Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny. Metoda najmniejszych kwadratów

• Współczynnik determinacji zwykły (scentrowany)

$R^{2} = \frac{\sum_{t = 1}^{n}\left( {\hat{y}}_{t} - \overset{\overline{}}{y} \right)^{2}}{\sum_{t = 1}^{n}\left( y_{t} - \overset{\overline{}}{y} \right)^{2}} = 1 - \frac{\sum_{t = 1}^{n}\left( y_{t} - {\hat{y}}_{t} \right)^{2}}{\sum_{t = 1}^{n}\left( y_{t} - \overset{\overline{}}{y} \right)^{2}} = 1 - \frac{\sum_{t = 1}^{n}{e_{t}}^{2}}{\sum_{t = 1}^{n}\left( y_{t} - \overset{\overline{}}{y} \right)^{2}}$

• Skorygowany współczynnik determinacji

• W zapisie macierzowym $R^{2} = 1 - \frac{\mathbf{e}^{T}\mathbf{e}}{\mathbf{y}^{T}\mathbf{y} - n \bullet \left( \overset{\overline{}}{y} \right)^{2}} = 1 - \frac{\mathbf{y}^{T}\mathbf{y} - \mathbf{a}^{T}\mathbf{X}^{T}\mathbf{y}}{\mathbf{y}^{T}\mathbf{y} - n \bullet \left( \overset{\overline{}}{y} \right)^{2}}$

• Niescentrowany współczynnik determinacji

• Macierz wariancji-kowariancji estymatora parametrów

• Estymator wariancji składnika losowego

• Oszacowanie macierzy wariancji-kowariancji estymatora parametrów

• Średnie (przeciętne) błędy oszacowań parametrów (błędy standardowe)

pierwiastki z elementów na przekątnej macierzy

• Błędy względne

• Badanie istotności pojedynczej zmiennej objaśniającej – test t-Studenta

H₀: H₁:

Przy założeniu normalności rozkładu składnika losowego statystyka

ma rozkład t-Studenta z n-(k+1) stopniami swobody. Jeżeli to odrzucamy H₀.

• badanie istotności zestawu zmiennych objaśniających – test F

H₀: H₁: przynajmniej jedna zmienna objaśniająca jest istotna

Jeżeli składnik losowy ma rozkład normalny, to statystyka ma rozkład F-Snedecora z r₁=k oraz r₂=n-(k+1) stopniami swobody. Jeżeli F>F_*, to odrzucamy H₀.

Zadanie 1: oczyszczalnia ścieków (dane 1.9)

Excel – Analiza danych - Regresja

Zadanie 2 (2.4)

Podczas szacowania MNK parametrów modelu ekonometrycznego postaci

otrzymano następujące wyniki obliczeń:

.

Podać oszacowania parametrów tego modelu. Obliczyć i zinterpretować wartość współczynnika determinacji.

Zadanie 3: samochody (dane 1.7)

Model - KMNK – współczynnik determinacji

Zadanie 4 (2.8)

Oceń dokładność oszacowań parametrów modelu

, t=1,2,…,14,

wiedząc, że oszacowanie odchylenia standardowego składnika losowego wynosi 2 oraz

.

Zadanie 5

Zbadać istotność zmiennych objaśniających w modelu

oczyszczalni ścieków (dane 1.9 - Excel)

i sprzedaży samochodów (dane 1.7 - Gretl)

Zadanie 6

Na podstawie kwartalnych danych z lat 1997-2003 oszacowano MNK model trendu zużycia gazu ziemnego w pewnej miejscowości z uwzględnieniem wahań sezonowych

,

gdzie:

G_t – zużycie gazu ziemnego w kwartale t, w tys. m³,

Z2_t- zmienna zerojedynkowa przyjmująca wartość 1 w kwartale II każdego roku i 0 w pozostałych,

Z3_t- zmienna zerojedynkowa przyjmująca wartość 1 w kwartale III każdego roku i 0 w pozostałych,

Z4_t- zmienna zerojedynkowa przyjmująca wartość 1 w kwartale IV każdego roku i 0 w pozostałych.

1. Ocenić dokładność oszacowań parametrów.

2. Dlaczego w modelu nie uwzględniono zmiennej Z1?

3. Omówić zróżnicowanie zużycia gazu ziemnego w ciągu roku.

Zadanie 7 (1.5)

W pliku dane_1_7.xls znajdują się kwartalne dane opisujące sprzedaż nowych samochodów osobowych (Y, w sztukach), względną zmianę PKB w stosunku do poprzedniego kwartału (X1), wydatki na reklamę (X2, mln zł) i średnią cenę nowego samochodu (X3). Oszacować parametry następujących modeli:
a.

b.

c.

d.

i poddać je weryfikacji.

• Ocenić sensowność znaków oszacowań parametrów

• Wyznaczyć błędy oszacowań parametrów

• Obliczyć i zinterpretować współczynnik determinacji

• Porównać modele wykorzystując wartości kryteriów informacyjnych

• Zbadać istotność zmiennych objaśniających

Jak uwzględnić w modelu wahania sezonowe?