średnia z podanych wyników:

$$\overset{\overline{}}{T} = 1.807\ s$$

Zestawiamy kolejną tabelkę w której pokazujemy różnice poszczególnego wyniku od wartości średniej oraz kwadrat tej wielkości:

l.p	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
T- $\overset{\overline{}}{T}$ [ms]	13	-17	-17	-17	3	3	13	23	13	-17
(T-$\overset{\overline{}}{T}$)^2 [ms^2]	169	289	289	289	9	9	169	529	169	289

Obliczamy niepewność przypadkową pojedynczego pomiaru ze wzoru

$$S_{T} = \sqrt{\frac{1}{(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}{(T_{i} - \overset{\overline{}}{T})}^{2}}$$

S_T = 0.016 s

Niepewność systematyczna pomiaru okresu wynosi 0.01 (większą dokładność uzyskaliśmy poprzez mierzenie czasu 10 okresów, a następnie podzieleniu tej wartości przez 10), a więc widzimy że niepewność przypadkową oraz systematyczna są tego samego rzędu wielkości, a więc do obliczenia całkowitej niepewności pomiaru uwzględnimy zarówno niepewność systematyczną jak i przypadkową.

$$S_{\overset{\overline{}}{T}} = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}{(T_{i} - \overset{\overline{}}{T})}^{2}}$$

$$S_{\overset{\overline{}}{T}} = 0.005\ s$$

$${T}_{\max} = {T}_{s} + 3\ S_{\overset{\overline{}}{T}}$$

T_max = 0.025 s

T = 1.807 ± 0.025 s

2. seria pomiarów

Zestawiamy tabelkę wyników z drugiej serii pomiarów

l.p	1	2	3	4
s [cm]	80.3	81.9	80.8	80.0

Obliczamy średnią z wyników:

$$\overset{\overline{}}{s} = 80.75\ cm$$

Zestawiamy kolejną tabelkę w której pokazujemy różnice poszczególnego wyniku od wartości średniej oraz kwadrat tej wielkości:

l.p	1	2	3	4
(s-$\overset{\overline{}}{s}$) [cm]	-0.45	1.15	0.05	-0.75
(s-$\overset{\overline{}}{s}$)^2 [cm] ^2	0.2025	0.3225	0.0025	0.5625

Ilość pomiarów to zaledwie 4, a więc to otrzymania rzetelnej informacji o rozrzucie wartości pomiarów od wartości rzeczywistej otrzymamy poprzez przemnożenie obliczonego odchylenia standardowego przez współczynnik Studenta-Fisher’a

$$S_{\overset{\overline{}}{s}} = 0.4\text{\ cm}$$

t = 4.6

$${s}_{\max} =_{d}s + tS_{\overset{\overline{}}{s}}$$

s_max = 1.9 cm

s=80.75±1.9 cm

Obliczamy następnie średnicę kulki suwmiarką. Pomiar ten jest o wiele bardziej dokładniejszy od poprzedniego, a więc przy dalszych obliczeniach możemy zaniedbać niepewność pomiaru średnicy.

d = 18.935 mm

r = 9.47 mm

Ostatecznie wartość długość l sznurka wynosi:

l=81.7±1.9 cm

3. Wyznaczenie g

Za pomocą różniczki zupełnej wyznaczamy dokładność naszego pomiaru:

${g}_{\max} = \left| \frac{\partial g}{\partial T}T \right|$+$\left| \frac{\partial g}{\partial l}l \right|$

$${g}_{\max} = 8\pi^{2}\frac{l}{T^{3}}T + \ \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}l$$

$$\mathbf{g}_{\mathbf{\max}}\mathbf{= 0.5}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}$$

Ze wzoru wyprowadzonego na początku sprawozdania możemy obliczyć interesującą nas wielkość:

$$g = 4\pi^{2}\frac{l}{T^{2}}$$

$$\mathbf{g =}\mathbf{9}\mathbf{.8}\mathbf{\pm 0.5}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}$$

Obliczamy względną niepewność procentową:

$$\delta_{\%} = \frac{g}{g} \times 100\%$$

δ_%=5.1%

IV. Analiza Wyników

Z naszych danych pomiarowych obliczyliśmy przyspieszenie Ziemskie. Jak widzimy otrzymany mieści się w granicach błędu w oczekiwanej wartości jaką odczytujemy dla z tablic 9.810 m/s². Wpływ na sporą niepewność miały wpływ np. nie uwzględnienie oporów powietrza, wielkość przedziałki poszczególnych mierników.

V. Bibliografia

1. M. Duraj, B. Oleś, Ćwiczenia Laboratoryjne z Fizyki, Kraków 2008

2. R. Resnick, D. Halliday, J. Walker, Fundamentals of Physics, part 2, Warszawa 2003

3. T. Szymczyk, S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne i astronomiczn, Warszawa 2003