Nr ćw. 201	Data	Imię i nazwisko	Wydział Elektryczny	Semestr I	Grupa EN-2
Prowadzący	Przygotowanie	Wykonanie	Ocena

Temat: Wyznaczanie zależności przewodnictwa od temperatury dla przewodników i półprzewodników.

1. Wstęp teoretyczny

Prawo Ohma najczęściej przedstawiamy w postaci

$I = \frac{U}{R_{w} + R_{z}}$.

Jednak w swojej najogólniejszej postaci prawo Ohma mówi o tym, że gęstość prądu w dowolnym miejscu materiału przewodzącego jest wprost proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego i wyraża się wzorem

j = σE,

gdzie j oznacza gęstość prądu (jednostka $\frac{A}{m^{2}}$), E oznacza natężenie pola elektrycznego, natomiast σ to współczynnik przewodnictwa elektrycznego wyrażany wzorem

σ = e(nμ_e + pμ_p).

Przewodnictwo elektryczne jest zależne od koncentracji i ruchliwości nośników ładunków. W powyższym wzorze koncentracje określają litery n i p (n – liczba elektronów/p – liczba dziur w jednostce objętości), a ruchliwość określają μ_e i μ_p (ruchliwość odpowiednio elektronów i dziur). Ruchliwość to nic innego jak stosunek prędkości unoszenia do natężenia pola elektrycznego.

W przypadku półprzewodników przewodnictwo zależy także od materiału i temperatury.

W przewodnikach koncentracja nośników (n) jest bardzo duża i nie zależy od temperatury. Jednak temperatura ma wpływ na ruchliwość nośników – im jest większa tym ruchliwość jest mniejsza. Opisuje to następujący wzór:

R = R₀[1 + ∝(T−T₀)],

gdzie R₀ to opór w temperaturze T₀, a α to średni współczynnik temperaturowy, który zmienia się w zależności od przedziału temperatur.

W półprzewodnikach nośnikami prądu są elektrony w paśmie przewodnictwa i dziury w paśmie walencyjnym. Im większa przerwa pomiędzy pasmem przewodnictwa, a pasmem walencyjnym tym wyższą energie musi mieć elektron żeby przeskoczyć przez obszar zakazany.

W bardziej szczegółowym ujęciu kwestia nośników różni się nieco w zależności od rodzaju materiału (półprzewodniki samoistne, półprzewodniki typu n, półprzewodniki typu p).

W zakresie temperatur stosowanych w laboratorium fizycznym mamy do czynienia jedynie z przewodnictwem domieszkowym. W ich przypadku koncentracja nośników i dziur zależy od energii akceptorów/donorów i temperatury.

$n = n_{0_{d}}e^{- \frac{E_{d}}{2\text{kT}}}$ $p = p_{0_{a}}e^{- \frac{E_{a}}{2\text{kT}}}$

Wraz ze wzrostem temperatury liczba nośników z poziomów domieszkowych rośnie, aż do momentu gdy wszystkie elektrony opuszczą poziomy donorowe lub zapełnią poziomy akceptorowe. Dalsze zwiększanie temperatury nie zmienia koncentracji nośników. Obserwujemy zjawisko nasycenia domieszkowego. Dopiero w wyższych temperaturach zaczynają przeważać nośniki pochodzące z przejść między pasmami, więc koncentracja szybko wzrasta.

Jeśli chodzi o ruchliwość to ten wskaźnik maleje wraz ze wzrostem temperatury. Te zmiany są znacznie wolniejsze niż zmiany koncentracji, więc są zaniedbywalne.

Finalnie współczynnik przewodnictwa elektrycznego można zapisać jako:

$\sigma = C_{1}e^{- \frac{E_{g}}{2\text{kT}}} + C_{2}e^{- \frac{E_{d/a}}{2\text{kT}}}$,

gdzie stałe C mówią o ruchliwości i wielkości n. W niskiej temperaturze można zaniedbać pierwszy składnik, a w wysokiej drugi składnik. Zależność przewodnictwa od temperatury wygodnie jest przedstawić za pomocą funkcji półlogarytmicznej. Po zlogarytmowaniu jednego z członów powyższego równania (w zależności od temperatury) otrzymujemy:

$\ln{\sigma = \ln C - \frac{E}{2k}*\frac{1}{T}}$.

Wykres powinien przedstawiać linie prostą o współczynniku nachylenia $a = \frac{E}{2k}$

1. Pomiary i obliczenia

T,	T,  K	$$\frac{1}{T},\ \frac{1}{K}$$	Rprzewodnik,  Ω	Rpolprzewodnik,  Ω	$$\frac{1}{R_{pol\text{przewodnik}}}$$	$$\ln\frac{1}{R_{pol\text{przewodnik}}}$$
25	298,15	0,003354016	110,3	190,5	0,00524934	-5,24965219
30	303,15	0,003298697	111,85	137,4	0,00727802	-4,92289638
35	308,15	0,003245173	113,5	112,4	0,0088968	-4,72206394
40	313,15	0,003193358	115,2	92,2	0,01084599	-4,52396013
45	318,15	0,003143171	117,15	76,6	0,01305483	-4,33859708
50	323,15	0,003094538	119	63,2	0,01582278	-4,1463043
55	328,15	0,003047387	120,9	53,7	0,01862197	-3,983413
60	333,15	0,003001651	122,8	45,3	0,02207506	-3,81330703
65	338,15	0,002957267	124,8	38,2	0,02617801	-3,64283552
70	343,15	0,002914177	126,6	32,5	0,03076923	-3,48124009
75	348,15	0,002872325	128,6	27,7	0,03610108	-3,32143241
80	353,15	0,002831658	130,4	23,9	0,041841	-3,17387846
85	358,15	0,002792126	132,2	20,6	0,04854369	-3,02529108
90	363,15	0,002753683	134,2	17,8	0,05617978	-2,87919846
95	368,15	0,002716284	136,1	15,5	0,06451613	-2,74084002

• Obliczenie współczynnika nachylenia prostej ln(1/R)=f(1/T) metodą regresji liniowej w MS Excell (funkcja NACHYLENIE) a = −3815, 004149

• Energia poziomów domieszkowych

E = a * 2k = −3815, 004149 * 2 * 1, 380648813 * 10⁻²³ = −1, 053 * 10⁻¹⁹ J = −0, 658 eV

1. Z analizy wykresu zależności rezystancji od temperatury wynika, że wraz ze wzrostem temperatury opór przewodnika wzrasta liniowo. Natomiast opór półprzewodnika gwałtownie spada. Zmiany oporności przewodnika są mniejsze dlatego jest on bardziej stabilnym nośnikiem prądu elektrycznego. Ze względu na tę stabilność, trudno jest osiągnąć stan nadprzewodnictwa w przewodnikach.