MIARY PRZECIĘTNE: Średnia $$\overset{\overline{}}{x} = \frac{\sum_{}^{}{x_{i}n_{i}}}{n} = \frac{\sum_{}^{}x_{i}}{n}$$ Mediana $$2n + 1 \Rightarrow M = \frac{n + 1}{2};2n \Rightarrow \ M = \ \overset{\overline{}}{x} = \ \left\lbrack \frac{n}{2} + \left( \frac{n}{2} + 1 \right) \right\rbrack$$ Dominanta Odchylenie standardowe $$s = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}n_{i}}}{n}}$$ $$s^{2} = \frac{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}n_{i}}{n} = \frac{\sum_{}^{}x_{i}^{2}n_{i}}{n} - \left( \overset{\overline{}}{x} \right)^{2} = \frac{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}{n}$$ Współczynnik zmienności $$V = \frac{s}{\overset{\overline{}}{x}}100\%$$ Współczynnik asymetrii $$A_{s} = \frac{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{3}n_{i}}{ns^{3}} = \frac{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{3}}{ns^{3}}$$ Współczynnik skupienia/Kurtoza $$K = \frac{\sum_{}^{}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{4}n_{i}}}{ns^{4}} = \frac{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{4}}{ns^{4}}$$ Przedział zmienności (liczbowa granica) $$\left( \overset{\overline{}}{x} - s;\overset{\overline{}}{x} + s \right)$$ $$\overset{\overline{}}{x} - s \leq x_{\text{TYP}} \leq \overset{\overline{}}{x} + s$$	ROZKŁAD BERNOULLIEGO: Wartość oczekiwana EX = np Wariancja D^2X = np(1−p)	ROZKŁAD NORMALNY: N(0,1) N(m,σ) Funkcja gęstości $$f\left( x \right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{\left( x - m \right)^{2}}{2\sigma^{2}}},\ \ \ \ - \infty < x < + \infty$$ Standaryzacja zmiennej X $$u = \frac{X - m}{\sigma}$$
	ROZKŁAD POISSONA: $$P\left( X = k \right) = \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{- \lambda};\ \ \ \ \lambda > 0$$ EX = λ; λ = EX = D^2X = np D^2X = λ e = 2, 7182818
	FUNKCJA GĘSTOŚCI: f(x) ≥ 0, ∫−∞^+∞f(x)dx = 1;   ∫a^bf(x)dx = P(a<X≤b) Dystrybuanta F(x) = ∫−∞^xf(t)dt = P(X<x) P(X≤a) = F(a) Wartość oczekiwana EX = ∫−∞^+∞xf(x)dx Wariancja D^2X = ∫−∞^+∞[x−EX]^2f(x)dx	ROZKŁAD χ^2: z k stopniami swobody: χ1^2 + χ2^2+…+χk^2 Wartość oczekiwana EX = k Wariancja D^2X = 2k P(χk^2≥χα^2) = α 1 − α
Wartość oczekiwana $$EX = \sum_{}^{}{x_{i}p_{i}}$$ Wariancja $$D^{2}X = \sum_{}^{}{\left( x_{i} - EX \right)^{2}p_{i}} = EX^{2} - \left( \text{EX} \right)^{2}$$ Odchylenie standardowe $$DX = \sqrt{D^{2}X}$$ Suma prawdopodobieństwa $$\sum_{}^{}{p_{i} = 1}$$	ROZKŁAD JEDNOSTAJNY: Funkcja gęstości $$f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} 0\ , \\ \frac{1}{\begin{matrix} b - a \\ 0, \\ \end{matrix}} \\ \end{matrix}\ , \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\begin{matrix} x < a \\ a \leq x \leq b \\ x > b \\ \end{matrix}$$ Dystrybuanta $$F\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} 0\ , \\ \frac{x - a}{\begin{matrix} b - a \\ 1, \\ \end{matrix}} \\ \end{matrix}\ , \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\begin{matrix} x < a \\ a \leq x \leq b \\ x > b \\ \end{matrix}$$	ROZKŁAD T-STUDENTA: z k stopniami swobody: $$T_{k} = \frac{T}{\sqrt{\chi_{\alpha}^{2}}}\sqrt{k}$$ Wartość oczekiwana EX = 0 Wariancja $$D^{2}X = \frac{k}{k - 2}$$ P{|Tk|>tα} = α $$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{\left( 1 - \alpha \right)}{2}$$
DYSTRYBUANTA: F(X) = P(X≤x) P(X≤a) = F(a) P(X>a) = 1 − F(a) P(a<X<b) = F(b) − F(a) P(X<a) = F(a) − P(X=a) P(a≤X<b) = F(b) − F(a) − P(X=b) + P(X=a) F(−1) = P(X≤−1) = 1 − F(1) F(1) = P(X≤1)	Wartość oczekiwana $$EX = \frac{a + b}{2}$$ Wariancja $$D^{2}X = \frac{\left( b - a \right)^{2}}{12}$$	TESTY NIEZALEŻNOŚCI: H0 : P(X=xi, Y=yi) = P(X=xi)P(Y=yi) H1 : nie $\chi^{2} = \frac{\sum_{}^{}\left( n_{\text{ij}} - np_{\text{ij}} \right)^{2}}{np_{\text{ij}}}$ H0 − odrzucic  : χ^2 ≥ χα^2  α = (s−1)(k−1) Współczynnik zależności Czuprowa $$T = \sqrt{\frac{\chi^{2}}{n\left( s - 1 \right)\left( k - 1 \right)}}$$ T = 0;       T = 1;            T ∈ ⟨0;1⟩
	ROZKŁAD WYKŁADNICZY: Funkcja gęstości $$f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} 0, \\ \lambda e^{- \lambda x}, \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ }\begin{matrix} x < 0 \\ x \geq 0 \\ \end{matrix}$$
ROZKŁAD BERNOULLIEGO: $P\left( X = k \right) = \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}p^{k}\left( 1 - p \right)^{n - k}$ $\begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!\left( n - k \right)!}$ $\begin{pmatrix} n \\ 0 \\ \end{pmatrix} = 1$ 0!=1 $\begin{pmatrix} n \\ n \\ \end{pmatrix} = 1$ 1!=1 $$\begin{pmatrix} n \\ 1 \\ \end{pmatrix} = n$$ $$\begin{pmatrix} n \\ n - k \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} = n$$	Dystrybuanta $$F\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} 0, \\ 1 - e^{- \lambda x},\ \ \ \ \ \\ \end{matrix}\begin{matrix} x < 0 \\ x \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$ Wartość oczekiwana $$EX = \frac{1}{\lambda};\ \ \ \lambda = \frac{1}{\text{EX}}$$ Wariancja $$D^{2}X = \frac{1}{\lambda^{2}}$$	MODEL LINIOWY: Sprowadzenie nieliniowych modeli do modeli liniowych: y = ax + b y = ax^b lna = x $a = r\frac{\text{Sy}}{\text{Sx}}$ y = ae^bx a = e^x $b = \overset{\overline{}}{y} - a\overset{\overline{}}{x}$ y = ax^2 + b Relacja Pearsona (współ. korelacji) $$r = \frac{\sum_{}^{}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)\left( y_{i} - \overset{\overline{}}{y} \right)}}{\text{nSxSy}};\ \ \ \ \ \ \ \ r \in \left\langle - 1;1 \right\rangle$$
LOSOWANIE NIEZALEŻNE: PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ I model $$P\left\{ \overset{\overline{}}{x} - u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < m < \overset{\overline{}}{x} + u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right\} = 1 - \alpha$$ II model $$P\left\{ \overset{\overline{}}{x} - t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n - 1}} < m < \overset{\overline{}}{x} + t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n - 1}} \right\} = 1 - \alpha$$ III model $$P\left\{ \overset{\overline{}}{x} - u_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}} < m < \overset{\overline{}}{x} + u_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}} \right\} = 1 - \alpha$$ $\mathbf{t}_{\mathbf{\alpha,n - 1}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{u}_{\mathbf{\alpha}}\mathbf{= 1 -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\alpha}$	LOSOWANIE ZALEŻNE: ESTYMACJA ŚREDNIEJ: I model $$P\left\{ \overset{\overline{}}{x} - u_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}\sqrt{1 - \frac{n}{N}} < m < \overset{\overline{}}{x} + u_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}\sqrt{1 - \frac{n}{N}} \right\} = 1 - \alpha$$ II model $$P\left\{ \overset{\overline{}}{x} - t_{\alpha}\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}\sqrt{1 - \frac{n}{N}} < m < \overset{\overline{}}{x} + t_{\alpha}\frac{\hat{s}}{\sqrt{n}}\sqrt{1 - \frac{n}{N}} \right\} = 1 - \alpha$$ $$n = \frac{N}{1 + \frac{Nd^{2}}{{u_{\alpha}^{2}s}^{2}}}$$
PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA PROCENTÓW/WSKAŹNIKA STRUKTURY: $$P\left\{ \frac{m}{n} - u_{\alpha}\sqrt{\frac{\frac{m}{n}\left( 1 - \frac{m}{n} \right)}{n}} < p < \frac{m}{n} + u_{\alpha}\sqrt{\frac{\frac{m}{n}\left( 1 - \frac{m}{n} \right)}{n}} \right\} = 1 - \alpha$$	LOSOWANIE WARSTWOWE: ESTYMACJA ŚREDNIEJ POPULACJI: $$P\left\{ \overset{\overline{}}{x_{w}} - u_{\alpha}D\left( \overset{\overline{}}{x_{w}} \right) < m < \overset{\overline{}}{x_{w}} + u_{\alpha}D\left( \overset{\overline{}}{x_{w}} \right) \right\} = 1 - \alpha$$ $D^{2}\left( \overset{\overline{}}{x_{w}} \right)\mathbf{=}\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}{\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{N}}} \right)\sum_{h = 1}^{L}{W_{h}s_{h}^{2}}$ $\overset{\overline{}}{x_{w}}\mathbf{=}\sum_{h = 1}^{L}{W_{h}\overset{\overline{}}{x_{h}}}$ $n_{h} = \frac{N_{h}}{N}n = W_{h}n$ $W_{h} = \frac{N_{h}}{N}$ $n = \frac{\sum_{}^{}{W_{h}s_{h}^{2}}}{\frac{d^{2}}{u_{\alpha}^{2}} + \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{N}}\sum_{}^{}{W_{h}s_{h}^{2}}}$
PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARIANCJI: I model $$P\left\{ \frac{ns^{2}}{c_{2}} < \sigma^{2} < \frac{ns^{2}}{c_{1}} \right\} = 1 - \alpha;\ \ \ \ \left\{ \begin{matrix} c_{1}\ \ \ \ dla\ \ \ \ n - 1\ \ \ i\ \ \ 1 - \frac{1}{2}\alpha \\ c_{2}\ \ dla\ \ \ \ \ n - 1\ \ \ i\ \ \ \frac{1}{2}\alpha \\ \end{matrix} \right.\ $$ $$s^{2} = \frac{\frac{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}{n}}{\bullet n};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ns^{2} = \sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}$$ II model $$P\left\{ \frac{s}{1 + \frac{u_{\alpha}}{\sqrt{2n}}} < \sigma < \frac{s}{1 - \frac{u_{\alpha}}{\sqrt{2n}}} \right\} = 1 - \alpha$$	TESTY PARAMETRYCZNE: TEST DLA WARTOŚCI ŚREDNIEJ POPULACJI: H0 : m = m0 H0 : m = m0 H0 : m = m0 ∖ nH1 : m ≠ m0 H1 : m > m0 H1 : m < m0 I, III model (H0 − odrzucic) |u| ≥ uα u ≥ uα u ≤ uα $1 - \frac{1}{2}\alpha$ 1 − α α II model (H0 − odrzucic) |t| ≥ tα t ≥ tα t ≤ −tα α 2α 2α
WYZNACZENIE NIEZBĘDNEJ LICZBY POMIARU DO PRÓBY: I model $$n = \frac{u_{\alpha}^{2}\sigma^{2}}{d^{2}}$$ II model $$n = \frac{t_{\alpha}^{2}{\hat{s}}^{2}}{d^{2}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\hat{s}}^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{}^{}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}n_{i}}$$ III model $$n = \frac{u_{\alpha}^{2}p\left( 1 - p \right)}{d^{2}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n = \frac{u_{\alpha}^{2}}{{4d}^{2}}$$	I model $$u = \frac{\overset{\overline{}}{x} - m_{0}}{\sigma}\sqrt{n}$$ II model $$t = \frac{\overset{\overline{}}{x} - m_{0}}{\sigma}\sqrt{n - 1} = \frac{\overset{\overline{}}{x} - m_{0}}{\hat{s}}\sqrt{n}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\hat{s} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}{n - 1}}$$ III model $$u = \frac{\overset{\overline{}}{x} - m_{0}}{s}\sqrt{n}$$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u = \frac{\frac{m}{n} - p}{\sqrt{\frac{p\left( 1 - p \right)}{n}}}$ $\overline{p} = \frac{m_{1} + m_{2}}{n_{1} + n_{2}}$ $n = \frac{n_{1}*\ n_{2}}{n_{1} + n_{2}}$ $u = \ \frac{\frac{m_{1}}{n_{1}} - \frac{m_{2}}{n_{2}}}{\sqrt{\frac{\overline{p}(1 - \overline{p})}{n}}}$
ANALIZA WARIANCJI – TEST: H0 : m1 = m2 = … = mk $\left. \ \begin{matrix} \alpha \\ k - 1\ oraz\ n - k \\ \end{matrix} \right\} F_{\alpha}$ H1 : nie F ≥ Fα;  H0 − odrzucic, ma wplyw Źródło zmienności Suma kwadratów Stopnie swobody Wariancja Test F (czynnik) między grupami $$\sum_{}^{}\left( {\overset{\overline{}}{x}}_{i} - \overset{}{x} \right)^{2}n_{i}$$ k − 1 $${\hat{s}}_{1}^{2}$$ $$F = \frac{{\hat{s}}_{1}^{2}}{{\hat{s}}_{2}^{2}}$$ wewnątrz grup (składnik losowy) $$\sum_{}^{}{\sum_{}^{}\left( x_{\text{ij}} - \overset{\overline{}}{x_{i}} \right)^{2}}$$ n − k $${\hat{s}}_{2}^{2}$$	H0 : m1 = m2 = … = mk FA ≥ FαA;    H0 − odrzucic,  ma wplyw  H1 : nie FB ≥ FαB;    H0 − odrzucic,  ma wplyw Źródło zmienności Suma kwadratów Stopnie swobody Wariancja Test F między grupami (czynnik A) SKA r − 1 $${\hat{s}}_{1}^{2}$$ $$F_{A} = \frac{{\hat{s}}_{1}^{2}}{{\hat{s}}_{3}^{2}}$$ między grupami (czynnik B) SKB k − 1 $${\hat{s}}_{2}^{2}$$ $$F_{B} = \frac{{\hat{s}}_{2}^{2}}{{\hat{s}}_{3}^{2}}$$ wewnątrz grup SKR (r−1)(k−1) $${\hat{s}}_{3}^{2}$$
TEST LUKI: $\overset{\overline{}}{x_{1}} < \overset{\overline{}}{x_{2}} < \ldots < \overset{\overline{}}{x_{n}}$ $\overset{\overline{}}{x_{2}} - \overset{\overline{}}{x_{1}} > L - istotne$ $$L = t_{\alpha}\sqrt{\frac{2{\hat{s}}_{2}^{2}}{d}};\ \ \ \ \ \ d = \frac{n}{k}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }t_{\alpha}\ \ \ \ \ dla\ \ \ \ n - k$$	$$SKC = \sum_{}^{}{\sum_{}^{}\left( x_{\text{ij}} - \overset{}{x} \right)^{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ SKR = SKC - SKA - SKB$$ $$SKA = k\sum_{}^{}\left( \overset{\overline{}}{x_{i}} - \overset{}{x} \right)^{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left. \ \begin{matrix} \alpha \\ r - 1\ oraz\ \left( r - 1 \right)\left( k - 1 \right) \\ \end{matrix} \right\} F_{\text{αA}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$ $$SKB = r\sum_{}^{}\left( \overset{\overline{}}{x_{j}} - \overset{}{x} \right)^{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left. \ \begin{matrix} \alpha \\ \ k - 1\ oraz\ \left( r - 1 \right)\left( k - 1 \right) \\ \end{matrix} \right\} F_{\text{αB}}\ $$