SPRAWOZDANIE

Ćwiczenie nr 12

1 Cele

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie Modułu Sztywności drutu (sprężystości postaciowej) i poznanie

własności sprężystych ciał stałych, analiza ruchu obrotowego bryły sztywnej na przykładzie wahadła

torsyjnego.

2 Przebieg

Po przybyciu na laboratoria zostało nam wskazane Wahadło Torsyjne z Tarczą. Następnie

przystąpiliśmy do badań laboratoryjnych. Zmierzyliśmy mikrometrem średnicę drutu i jego długość.

Po zapisaniu pomiaru wprawiliśmy wahadło w wahadłowy ruch obrotowy i odmierzaliśmy czas

sześćdziesięciu okresów które wskazała nam prowadzący. Po przeprowadzeniu pomiarów z tarczą

wymontowaliśmy tarczę z wahadła i zwarzyliśmy ją na wadze i dodatkowo zmierzyliśmy jej średnicę .

Drugi pomiar wahadła przeprowadziliśmy bez odważnika czyli bez tarczy. Podczas pomiaru

zaobserwowałem że ruchem kierującym jest siła sprężystości drutu.

3 Opis zjawiska

W wahadle grawitacyjnym moment kierujący wytwarza siła ciężkości. W wahadle torsyjnym

powoduje go siła sprężystości pochodząca od skręconego druta lub innego ciała sprężystego.

Po odkształceniu ciała sprężystego o kąt α od położenia równowagi powstają w nim drgania

pod wpływem momentu siły skręcającej zwracającego ciało zawsze do położenia

równowagi.

4 Pojęcia

Moduł sztywności G – to współczynnik sprężystości materiału, równy stosunkowi naprężenia

stycznego σ_S do kąta skręcenia deformowanego ciała: G $= \frac{\sigma_{3}}{a}$ [N/m2].

Występuje w odkształceniach postaciowych, przy zachowaniu stałej objętości ciała.

Wahadło torsyjne – jest rodzajem wahadła fizycznego. Stanowi je bryła sztywna – wibrator,

umocowany do cienkiego drutu, jako elementu sprężystego Po odchyleniu wahadła z położenia

równowagi o kąt α i po jego uwolnieniu, powstają drgania pod wpływem momentu siły M, przy czym:

M =   − D  ×  α

Współczynnik D (zależy od rodzaju drutu) nazywa się momentem kierującym i oznacza

wartość momentu siły, powodującego skręcenie drutu o jednostkowy kąt w mierze łukowej,

tzn. o 1 radian. Znak minus oznacza, że moment siły powoduje skręcenie drutu o kąt przeciwny

do kąta α (tzn. zawsze ku położeniu równowagi).

5 Tabela Pomiarów

Wielkość	d	L	S	M	N	t1	t2
Jednostka	m	m	m	kg	-	s	s
Wartość	0,0006	0,64	0,140	0,3675	60	455	553
Niepewność	0,00005	0,003	0,00005	0,0001	-	0,2	0,2

6 Obliczenia i Tabela Wyników

W fizyce częstotliwość oznacza się literą f . Z definicji wynika wzór:

$$f = \ \frac{N}{t}$$

gdzie:

f – częstotliwość

N – liczba drgań

t – czas, w którym te drgania zostały wykonane

Posiadając częstotliwość obliczymy okres:

$$f = \ \frac{1}{T}$$

T – okres

Moment bezwładności jest równy:

$$I_{0} = \ \frac{\text{M\ }S^{2}}{8}$$

M – masa tarczy

S – średnica zewnętrzna tarczy

Posiadając wszystkie zmienne obliczymy Moment Sztywności drutu:

$$G = \ \frac{8\ \pi\ L\ I_{0}}{r^{4}({T_{2}}^{2} - \ {T_{1}}^{2})}$$

L – długość drutu

r – promień drutu

I0
$$I_{0} = \ \frac{\text{M\ }S^{2}}{8} = \ \frac{0,3675\ \bullet \ \left( 0,140 \right)^{2}}{8} = 9,00375\ \bullet \ 10^{- 4}$$

T1	T2
$$f = \frac{N}{t_{1}} = \frac{60}{455} \approx 0,1318$$ $$0,1132 = \ \frac{1}{T_{1}}$$ $$T_{1} = \frac{1}{0,1318} \approx 7,5872$$	$$f = \frac{N}{t_{2}} = \frac{60}{553} \approx 0,1084$$ $$0,1084 = \ \frac{1}{T_{2}}$$ $$T_{2} = \frac{1}{0,1084} \approx 9,2250$$

G
$$G = \ \frac{8\ \pi\ L\ I_{0}}{r^{4}({T_{2}}^{2} - \ {T_{1}}^{2})} = \ \frac{8\ \pi\ \bullet \ 0,64\ \bullet \ 9,00375 \bullet 10^{- 4}\ }{{0,0003}^{4}({9,2250}^{2} - \ {7,5872}^{2})} = 6,49011\ \bullet \ \ 10^{10}$$

Wielkość	r	I0	T1	T2	G
Jednostka	m	kg m^2	s	s	GPa
Wartość	0,0003	900375	7,5872	9,2250	64,9
Niepewność	0,00005	9,00375 * 10^-4	-	-	0,05

Niepewność Standardowa

$$\overset{\overline{}}{r} = \ \frac{0.07 + 0.071 + 0.069 + 0.68 + 0.07 + 0.072\ }{6} = 0.07$$

$$\ r = U\left( r \right) = \ \sqrt{\frac{\sum_{i\ = \ 1\ }^{N}{(\overset{\overline{}}{r} - \ r_{i})}^{2}}{N(N - 1)}} \approx 0.0106$$

$$\frac{G}{G} = \sqrt{4\left( \frac{r}{r} \right)^{2} + \frac{2\left( T \right)^{2}}{\left( T_{1} - T_{2} \right)^{2}}}\ = \ \sqrt{4\left( \frac{0.0106}{0.3} \right)^{2}} = 0.070\ \ $$

7 Wnioski

Z obliczeń można wywnioskować że Moduł Sztywności badanego materiału (64,9 GPa) jest

stosunkowo mniejszy w porównaniu do innych materiałów metalicznych (np. Stal 80 GPa).

Do rozbieżności przyczyniły sie z pewnością takie czynniki jak zużycie materiałowe drutu

(w widoczny sposób jego kształt odbiegał od prostoliniowego, także domniemana niestała grubość),

które w znaczący sposób może wpływać na jego własności elastyczne i co za tym idzie moduł

sztywności będzie niedokładny.