Wektory

$\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right| \bullet \cos{\sphericalangle(\overrightarrow{a}},\overrightarrow{b})$

$\left| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \right| = \left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|\sin{\sphericalangle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})}$

$P_{ABC} = \frac{1}{2}\left| \overrightarrow{\text{AB}} \times \overrightarrow{\text{AC}} \right|$

$V_{czworoscian\ ABCD} = \frac{1}{6}\left| \overrightarrow{\text{AB}}\ \overrightarrow{\text{AC}}\ \overrightarrow{\text{AD}} \right|$

$V_{rownolegloscian\ \overrightarrow{\text{AB}}\ \overrightarrow{\text{AC}}\ \overrightarrow{\text{AD}}} = \left| \overrightarrow{\text{AB}}\ \overrightarrow{\text{AC}}\ \overrightarrow{\text{AD}} \right|$

[a_x,a_y,a_z] ∘ [b_x,b_y,b_z] = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

$\left\lbrack a_{x},a_{y},a_{z} \right\rbrack \times \left\lbrack b_{x},b_{y},b_{z} \right\rbrack = \left| \begin{matrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ \end{matrix} \right|$

$\left\lbrack a_{x},a_{y},a_{z} \right\rbrack\left\lbrack b_{x},b_{y},b_{z} \right\rbrack\left\lbrack c_{x},c_{y},c_{z} \right\rbrack = \left| \begin{matrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \\ \end{matrix} \right|$

$\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\text{\ \ }\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = 0$

$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}\text{\ \ }\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = 0$

Równanie płaszczyzny

ogólne A(x−x₀) + B(y−y₀) + C(z−z₀) = 0

Ax + By + Cz + D = 0

$\cos{\sphericalangle\left( \pi_{1},\pi_{2} \right) = \frac{\left| A_{1}A_{2} + B_{1}B_{2} + C_{1}C_{2} \right|}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}}\sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}}$

$\pi_{1} \parallel \pi_{2}\text{\ \ }\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}}$

π₁⊥π₂ A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0

odcinkowe $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\ \ (a,0,0)(0,b,0)(0,0,c)$

wektorowe $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_{0}} + \lambda_{1}\overrightarrow{v_{1}} + \lambda_{2}\overrightarrow{v_{2}}$

parametryczne $\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + \lambda_{1}a_{1} + \lambda_{2}b_{1} \\ y = y_{0} + \lambda_{1}a_{2} + \lambda_{2}b_{2} \\ z = z_{0} + \lambda_{1}a_{3} + \lambda_{2}b_{3} \\ \end{matrix} \right.\ $ $R\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{3} \\ \end{bmatrix} = 2$

Równanie prostej

kierunkowe $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$

krawędziowe $\left\{ \begin{matrix} A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0 \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $ $R\begin{bmatrix} A_{1} & B_{1} & C_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} \\ \end{bmatrix} = 2$

wektorowe $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_{0}} + \lambda\overrightarrow{v_{1}}$

parametryczne $\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + \lambda a_{1} \\ y = y_{0} + \lambda a_{2} \\ z = z_{0} + \lambda a_{3} \\ \end{matrix} \right.\ $

Krzywe stopnia drugiego

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ elipsa

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1$ zbiór pusty

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0$ punkt

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ hiperbola

x² = 2py parabola

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0$ dwie proste przecinające się

$\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ dwie proste równoległe

$\frac{x^{2}}{a^{2}} = 0$ jedna prosta

$\frac{x^{2}}{a^{2}} = - 1$ zbiór pusty

Powierzchnie

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ elipsoida

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = - 1$ zbiór pusty

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0$ punkt

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ hiperboloida jednopowłokowa

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ hiperboloida dwupowłokowa

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0$ stożek

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 2pz$ paraboloida eliptyczna

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 2pz$ paraboloida hiperboliczna

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ walec eliptyczny

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1$ zbiór pusty

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0$ prosta

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ walec hiperboliczny

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0$ dwie przecinające się płaszczyzny

x² = 2py walec paraboliczny

$\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ dwie równoległe płaszczyzny

$\frac{x^{2}}{a^{2}} = 0$ płaszczyzna

$\frac{x^{2}}{a^{2}} = - 1$ zbiór pusty

Funkcje dwóch zmiennych

pochodne cząstkowe $f^{'}x\left( x_{0},y_{0} \right) = \operatorname{}\frac{f\left( x_{0} + h,y_{0} \right) - f\left( x_{0},y_{0} \right)}{h}$

pochodna kierunkowa ${f'}_{L}\left( x_{0},y_{0} \right) = \frac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}f^{'}x\left( x_{0},y_{0} \right) + \frac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}f^{'}y\left( x_{0},y_{0} \right)$

ekstrema lokalne $D\left( x_{0},y_{0} \right) = \left\lbrack f"xy\left( x_{0},y_{0} \right) \right\rbrack^{2} - f"xx\left( x_{0},y_{0} \right)f"yy\left( x_{0},y_{0} \right)$

D(x₀,y₀) < 0 jest ekstremum $f"xx\left( x_{0},y_{0} \right) < 0$ maksimum $f"xx\left( x_{0},y_{0} \right) > 0$ minimum, D(x₀,y₀) > 0 brak ekstremum, D(x₀,y₀) = 0 przypadek wątpliwy

globalne ekstrema warunkowe F(x,y) = f(x,y) + λg(x, y)

Całki nieoznaczone

Całkowanie ułamków prostych

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{{(1 + x^{2})}^{n}} = I_{n} = \frac{1}{2n - 2} \bullet \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{n - 1}} + \frac{2n - 3}{2n - 2}I_{n - 1}$

Całkowanie funkcji zawierających $\sqrt{ax^{2} + bx + c}$

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{q - x^{2}}} = arcsin\frac{x}{\sqrt{q}} + C$

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{q + x^{2}}} = ln\left| x + \sqrt{q + x^{2}} \right| + C$

typ I – podst. $x - p = \sqrt{\frac{1}{\left| a \right|}}t$

$\int_{}^{}\frac{W_{n}(x)}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}dx = \left( A_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots + A_{1}x + A_{0} \right)\sqrt{ax^{2} + bx + c} + B\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}$

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

typ I ∫W(sinx,cosx)dx

$$t = tg\frac{x}{2}\ \ \ \ \ \ \ arctg = \frac{x}{2}\ \ \ \ \ \ \ x = 2arctgt\ \ \ \ \ \ \ dx = \frac{2}{1 + t^{2}}\text{dt}$$

$$sin\alpha = \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cos\alpha = \frac{1 - \text{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}$$

typ II ∫W(sin²x,cos²x,tgx,ctgx)dx

$$t = tgx\ \ \ \ \ \ \ arctgt = x\ \ \ \ \ \ \ dx = \frac{\text{dt}}{t^{2} + 1}$$

$$\sin^{2}\alpha = \frac{\text{tg}^{2}\alpha}{1 + \text{tg}^{2}\alpha}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\cos^{2}\alpha = \frac{1}{1 + \text{tg}^{2}\alpha}$$

typ IV

$sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}\left\lbrack \cos\left( \alpha - \beta \right) - cos(\alpha + \beta) \right\rbrack$

$cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}\left\lbrack \cos\left( \alpha - \beta \right) + cos(\alpha + \beta) \right\rbrack$

$sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}\lbrack\sin\left( \alpha - \beta \right) + \sin\left( \alpha + \beta \right)\rbrack$

$\int_{}^{}{\sqrt{q - x^{2}}dx = \frac{1}{2}}x\sqrt{q - x^{2}} + \frac{1}{2}$q$\text{\ arcsin}\frac{x}{\sqrt{q}} + C$

$\int_{}^{}{\sqrt{q + x^{2}}dx = \frac{1}{2}}x\sqrt{q + x^{2}} + \frac{1}{2}q\ln\left| x + \sqrt{q + x^{2}} \right| + C$

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{a^{2} + x^{2}} = \frac{1}{a}\text{arctg}\frac{x}{a} + C$

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{a^{2} - x^{2}} = \frac{1}{2a}\ln\left| \frac{x + a}{x - a} \right| + C$

$\int_{}^{}{\sin^{n}x}dx = J_{n} = - \frac{1}{n}\text{cosx}\sin^{n - 1}x + \frac{n - 1}{n}J_{n - 2}$

$\int_{}^{}{\cos^{n}x}dx = K_{n} = \frac{1}{n}\text{sinx}\cos^{n - 1}x + \frac{n - 1}{n}K_{n - 2}$

Całki podwójne

pole płata powierzchni $\iint_{D}^{}{\sqrt{1 + {(f^{'}x)}^{2} + {(f^{'}y)}^{2}}\text{dxdy}}$

Całki potrójne

masa obszaru B ∭_Bf(x,y,z)dxdydz

moment statyczny obszaru B względem:

Oyz ∭_Bx • f(x,y,z)dxdydz

Oxz ∭_By • f(x,y,z)dxdydz

Oxy ∭_Bz • f(x,y,z)dxdydz

współrzędne środka ciężkości

$x_{0} = \frac{\iiint_{B}^{}{\text{x\ f}\left( x,y,z \right)\text{dxdydz}}}{\iiint_{B}^{}{f\left( x,y,z \right)\text{dxdydz}}}$ $y_{0} = \frac{\iiint_{B}^{}{\text{y\ f}\left( x,y,z \right)\text{dxdydz}}}{\iiint_{B}^{}{f\left( x,y,z \right)\text{dxdydz}}}\text{\ \ \ \ }\text{\ \ \ \ z}_{0} = \frac{\iiint_{B}^{}{\text{z\ f}\left( x,y,z \right)\text{dxdydz}}}{\iiint_{B}^{}{f\left( x,y,z \right)\text{dxdydz}}}$

moment bezwładności obszaru B względem płaszczyzn:

Oyz ∭_Bx² • f(x,y,z)dxdydz

Oxz ∭_By² • f(x,y,z)dxdydz

Oxy ∭_Bz² • f(x,y,z)dxdydz

moment bezwładności obszaru B względem osi:

Ox ∭_B(y² + z²)•f(x,y,z)dxdydz

Oy ∭_B(x² + z²)•f(x,y,z)dxdydz

Oz ∭_B(x² + y²)•f(x,y,z)dxdydz

moment bezwładności obszaru B względem punktu (0,0,0)

∭_B(x² + y² + z²)•f(x,y,z)dxdydz

współrzędne sferyczne

∭_Bf(x,y,z)dxdydz=∭_Sf(ρsinθcosφ, ρsinθsinφ, ρcosθ)•ρ²sinθdφdθdρ

x² + y² + z² = ρ²

współrzędne cylindryczne

∭_Bf(x,y,z)dxdydz = ∭_Vf(ρcosφ, ρsinφ, z)ρdφdρdz

Całki krzywoliniowe

niezorientowane

L :   y = g(x)      x ∈ [a, b]

$$\int_{L}^{}{f\left( x,y \right)\text{ds}} = \int_{b}^{a}{f(x,g\left( x \right))\sqrt{1 + {(g^{'}x)}^{2}}\text{dx}}$$

masa łuku M = ∫_Lf(x, y)ds

współrzędne parametryczne $L:\ \ \begin{matrix} x = x(t) \\ y = y(t) \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ t \in \lbrack a,b\rbrack$

$$\int_{L}^{}{f\left( x,y \right)\text{ds}} = \int_{a}^{b}{f(x\left( t \right),y\left( t \right))\sqrt{{\lbrack x^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack y^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2}}\text{dt}}$$

zorientowane

$$L:\ \ \begin{matrix} x = x(t) \\ y = y(t) \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ t \in \lbrack a,b\rbrack$$

∫_LP(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫_a^b[P(x(t),y(t))x^′(t)+Q(x(t),y(t))y^′(t)]dt

L :   y = g(x)      x ∈ [a, b]

∫_LP(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫_a^b[P(x,g(x))+Q(x,g(x))g^′(x)]dx

L :   x = h(y)      y ∈ [c, d]

∫_LP(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫_c^d[P(h(y),y)h^′(y)+Q(h(y),y)]dy

Twierdzenie Greena (dla krzywych zamkniętych zorientowanych dodatnio)

∫_LP(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∬_D(Q^′x(x,y) − P^′y(x,y)dxdy

Pole obszaru ograniczonego krzywą L: $P = \frac{1}{2}\int_{L}^{}{xdy - ydx}$

Jeżeli P^′y(x,y) = Q^′x(x,y) to ∫_(x1, y1)^{(x₂, y₂)}P(x,y)dx + Q(x,y)dy = F(x₂, y₂)−F(x₁, y₁)

Całki powierzchniowe

niezorientowane

$$\iint_{S}^{}{f\left( x,y,z \right)\text{dS}} = \iint_{D}^{}{f(x,y,h\left( x,y \right))\sqrt{1 + {(h^{'}x\left( x,y \right))}^{2} + {(h^{'}y\left( x,y \right))}^{2}}\text{dxdy}}$$

masa powierzchni ∬_Sf(x,y,z)dS

moment statyczny powierzchni S względem:

Oyz ∬_Sx • f(x,y,z)dS

Oxz ∬_Sy • f(x,y,z)dS

Oxy ∬_Sz • f(x,y,z)dS

współrzędne środka ciężkości powierzchni S

$$x_{0} = \frac{\iint_{S}^{}{x \bullet f\left( x,y,z \right)\text{dS}}}{\iint_{S}^{}{f\left( x,y,z \right)\text{dS}}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }y_{0} = \frac{\iint_{S}^{}{y \bullet f\left( x,y,z \right)\text{dS}}}{\iint_{S}^{}{f\left( x,y,z \right)\text{dS}}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }z_{0} = \frac{\iint_{S}^{}{z \bullet f\left( x,y,z \right)\text{dS}}}{\iint_{S}^{}{f\left( x,y,z \right)\text{dS}}}$$

moment bezwładności powierzchni S względem:

Oyz ∬_Sx² • f(x,y,z)dS

Oxz ∬_Sy² • f(x,y,z)dS

Oxy ∬_Sz² • f(x,y,z)dS

Ox ∬_S(y² + z²)•f(x,y,z)dS

Oy ∬_S(x² + z²)•f(x,y,z)dS

Oz ∬_S(x² + y²)•f(x,y,z)dS

(0,0,0) ∬_S(x² + y² + z²)•f(x,y,z)dS

zorientowana

∬_SP(x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dxdz + R(x,y,z)dxdy = ∬_D[ − P(x,y,h(x,y))h^′x(x,y) − Q(x,y,h(x,y))h^′y(x,y) + R(x,y,h(x,y))dxdy

Twierdzenie Gausa

∬_SPdydz + Qdxdz + Rdxdy = ∭_B(P^′x+Q^′y+R^′z)dxdydz

Równania różniczkowe pierwszego rzędu

typ I – równanie o zmiennych rozdzielonych g(y)y^′ = f(x)

typ II – równanie postaci $y^{'} = f\left( \frac{y}{x} \right)$

typ III – równanie postaci y^′ = f(ax + by + c)

typ IV – równanie liniowe y^′ + p(x)y = g(x) metoda: y = e^−∫p(x)dx • [∫g(x) • e^∫p(x)dx + C]

typ V – równanie Bernoulli’ego y^′ + p(x)y = g(x)yⁿ

typ VI – równanie zupełne P(x,y) + Q(x,y)y^′ = 0

Liczby zespolone

(a₁+b₁i) + (a₂+b₂i) = (a₁+a₂) + (b₁+b₂)i

(a₁+b₁i) − (a₂+b₂i) = (a₁−a₂) + (b₁−b₂)i

(a₁+b₁i)(a₂+b₂i) = (a₁a₂−b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂)i

$$\frac{a_{1} + b_{1}i}{a_{2} + b_{2}i} = \frac{a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}} + \frac{b_{1}a_{2} - a_{1}b_{2}}{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}i\ ,\ \ \ o\ ile\ \ \ a_{2}^{2} + b_{2}^{2} \neq 0$$

postać trygonometryczna

szeregi potęgowe o wyrazach zespolonych

Szeregi liczbowe

Szeregi potęgowe

promień zbieżności $r = \frac{1}{\operatorname{}\left| \frac{a_{n} + 1}{a_{n}} \right|}\ \ \ \ \ \ \ r = \frac{1}{\operatorname{}\sqrt[n]{\left| a_{n} \right|}}\text{\ \ \ \ \ \ \ }$

rozwijanie funkcji w szereg potęgowy

rozwinięcie funkcji w szereg Taylora

działania na szeregach potęgowych